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2025-05-05T19:39:36Z

Änderung 255752861 von JoKa1979 rückgängig gemacht; Es gibt schon einen Link auf C*-Algebra, so dass ein Link auf *-Algebra nicht nötig. Ein Link auf natürliche Zahlen ist ebenfalls unnötig.

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'''UHF-Algebren''' werden im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]] untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von [[C*-Algebra|C*-Algebren]], die nach ihrem Entdecker [[James Glimm]] auch ''Glimm-Algebren'' genannt werden. Die UHF-Algebren sind [[Einfacher Ring|einfach]], das heißt, sie besitzen außer 0 und sich selbst keine [[zweiseitiges Ideal|zweiseitigen Ideale]], und sie können zur Konstruktion bestimmter [[Von-Neumann-Algebra|Von-Neumann-Algebren]] herangezogen werden.

== Konstruktion ==
Es bezeichne <math>M_n</math> die C*-Algebra der [[komplexe Zahl|komplexen]] <math>n\times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]]. Ist <math>n</math> ein Teiler von <math>m</math>, so sei <math>\iota:M_n\rightarrow M_m</math> derjenige *-[[Homomorphismus]], der eine Matrix aus <math>M_n</math> auf diejenige <math>m\times m</math>-Matrix abbildet, die aus <math>m/n</math> Kopien der Ausgangsmatrix längs der Diagonalen besteht, zum Beispiel

:<math>
M_2 \rightarrow M_6,
\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}\\
x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
x_{21} & x_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & x_{11} & x_{12} & 0 & 0 \\
0 & 0 & x_{21} & x_{22} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & x_{11} & x_{12} \\
0 & 0 & 0 & 0 & x_{21} & x_{22}
\end{pmatrix}
</math>.

Dieser *-Homomorphismus ist [[Injektivität|injektiv]] und bildet das [[Einselement]] auf das Einselement ab. Da injektive *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren automatisch [[Isometrie|isometrisch]] sind, kann man <math>M_n</math> in diesem Sinne als Unteralgebra von <math>M_m</math> auffassen, und statt <math>\iota</math> schreiben wir einfach <math>M_n\subset M_m</math>.

Ist nun <math>\vec n = (n_k)_{k\in \N}</math> eine Folge natürlicher Zahlen <math>\ge 2</math>, so erhält man eine Kette von [[Teilmenge|Inklusionen]]:

:<math> M_{n_1} \subset M_{n_1 \cdot n_2} \subset M_{n_1 \cdot n_2 \cdot n_3} \subset \ldots </math>.

Auf der Vereinigung <math>\bigcup_{k=1}^\infty M_{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k}</math> gibt es dann eine eindeutige Norm, die jede der C*-Normen von <math>M_{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k}</math> fortsetzt, und daher bis auf die [[Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist daher eine C*-Algebra, die man UHF-Algebra oder Glimm-Algebra vom Rang <math>\vec n</math> nennt.<ref>Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups'', Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Kapitel 6.4.2</ref>

== Eigenschaften ==

=== Isomorphien ===
Die UHF-Algebren hängen natürlich von der definierenden Folge <math>\vec n = (n_k)_{k\in \N}</math> ab.
Zu jeder [[Primzahl]] <math>p</math> sei <math>\delta_{\vec n}(p)\in \N\cup \{\infty\}</math> das [[Supremum]] aller <math>n\in \N</math>, so dass <math>p^n</math> ein Teiler von <math> n_1 \cdot \ldots \cdot n_k</math>, wobei <math>k</math> gegen Unendlich läuft. Dadurch wird der definierenden Folge <math>\vec n</math> die Folge <math>\delta_{\vec n}=(\delta_{\vec n}(p))_p</math> zugeordnet, die man in Analogie zur [[Primfaktorzerlegung]] natürlicher Zahlen auch als <math>\prod_p p^{\delta_{\vec n}(p)}</math> schreibt und eine ''übernatürliche Zahl'' nennt, was freilich nur rein symbolisch zu verstehen ist; <math>p</math> durchläuft hierbei alle Primzahlen.
Es gilt<ref>Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups'', Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.4.6</ref>

* Zwei UHF-Algebren vom Rang <math>\vec n</math> bzw. <math>\vec m</math> sind genau dann isomorph, wenn die zugeordneten übernatürlichen Zahlen gleich sind, das heißt falls <math>\delta_{\vec n}(p) = \delta_{\vec m}(p)</math> für alle Primzahlen <math>p</math>.

Dieser Satz findet sich bereits in <ref>J. Glimm: ''On a certain class of operator algebras'', Transactions of the Amer. Math. Soc., Band 95 (1960), Seiten 318–340</ref>. Insbesondere gibt es [[Überabzählbarkeit|überabzählbar]] viele paarweise nicht-isomorphe UHF-Algebren.

=== UHF-Algebren als AF-Algebren ===
Nach oben angegebener Konstruktion sind UHF-Algebren spezielle [[AF-C*-Algebra|AF-Algebren]]; letztere sind allerdings erst später eingeführt worden.
Ist <math>\vec n = (n_k)_{k\in \N}</math> der Rang der UHF-Algebra, so ist das zugehörige [[Bratteli-Diagramm]] gegeben durch

:<math> \begin{matrix}
& \rightrightarrows & & \rightrightarrows & & \rightrightarrows &\\
n_1& \vdots & n_1\cdot n_2 & \vdots & n_1\cdot n_2\cdot n_3 & \vdots & n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot n_4\ldots \\
& \underbrace{\rightarrow}_{n_2\, \text{mal}} & & \underbrace{\rightarrow}_{n_3\, \text{mal}} && \underbrace{\rightarrow}_{n_4\, \text{mal}}
\end{matrix} </math>.

Man liest unmittelbar ab, dass alle UHF-Algebren einfach sind, was sich aber auch ohne die Verwendung der Bratteli-Diagramme zeigen lässt. Als AF-Algebren werden UHF-Algebren auch durch ihre [[Geordnete abelsche Gruppe|geordnete, skalierte]] [[K-Theorie von Banachalgebren|K<sub>0</sub>-Gruppe]] klassifiziert, diese ist isomorph zu

:<math>\left\{\frac{a}{b};\, a,b\in \Z, b\neq 0, b|n_1 \cdot\ldots\cdot n_k \text{ für ein }k\in \N\right\} \subset \Q</math>

mit der durch [0,1] gegebenen Skala.<ref>K. R. Davidson: ''C*-Algebras by Example'', American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Beweis zu Korollar IV.5.8</ref>

=== Darstellungen ===
UHF-Algebren sind [[Antiliminale C*-Algebra|antiliminal]]. Jede [[Hilbertraum-Darstellung|irreduzible Darstellung]] ist treu und ihr Bild enthält außer 0 keinen weiteren [[Kompakter Operator|kompakten Operator]]. UHF-Algebren besitzen überabzählbar viele, paarweise nicht-äquivalente, irreduzible Darstellungen.<ref>Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups'', Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.7</ref>

== Konstruktion von Faktoren ==
Jede UHF-Algebra <math>A</math> besitzt einen eindeutigen [[Spurzustand]], das heißt ein stetiges lineares Funktional <math>\tau</math> mit <math>\tau(x^*x) \ge 0</math>, <math>\tau(1)=1</math> und <math>\tau(xy)=\tau(yx)</math> für alle Elemente <math>x,y\in A</math>.
Die zugehörige [[GNS-Konstruktion]] liefert eine Darstellung <math>\pi_\tau:A\rightarrow L(H)</math> auf einem [[Hilbertraum]] <math>H</math>. Man kann zeigen, dass der [[Bikommutantensatz|Bikommutant]] des Bildes <math>\pi_\tau(A)^{''}\subset L(H)</math> ein [[Typ II Von-Neumann-Algebra|Typ II<sub>1</sub>-Faktor]] ist.<ref>Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups'', Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Korollar 6.4.4</ref>

Man nennt Faktoren ''hyperfinit'', wenn sie als Von-Neumann-Algebren durch eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler Unter-von-Neumann-Algebren erzeugt werden<ref>[[Jacques Dixmier]]: ''Von Neumann algebras.'' North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, III.7.4, Theorem 3</ref>.
Daraus leitet sich der Name der UHF-Algebren ab, denn diese liegen in solchen hyperfiniten Faktoren, UHF steht für ''uniformly-hyperfinite''.

Eine besondere Rolle spielt die [[CAR-Algebra]], die gleich der UHF-Algebra mit der übernatürlichen Zahl <math>2^\infty</math> ist. In <ref>Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups'', Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.15</ref> werden Darstellungen dieser Algebra konstruiert, deren Bilder [[Typ III Von-Neumann-Algebra|Typ III-Faktoren]] als Bikommutanten haben.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis|Uhfalgebra]]

UHF-Algebra - Versionsgeschichte

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