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2026-02-17T06:06:40Z

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{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit dem [[Mathematik|mathematischen]] Begriff. Für den Begriff des Tupels im Bereich der Datenbanken siehe [[Tupel (Informatik)]].}}

'''Tupel ''' (abgeleitet von [[mittellatein]]isch ''quintuplus'' ‚fünffach‘, ''septuplus'' ‚siebenfach‘, ''centuplus'' ‚hundertfach‘ etc.) sind in der [[Mathematik]] neben [[Menge (Mathematik)|Mengen]] eine wichtige Art und Weise, [[Mathematisches Objekt|mathematische Objekte]] (häufig [[Zahl]]en) zusammenzufassen. Ein Tupel ist eine geordnete [[Liste]] endlich vieler, nicht notwendigerweise unterschiedlicher Objekte. Das Wort [[#Besondere Bezeichnungen für n-Tupel mit kleinem n|„geordnet“]] bringt zum Ausdruck, dass dabei die Reihenfolge, in der die Objekte zusammengefasst sind, eine Rolle spielt. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Tupel formal als Mengen darzustellen. Tupel finden in vielen Bereichen der Mathematik Verwendung, zum Beispiel als [[Koordinaten]] von Punkten oder als [[Vektor]]en in endlichdimensionalen [[Vektorraum|Vektorräumen]].

Von Tupeln unabhängig von ihrer Länge ist selten die Rede. Vielmehr verwendet man das Wort <math>n</math>'''-Tupel''' oder die im Abschnitt [[#Besondere Bezeichnungen für n-Tupel mit kleinem n|„Besondere Bezeichnungen…“]] davon abgeleiteten speziellen Wörter, wenn sich aus dem Zusammenhang die Länge als feste Zahl oder als benannte Konstante wie <math>n</math> ergibt. Betrachtet man dagegen viele endliche Folgen unterschiedlicher Längen von Elementen einer [[Grundmenge]], spricht man von endlichen Folgen oder definiert einen neuen Begriff, der oft mit „Kette“ zusammengesetzt ist, z. B. [[Zeichenkette]], [[Additionskette]].

In der [[Informatik]] wird der Begriff [[Tupel (Informatik)|Tupel]] auch als Synonym für einen [[Datensatz]] verwendet. In diversen [[Programmiersprache]]n wie zum Beispiel [[Python (Programmiersprache)|Python]] sind Tupel unveränderliche Datensätze.

== Notation ==
Ein <math>n</math>-Tupel ist eine Zusammenfassung von <math>n</math> mathematischen Objekten <math>x_1, \ldots, x_n</math> in einer Liste. Im Gegensatz zu Mengen müssen die Objekte dabei nicht notwendigerweise voneinander verschieden sein und ihre Reihenfolge ist von Bedeutung. Tupel werden meist mittels [[Runde Klammer|runder Klammern]]

:<math>(x_1, \ldots, x_n)</math>

notiert, wobei zwei aufeinanderfolgende Objekte durch ein [[Komma]] getrennt werden. Das an der <math>i</math>-ten Stelle stehende Objekt <math>x_i</math> heißt dabei die ''<math>i</math>-te Komponente'' des Tupels. Gelegentlich werden zur Notation aber auch andere [[Klammer (Zeichen)|Klammertypen]] wie spitze oder eckige Klammern verwendet:

:<math>\langle x_1, \ldots, x_n \rangle</math> oder <math>[x_1, \ldots, x_n]</math>

Auch andere Trennzeichen, wie [[Semikolon]] oder [[senkrechter Strich]] sind üblich. Weitere Notationsvarianten sind

:<math>(x_i)_{i=1, \ldots , n}, (x_i)_{i \in \{1, \ldots, n\}}, (x_i)_{i=1}^n</math>

oder auch kurz <math>(x_i)</math>, wenn die Länge des Tupels aus dem Kontext klar ist.

== {{Anker|Tripel|Quadrupel|Quintupel|Sextupel}}Besondere Bezeichnungen für n-Tupel mit kleinem n ==
* Das 0-Tupel heißt '''leeres Tupel''' und wird durch <math>()</math> notiert.
* Ein 2-Tupel wird auch [[geordnetes Paar]] oder '''Dupel''' genannt,
* ein 3-Tupel auch '''Tripel''',
* ein 4-Tupel auch '''Quadrupel''',
* ein 5-Tupel auch '''Quintupel''',
* ein 6-Tupel auch '''Sextupel'''.
* Die Reihe wird analog durch [[Lateinische Zahlwörter #Sonstige Zahlwörter|lateinische Vervielfältigungszahlwörter]] fortgesetzt.

== Beispiele ==
Tupel gleichartiger Objekte:

* <math>(a)</math> und <math>(b)</math> sind zwei 1-Tupel von Elementen <math>a, b</math> einer Menge <math>A</math>.
* <math>(1, 3)</math>, <math>(2, 2)</math> und <math>(3, 1)</math> sind drei verschiedene 2-Tupel ganzer Zahlen.
* <math>(\{1,2\}, \{3,4,5\}, \{6\})</math> ist ein 3-Tupel aus Mengen.
* <math>(\sin,\,\cos,\,\tan,\,\cot)</math> ist ein 4-Tupel trigonometrischer Funktionen.

Tupel verschiedenartiger Objekte:

* Ein [[gerichteter Graph]] ist ein Paar <math>(V, E)</math> bestehend aus einer Menge von [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]] <math>V</math> und einer Menge [[Kante (Graphentheorie)|gerichteter Kanten]] <math>E \subseteq V \times V</math>.
* Ein [[Körper (Algebra)|Körper]] ist ein Tripel <math>(K, +, \,\cdot)</math> bestehend aus einer Menge <math>K</math> und zwei [[Zweistellige Verknüpfung|zweistelligen Verknüpfungen]] <math>+</math> und <math>\,\cdot\,</math>, die bestimmte Eigenschaften besitzen.
* Ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] ist ein Tripel <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> bestehend aus einer [[Ergebnismenge]] <math>\Omega</math>, einer [[σ-Algebra]] <math>\Sigma</math> und einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math>.

== Gleichheit von Tupeln ==
Zwei Tupel <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> und <math>(y_1, \ldots, y_m)</math> sind genau dann gleich, wenn sie gleich lang sind und ihre entsprechenden Komponenten gleich sind, das heißt<ref name="EoM" />

:<math>(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_m) ~\Longleftrightarrow~ n = m</math> und <math>x_i = y_i</math> für <math>i=1, \ldots, n</math>.

== Darstellung ==
Ein Tupel <math>x=(x_1,\dots,x_n)</math> kann auf verschiedene Arten dargestellt werden.

=== Als Menge ===
Tupel können als Mengen dargestellt werden. Eine einfache Darstellung von <math>n</math>-Tupeln lautet:<ref name="EoM">{{EoM |Autor=V. N. Grishin |Titel=Tuple |id=Tuple |Abruf=2010-09-24}}</ref>

:<math>n=0\colon\; () := \emptyset</math>
:<math>n>0\colon\; (x_1, \ldots, x_n) := \{(x_1, \ldots, x_{n-1}), \{x_n\}\}</math>
Mit dieser Darstellung ist das geordnete Paar <math>(x, y)</math> die Menge <math>\{\{\emptyset, \{x\}\}, \{y\}\}</math>.

=== Als Funktion ===
Tupel können auch als endliche [[Folge (Mathematik)|Folgen]] bzw. [[Familie (Mathematik)|Familien]] respektive als Funktionen mit einem eventuell leeren Abschnitt der Menge der positiven natürlichen Zahlen als Indexbereich<ref name="EoM" /> (geordnete Paare hier in eckigen Klammern) dargestellt werden.

Als Familie:
:<math>n=0\colon\; () := \emptyset</math>
:<math>n>0\colon\; (x_1, \ldots, x_n) := \{[1, x_1], \ldots, [n, x_n]\} = (x_i)_{i \in \{1, \ldots, n\}}</math>

Oder äquivalent wenn wir die Familie als Funktion auffassen:
:<math>n=0\colon\; () := \emptyset</math>
:<math>n>0\colon\; (x_1, \ldots, x_n) := \{[1, x(1)], \ldots, [n, x(n)]\}</math>

Nichtleere Tupel können auch rekursiv auf Basis geordneter Paare dargestellt werden<ref>{{Literatur |Autor=[[Nicolas Bourbaki]] |Titel=Eléments de mathématique. Première partie: Les strurures fondamentales de l’analyse |Band=Livre I. Théorie des ensembles |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=3-540-34034-3 |Sprache=fr}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Arnold Oberschelp]] |Titel=Allgemeine Mengenlehre |Verlag=BI-Wiss.-Verl. |Ort=Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich |Datum=1994 |ISBN=3-411-17271-1}}</ref> (geordnete Paare auch hier in eckigen Klammern):
:<math>n=1\colon\; (x) := x</math>
:<math>n>1\colon\; (x_1, \ldots, x_n) := [(x_1, \ldots, x_{n-1}), x_n]</math>
Allerdings gilt für auf letztgenannte Weise dargestellte Tupel lediglich eine schwächere Form des Gleichheitsaxioms: ''Zwei gleich lange Tupel sind dann und nur dann gleich, wenn ihre entsprechenden Komponenten gleich sind''.

Unabhängig davon, wie Tupel als Mengen dargestellt werden, verhalten sich 2-Tupel genauso wie geordnete Paare und können wie diese verwendet werden, auch wenn sich, wie bei der Tupel-Darstellung als endlicher Folge, 2-Tupel- und Paar-Darstellungen unterscheiden.

Die letzte der drei obigen Definitionen hat den Vorteil, dass sie auch für [[Klasse (Mengenlehre)#Echte Klassen|echte Klassen]] definiert ist, sofern das geordnete Paar <math>[a, b]</math> für echte Klassen definiert ist. Das heißt, man kann z. B. das [[Monoid]] der [[Ordinalzahl]]en <math>\Omega</math> mit Addition <math>+</math> und neutralem Element <math>0</math> als Tupel <math>(\Omega, +, 0)</math> definieren, obwohl es sich bei den Ordinalzahlen um keine Menge, sondern um eine echte Klasse handelt.

== Verwendung ==
Tupel werden in der Mathematik zum Beispiel als Koordinaten von Punkten oder Vektoren in <math>n</math>-dimensionalen Räumen und in der Informatik als Datenfelder und -strukturen verwendet. Folglich werden auch Zeilen oder Spalten von [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] ggf. als Tupel angesehen und behandelt.

== Siehe auch ==
* [[Kartesisches Produkt]]
* [[Familie (Mathematik)]]
* [[Index (Mathematik)]]
* [[Wort (Theoretische Informatik)]]

== Literatur ==
* [[Heinz-Dieter Ebbinghaus]]: ''Einführung in die Mengenlehre.'' 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3 (''HochschulTaschenbuch'').
* [[Roger Godement]]: ''Algebra.'' Hermann, Paris 1968.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Tupel und geordnetes Paar}}
{{Wiktionary}}
* {{EoM|Autor=V.N. Grishin|Titel=Tuple|Url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Tuple}}
* {{PlanetMath|id=orderedtuplet|title=Ordered tuplet|author=Raymond Puzio u. a.}}
* {{MathWorld|id=n-Tuple|title=n-Tuple}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4660884-9|LCCN=|NDL=|VIAF=}}

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Tupel - Versionsgeschichte

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