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2025-07-04T21:52:08Z

Tschebyschow-Polynome zweiter Art: ergänzt

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'''Tschebyschow-Polynome''' erster Art <math>T_n(x)</math> und zweiter Art <math>U_n(x)</math> sind Folgen [[Orthogonale Polynome|orthogonaler Polynome]], die bedeutende Anwendungen in der [[Polynominterpolation]], in der [[Filtertechnik]] und in anderen Gebieten der Mathematik haben.
Sie sind benannt nach [[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]], dessen Name in der Literatur auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev, Chebyshev oder Chebychev [[Transkription (Schreibung)|transkribiert]] wird.

Tschebyschow-Polynome erster Art sind Lösung der '''Tschebyschow-Differentialgleichung'''

:<math>\left(1-x^2\right)\, y''-x \, y'+n^2 \, y = 0, </math>

und Tschebyschow-Polynome zweiter Art sind Lösung von

:<math>\left(1-x^2\right)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0.</math>

Beide Differentialgleichungen sind spezielle Fälle der [[Sturm-Liouville-Problem|Sturm-Liouvilleschen Differentialgleichung]].

== Tschebyschow-Polynome erster Art ==

=== Definition ===
Die Funktionen

:<math>\begin{align}
y_g(x) &= 1 + \sum_{p=1}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(\left(2k\right)^2-n^2\right)}{(2p)!} x^{2p}
= 1 + \sum_{p=1}^\infty (-1)^p \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(n^2-\left(2k\right)^2\right)}{(2p)!} x^{2p} \\
& = 1 - {n^2 \over 2!} \, x^2 + {n^2 \, \left(n^2-4\right) \over 4!} \, x^4 - {n^2 \, (n^2-4)\, \left(n^2-16\right) \over 6!} \, x^6 \pm \cdots
\end{align}</math>
und
:<math>\begin{align}
y_u(x) &= x + \sum_{p=1}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(\left(2k+1\right)^2-n^2\right)}{(2p+1)!} x^{2p+1}
= x + \sum_{p=1}^\infty (-1)^p \frac{\prod_{k=0}^{p-1} \left(n^2-\left(2k+1\right)^2\right)}{\left(2p+1\right)!} x^{2p+1}\\
& = x-{n^2-1 \over 3!} \, x^3 + {\left(n^2-1\right) \, \left(n^2-9\right) \over 5!} \, x^5 \mp \cdots
\end{align}</math>
bilden ein [[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalsystem]] für die Tschebyschow-Differentialgleichung.

[[Datei:Chebyshev Polynomials of the 1st Kind (n=0-5, x=(-1,1)).svg|mini|Tschebyschow-Polynome erster Art der Ordnung 0 bis 5]]
Für ganzzahlige <math>n</math> bricht jeweils eine dieser [[Reihenentwicklung|Reihen]] nach endlich vielen Gliedern ab, <math>y_g(x)</math> für gerade und <math>y_u(x)</math> für ungerade <math>n</math>, und man erhält Polynome als Lösung. Mit der Normierung <math>T_n(1)=1</math> werden diese als Tschebyschow-Polynome <math>T_n(x)</math> bezeichnet.
Die ersten neun Polynome dieser Art sind:

:<math>\begin{align}
T_0(x)&=1 \\
T_1(x)&=x \\
T_2(x)&=2 x^2 - 1 \\
T_3(x)&=4 x^3 - 3 x\\
T_4(x)&=8 x^4 - 8 x^2 + 1\\
T_5(x)&=16 x^5 - 20 x^3 + 5 x\\
T_6(x)&=32 x^6 - 48 x^4 + 18 x^2 - 1 \\
T_7(x)&=64 x^7 - 112 x^5 + 56 x^3 - 7 x \\
T_8(x)&=128 x^8 - 256 x^6 + 160 x^4 - 32 x^2 + 1 \\
\end{align}</math>

=== Eigenschaften ===

[[Rekursion]]sformeln der Tschebyschow-Polynome:

:<math>T_{n+1}(x) = 2x ~ T_n(x)-T_{n-1} (x) </math>

und

:<math>T_{mn}(x)=T_m\bigl(T_n(x)\bigr).</math>

Ist <math>T_{n}(x) = \sum_{i=0}^n a_{n,i} x^i = a_{n,n} x^n + \cdots + a_{n,1} x + a_{n,0} </math> die Darstellung des Tschebyschow-Polynoms, dann gilt für die Koeffizienten:

: <math>a_{n,i} = 2a_{n-1,i-1}(x)-a_{n-2,i} </math>

Für alle geraden <math>n </math> ist <math>a_{n,i} = 0 </math> für alle ungeraden Indexe <math>i </math> und für alle ungeraden <math>n </math> ist <math>a_{n,i} = 0 </math> für alle geraden Indexe <math>i </math>.

Mit Hilfe der [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] bzw. der [[Hyperbelfunktion]]en sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als

:<math>T_n(x) = \begin{cases}
\cos\left(n \, \arccos x\right) & \text{für} \quad x \in [-1,1] \\
\cosh\left(n \, \operatorname{arcosh}(x) \right) & \text{für} \quad x > 1 \\
(-1)^n \cosh\left(n \, \operatorname{arcosh}(-x) \right) & \text{für} \quad x < -1
\end{cases}</math>
oder
:<math>T_n(\cos \theta) = \cos(n \theta)</math>
und auch
:<math>T_n(x)=\frac{\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr)^n + \bigl(x-\sqrt{x^2-1}\bigr)^n}2</math><ref>{{Digitalisat|IA=leonssurlappro00lavauoft|LT=''Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle.''}} Gauthier-Villars, Paris 1919, 1952, S. 64.</ref>.

Die letzte Formel gilt auch im Fall <math>\left|x\right| < 1</math>, wenn man komplexe Wurzeln zulässt, bzw.

:<math>T_n(x)=\frac{\bigl(x+\mathrm i\sqrt{1-x^2}\bigr)^n + \bigl(x-\mathrm i\sqrt{1-x^2}\bigr)^n}2</math>

für <math>x\in\R, \left|x\right| < 1</math> betrachtet, wobei <math>\mathrm i</math> die [[Imaginäre Zahl|imaginäre Einheit]] ist.

Die <math>n</math> Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms <math>T_n(x)</math> sind gegeben durch
:<math>\cos\left(\tfrac{2j+1}{2n}\,\pi\right) \quad\mathrm{f\ddot{u}r}\quad j = 0, \ldots, n-1.</math>

Daraus ergibt sich die faktorisierte Darstellung der Tschebyschow-Polynome

:<math>T_n(x)=2^{n-1}\left(x-\cos\left(\frac{1}{2n}\pi\right)\right)\left(x-\cos\left(\frac{3}{2n}\pi\right)\right)\ldots\left(x-\cos\left(\frac{2n-1}{2n}\pi\right)\right).</math>

Die <math>n-1</math> relativen Extrema von <math>T_n(x)</math> liegen bei

:<math>\cos\left(\tfrac{j}{n}\,\pi\right) \quad\mathrm{f\ddot{u}r}\quad j = 1, \ldots, n-1</math>

und haben abwechselnd die Werte 1 und −1.

Tschebyschow-Polynome <math>T_n(x)</math> sind im geschlossenen Intervall <math>[-1,1]</math> [[Orthogonale Polynome|orthogonal]] bezüglich des gewichteten Skalarproduktes
:<math>\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1 f(x)\cdot g(x)\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, \mathrm dx</math>
Man kann sich diese daher auch über das [[Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren]] (mit Normierung) herleiten.

=== Anwendungen ===
In der [[Filtertechnik]] werden die Tschebyschow-Polynome bei den [[Tschebyscheff-Filter]]n verwendet.
Bei der [[Polynominterpolation]] zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden.
Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die [[Tschebyschow-Iteration]] und für [[Fehlerschranke]]n bei [[Krylow-Unterraum-Verfahren]] für [[Lineares Gleichungssystem|Lineare Gleichungssysteme]].

== Tschebyschow-Polynome zweiter Art ==
[[Datei:Chebyshev Polynomials of the 2nd Kind (n=0-5, x=(-1,1)).svg|mini|Tschebyschow-Polynome zweiter Art der Ordnung 0 bis 5.]]
Auch die Tschebyschow-Polynome zweiter Art <math>U_n(x)</math> werden über eine rekursive Bildungsvorschrift definiert:

:<math>
\begin{align}
U_0(x) & = 1 \\
U_1(x) & = 2x \\
U_{n+1}(x) & = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x),
\end{align}
</math>
bemerkenswerterweise mit derselben Rekursionsbeziehung wie die <math>T_n</math>. Und diese Rekursionsbeziehung gilt mit
:   <math>
U_{-1}(x) = 0
</math>
auch für <math>n=0</math>.

Es gilt

:<math>\begin{align}
U_n(x) &= \sum_{p=0}^\frac{n}{2} (-1)^\frac{n}{2} \frac{\prod_{k=0}^{2p-1} \left(n-2k+2p\right)}{(2p)!} x^{2p} \\
&= \pm 1 \mp {n\left(n+2\right) \over 2!} \, x^2 \pm {\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\left(n+4\right) \over 4!} \, x^4 \mp {\left(n-4\right)\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\left(n+6\right) \over 6!} \, x^6 \pm \cdots
\end{align}</math>

für gerade <math>n </math> und

:<math>\begin{align}
U_n(x) &= \sum_{p=0}^\frac{n+1}{2} (-1)^\frac{n-1}{2} \frac{\prod_{k=0}^{2p-1} \left(n-2k+2p+1\right)}{(2p+1)!} x^{2p+1} \\
&= \pm {n+1 \over 1!} \, x \mp {\left(n+1\right)\left(n+3\right) \over 3!} \, x^3 \pm {\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+5\right) \over 5!} \, x^5 \mp \cdots
\end{align}</math>

für ungerade <math>n </math>.

Ist <math>U_{n}(x) = \sum_{i=0}^n a_{n,i} x^i = a_{n,n} x^n + \cdots + a_{n,1} x + a_{n,0} </math> die Darstellung des Tschebyschow-Polynoms, dann gilt für die Koeffizienten:

: <math>a_{n,i} = 2a_{n-1,i-1}(x)-a_{n-2,i} </math>

Für alle geraden <math>n </math> ist <math>a_{n,i} = 0 </math> für alle ungeraden Indexe <math>i </math> und für alle ungeraden <math>n </math> ist <math>a_{n,i} = 0 </math> für alle geraden Indexe <math>i </math>.

Die [[erzeugende Funktion]] für <math>U_n</math> ist:

:<math>\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}</math>

Die ersten acht Polynome dieser Art sind:

:<math>\begin{align}
U_0(x) &= 1 \\
U_1(x) &= 2x \\
U_2(x) &= 4x^2 - 1 \\
U_3(x) &= 8x^3 - 4x \\
U_4(x) &= 16x^4 - 12x^2 + 1 \\
U_5(x) &= 32x^5 - 32x^3 + 6x \\
U_6(x) &= 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \\
U_7(x) &= 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x
\end{align}</math>

Mit Hilfe der [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] sind die Tschebyschow-Polynome zweiter Art zunächst nur für <math>\theta\in\R\setminus\pi\Z</math> darstellbar als
:<math> U_n(\cos \theta) = \frac{\sin\big((n+1)\theta\big)}{\sin\theta} ,</math>
wegen der [[Definitionslücke#Stetig hebbare Definitionslücke|stetigen Hebbarkeit]] an diesen Stellen aber für alle <math>\theta\in\R </math>.
Diese Formel hat große strukturelle Ähnlichkeit zum [[Dirichlet-Kern]] <math>D_n(x)</math>:
:<math> D_n(x) = \frac{\sin\left((2n+1)\dfrac{x}{2}\right)}{\sin \dfrac{x}{2}} = U_{2n}\left(\cos \frac{x}{2}\right) .</math>

Nimmt man [[Hyperbelfunktion]]en mit hinzu, dann ist für <math>x\in\R\setminus\{-1,1\}</math>
:<math>U_n(x)=\begin{cases}
\sin\left((n+1) \, \arccos x\right) /\sqrt{1-x^2} & \text{für}\quad |x| < 1 \\
\sinh\left((n+1) \, \operatorname{arcosh} \, x \right) /\sqrt{x^2-1} & \text{für}\quad |x| > 1 \end{cases}</math>

Tschebyschow-Polynome <math>U_n(x)</math> sind im abgeschlossenen Intervall <math>[-1,1]</math> [[Orthogonale Polynome|orthogonal]] bezüglich des gewichteten Skalarproduktes
:<math>\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1 f(x)\cdot g(x)\cdot{\sqrt{1-x^2}}\, \mathrm dx</math>

== Historie ==
Erstmals veröffentlichte Tschebyschow seine Untersuchungen zu den Tschebyschow-Polynomen 1859 und 1881<ref name="Cheney" /> in folgenden Aufsätzen:
* ''Sur les questions de minima qui se rattachent a la représentation approximative des fonctions.'' Oeuvres Band I, 1859, S. 273–378.
* ''Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable.'' Oeuvres Band II, 1881, S. 335–356.

== Clenshaw-Algorithmus ==
{{Hauptartikel|Clenshaw-Algorithmus}}
In der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] werden Linearkombinationen von Tschebyschow-Polynomen mit dem Clenshaw-Algorithmus ausgewertet.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Il'ja N, Bronstein, Konstantin A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig |Titel= [[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5., überarbeitete und erweiterte Auflage, unveränderter Nachdruck |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Ort=Thun u. a. |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld
| id = ChebyshevPolynomialoftheFirstKind
| title = Chebyshev Polynomial of the First Kind
}}
* {{MathWorld
| id = ChebyshevPolynomialoftheSecondKind
| title = Chebyshev Polynomial of the Second Kind
}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Cheney">
Elliot Ward Cheney: ''Introduction to Approximation Theory.'' McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2, S. 225.
</ref>
</references>

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Polynom]]
[[Kategorie:Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]]

Tschebyschow-Polynom - Versionsgeschichte

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