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2025-12-02T10:44:53Z

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Die '''Tschebyschow-Funktion''', etwa im Englischen auch '''Chebyshev function''' oder ähnlich bezeichnet, ist eine von zwei [[Zahlentheoretische Funktion|zahlentheoretischen Funktionen]], die nach dem russischen Mathematiker [[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]] benannt sind. Sie erhalten Bedeutung durch ihren Zusammenhang mit der Primzahlzählfunktion und dem [[Primzahlsatz]] und damit der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]].

Die '''erste Tschebyschow-Funktion''', üblicherweise mit <math>\theta\,</math> oder <math>\vartheta</math> bezeichnet, ist die Summe der [[Natürlicher Logarithmus|Logarithmen]] der [[Primzahlen]] bis <math>x</math>:

:<math>\vartheta(x)=\sum_{p\le x\atop p\text{ prim}}\operatorname{log}(p)</math>

Die '''zweite Tschebyschow-Funktion''' <math>\psi(x)</math> ist die summierte Funktion der [[Mangoldt-Funktion]]:

:<math>\psi(x)=\sum_{n=1}^x\Lambda(n)=\sum_{p^k\le x}\operatorname{log}(p)</math>

wobei die Mangoldt-Funktion <math>\Lambda</math> definiert ist als

:<math>\Lambda(n)=\begin{cases}\log(p)&\text{falls }n\text{ sich als }n=p^k\text{ darstellen lässt, wobei }p\text{ prim, }k\in\N^+\\0&\text{sonst}\end{cases}</math>

== Grundlegende Eigenschaften ==

Erstere Tschebyschow-Funktion lässt sich auch darstellen als
:<math>\vartheta(x) = \log (x_\#),</math>
wobei <math>x_\#</math> die [[Primfakultät]] bezeichnet.

Die zweite lässt sich auch schreiben als der Logarithmus des [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinsten gemeinsamen Vielfachen]] von 1 bis <math>n</math>:
:<math>\psi(x)=\operatorname{log}(\operatorname{kgV}(1,2,3,\ldots,\lfloor x\rfloor))</math>

Nach [[Erhard Schmidt (Mathematiker)|Erhard Schmidt]] gibt es für jedes positive [[Reelle Zahl|reelle]] <math>k</math> Werte für <math>x</math>, sodass
:<math>\psi(x)-x<-k\sqrt{x}</math>
und
:<math>\psi(x)-x>k\sqrt{x}</math>
unendlich oft.

=== Asymptotik ===

Es gilt
:<math>\lim_{x\to\infty}\frac x{\vartheta(x)}=1,</math>
d. h.
:<math>\vartheta(n)\sim n.</math>
Ebenso gilt
:<math>\psi(n)\sim n.\,</math>

Pierre Dusart fand eine Reihe von Schranken für die beiden Funktionen:<ref>Pierre Dusart: ''Sharper bounds for ψ, θ, π, p<sub>k</sub>''. In: Rapport de recherche n° 1998-06, Université de Limoges. [https://www.unilim.fr/laco/rapports/1998/R1998_06.pdf PDF]</ref>

:<math>\vartheta(p_k)\ge k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2{,}0553}{\ln k}\right),\qquad k\ge\exp(22)</math>

:<math>\vartheta(p_k)\le k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2}{\ln k}\right), \qquad k\ge 198</math>

:<math>\psi(p_k)\le k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2}{\ln k}\right) + 1{,}43\sqrt x,\qquad k\ge 198</math>

:<math>|\vartheta(x)-x|\le0{,}006788\,\frac{x}{\ln x},\qquad x\ge 10{.}544{.}111</math>

:<math>|\psi(x)-x|\le0{,}006409\,\frac{x}{\ln x},\qquad x\ge \exp(22)</math>

:<math>\psi(x)-\vartheta(x)<0{,}0000132\,\frac{x}{\ln x},\qquad x\ge\exp(30).</math>

=== Verwandtschaft der beiden Funktionen ===

Es gilt
:<math>\psi(x)=\sum_{p\le x}k\log p</math>
wobei <math>k</math> [[Ganze Zahl|ganz]] und dann durch <math>p^k\le x</math> und <math>p^{k+1}\ge x</math> eindeutig bestimmt ist.

Ein direkterer Zusammenhang entsteht durch
:<math>\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty \vartheta\left(x^\frac1n\right)=\sum_{n=1}^{\lfloor\log_2(x)\rfloor}\vartheta\left(x^\frac1n\right).</math>
Man bemerke, dass <math>\vartheta\left(x^\frac1n\right) = 0</math> für <math>n\ge\log_2(x).</math>

== Die „exakte Formel“ ==

1895 bewies [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|Hans Karl Friedrich von Mangoldt]] folgende Formel, die im Englischen auch als ''„explicit formula“'' bezeichnet wird:<ref>{{MathWorld|ExplicitFormula|Explicit Formula}}</ref>

:<math>\psi(x)=x-\sum_\rho \frac{x^\rho}\rho - \ln (2\pi)-\frac 1 2 \ln\left(1-x^{-2}\right)</math>

Dabei ist <math>x>1</math> und nicht prim oder eine Primzahlpotenz und die Summe läuft über alle nichttrivialen Nullstellen <math>\rho\,</math> der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] <math>\zeta</math>.

== Referenzen ==

<references />
* {{MathWorld|ChebyshevFunctions|Chebyshev Function}}
* [https://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=4020 ''Mangoldt Summatory Function''] und [https://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=4573 ''Chebyshev Function''] auf [[PlanetMath]]
* [[Harold Davenport]], [[Hugh Montgomery (Mathematiker)|Hugh L. Montgomery]]: ''Multiplicative number theory''. Springer Verlag 2000, ISBN 0-387-95097-4, ISBN 978-0-387-95097-6. [https://books.google.de/books?vid=ISBN0387950974&id=U91lsCaJJmsC&pg=PA104&lpg=PA104&sig=FhUIDFFTKNXSWhDM27PwfriD1gw&redir_esc=y&hl=de#v=onepage&q=&f=false §. 17. GBS, eingeschränkt]

== Weblinks ==
{{Wikiversity|Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 12|Die Abschätzungen von Tschebyschow}}

[[Kategorie:Zahlentheoretische Funktion]]
[[Kategorie:Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]]

Tschebyschow-Funktion - Versionsgeschichte

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