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2026-04-19T09:58:25Z

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{{Weiterleitungshinweis|Tschebyscheff-Ungleichung|Zur Ungleichung in der Arithmetik siehe [[Tschebyscheff-Ungleichung (Arithmetik)]].}}

Die '''tschebyscheffsche Ungleichung''', auch '''Tschebyscheff-Ungleichung''' oder '''Bienaymé-Tschebyscheff-Ungleichung''' genannt,<ref>{{Literatur |Autor=Norbert Henze |Titel=Stochastik für Einsteiger |TitelErg=Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls |Auflage=10. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2013 |ISBN=978-3-658-03076-6 |Seiten=165 |DOI=10.1007/978-3-658-03077-3}}</ref> ist eine [[Ungleichung]] in der [[Stochastik]], einem Teilgebiet der Mathematik. Sie ist nach [[Irénée-Jules Bienaymé]] und [[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]] benannt; dessen Name findet sich in der Literatur in verschiedenen Schreibungen, unter anderem ''Tschebyschew'', ''Chebyshev'', ''Čebyšev'' oder ''Tschebyscheff''.<ref>{{Literatur |Autor=Hans-Otto Georgii |Titel=Stochastik |TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik |Auflage=4. |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=2009 |ISBN=978-3-11-021526-7 |Seiten=112 |DOI=10.1515/9783110215274}}</ref> In der tschebyscheffschen Ungleichung wird die Wahrscheinlichkeit, dass eine [[Zufallsvariable]] mehr als einen vorgegebenen Schwellenwert von ihrem [[Erwartungswert]] abweicht, durch ihre [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] abgeschätzt.

== Aussage ==
Sei <math>X</math> eine [[Zufallsvariable]] mit [[Erwartungswert]]
:<math>\mu:= \operatorname E(X) </math>

und endlicher [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]
:<math>\sigma^2:= \operatorname{Var}(X)</math>.

Dann gilt für alle reellen Zahlen <math>k > 0</math>:

:<math>\operatorname{P}\left(\left|X-\mu\right|\geq k\right) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}</math>.
Durch Übergang zum [[Komplementäres Ereignis|komplementären Ereignis]] erhält man
:<math>\operatorname{P}\left(\left|X-\mu\right| < k\right) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{k^2}</math>.

== Güte der Abschätzung ==
Die von der tschebyscheffschen Ungleichung angegebenen Grenzen sind scharf in dem Sinne, dass Zufallsvariablen existieren, für die bei der Abschätzung Gleichheit gilt.

Dies ist beispielsweise der Fall für eine diskrete Zufallsvariable <math>X</math> mit
:<math>\operatorname{P}\left(X=0\right)=1-p</math>

und
:<math>\operatorname{P}\left(X=-a\right)=\operatorname{P}\left(X=a\right)=p/2</math>,

wobei <math>a</math> eine echt positive [[reelle Zahl]] ist und <math> p \in (0,1) </math>. Dann ist <math>\mu= \operatorname E(X)=0 </math> und <math>\sigma^2= \operatorname{Var}(X)=a^2p </math>, damit folgt die Abschätzung
:<math> P(|X-0|\geq k)\leq \frac{a^2 p}{k^2} </math>,

die für <math> k=a </math> mit Gleichheit erfüllt ist, da dann <math> P(|X|\geq k)= P(|X|\geq a)= p </math> gilt.

Im Allgemeinen sind die Abschätzungen aber eher schwach. Beispielsweise sind sie für <math>k \leq \sigma</math> trivial.
Dennoch ist der Satz oft nützlich, weil er ohne Verteilungsannahmen über die Zufallsvariablen auskommt und somit für alle Verteilungen mit endlicher Varianz (insbesondere auch solche, die sich stark von der [[Normalverteilung]] unterscheiden) anwendbar ist. Außerdem sind die Schranken einfach zu berechnen.

== Varianten ==
=== Abweichungen ausgedrückt durch die Standardabweichung ===
Ist die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> von Null verschieden und <math>\lambda</math> eine positive Zahl, so erhält man mit <math>k = \lambda \sigma</math> eine oft zitierte Variante der tschebyscheffschen Ungleichung:

:<math>\operatorname{P}\left(\left|X-\mu\right|\geq \lambda \sigma\right) \leq \frac{1}{\lambda^2}</math>.

Diese Ungleichung liefert nur für <math>\lambda > 1</math> eine sinnvolle Abschätzung, für <math>0<\lambda\leq 1</math> ist sie trivial, denn Wahrscheinlichkeiten sind stets durch 1 beschränkt.

=== Verallgemeinerung auf höhere Momente ===
Die tschebyscheffsche Ungleichung lässt sich auf höhere [[Moment (Stochastik)|Momente]] verallgemeinern. Man bezeichnet diese verallgemeinerte Ungleichung nicht selten (vereinfachend) ebenfalls als tschebyscheffsche Ungleichung ({{enS|Chebyshev’s inequality}}),<ref name="RBA">Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' 1972, S. 84–85 & S. 227</ref> während sie im Rahmen der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] manchmal auch als ''markoffsche Ungleichung'' (bzw. als ''markovsche Ungleichung'' o. ä., {{enS|Markov’s inequality}}) genannt wird.<ref name="ANS">A. N. Širjaev: ''Wahrscheinlichkeit.'' 1988, S. 572</ref><ref name="RGL-VKR">R. G. Laha, V. K. Rohatgi: ''Probability Theory.'' 1979, S. 33</ref> Bei einigen Autoren findet man die verallgemeinerte Ungleichung auch unter der Bezeichnung ''tschebyscheff-markoffsche Ungleichung'' (bzw. ''chebyshev-markovsche Ungleichung'' o. ä.).<ref name="HB_1">Heinz Bauer: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 1992, S. 128</ref>

Die verallgemeinerte Ungleichung besagt, dass für einen [[Maßraum]] <math>(\Omega,\Sigma,\nu)</math> und eine messbare Funktion <math>f\colon\Omega\to\R_0^+</math> und <math>\varepsilon, p\in\R^+</math> stets die Ungleichung
:<math>\nu(\{x\mid f(x)\geq \varepsilon\})\leq \frac{1}{\varepsilon^p}\int_\Omega f^p {\rm d}\nu</math>.

gilt.

Dies folgt aus
:<math>\int_\Omega f^p \;{\rm d}\nu \geq \int_{\{x\mid f(x)\geq \varepsilon\}} f^p \;{\rm d}\nu \geq \int_{\{x\mid f(x)\geq \varepsilon\}} \varepsilon^p \;{\rm d}\nu = \varepsilon^p\nu(\{x\mid f(x)\geq \varepsilon\})</math>

Die oben genannte Version der Ungleichung erhält man als Spezialfall, indem man <math>\nu = P</math>, <math>f=|X-\mu|</math> und <math>p=2</math> setzt, denn dann ist
:<math>P(|X-\mu| \ge k) = P(|X-\mu|^2 \ge k^2) \le \frac{1}{k^2}\int_\Omega |X-\mu|^2 \;{\rm d}P = \frac{\sigma^2}{k^2}</math>.

=== Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung ===
{{Hauptartikel|Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung}}

Die Tschebyscheffsche Ungleichung kann auf mehrdimensionale Zufallsvariable erweitert werden.

Ist X = (<math>x^1,...,x^n</math>) eine n-dimensionale Zufallsvariable, die auf den "Mittelpunkt" (μ(x<sup>1</sup>) / ... / μ(x<sup>n</sup>) ) zentriert wurde, so gilt für die zentrierte Variable die Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung:

:<math> 1 - P( (x^1,...x^n)C^{-1}\begin{pmatrix}x^1\\...\\x^n\end{pmatrix}\le k^2 ) \leq \tfrac{n}{k^2}</math>

=== Exponentielle Tschebyscheff-Ungleichung ===

Dass die Verallgemeinerung gleichzeitig für alle positiven Momente gilt, lässt sich beim Beweis der sogenannten ''exponentiellen Tschebyscheff-Ungleichung''<ref name="Große Abweichungen">{{Internetquelle |autor=Matthias Löwe |url=https://www.uni-muenster.de/Stochastik/loewe/grosseabweichungen.pdf |titel=Große Abweichungen |hrsg=Westfälische Wilhelms-Universität Münster, Institut für Mathematische Stochastik |seiten=4 |abruf=2020-03-08 |abruf-verborgen=1 |format=PDF; 418 KB}}</ref> ausnutzen.
Sei <math>X \sim P</math> eine reelle Zufallsvariable, die gemäß <math>P</math> verteilt ist und <math>a \in \R</math> eine reelle Zahl.
In der Notation von oben setzt man nun <math>\nu = P</math>, <math>\varepsilon = \mathrm{e}^a</math> und <math>f(x) = \mathrm{e}^x</math> und erhält
:<math>P(X \ge a) = P(\mathrm{e}^X \ge \varepsilon) \le \inf_{p \in \R^+} \frac{1}{\varepsilon^{p}} \int_\R \mathrm{e}^{px} \, \mathrm{d}P = \inf_{p \in \R^+} \frac{E(\mathrm{e}^{pX})}{\mathrm{e}^{pa}}.</math>

Der Zähler <math>M_X(p) = E(\mathrm{e}^{pX})</math> ist die [[momenterzeugende Funktion]] von <math>X</math>.
Die Anwendung der exponentiellen Tschebyscheff-Ungleichung auf eine Summe von [[Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen]] ist der entscheidende Schritt im Beweis der [[Chernoff-Ungleichung]].

== Geschichte ==
In den meisten Lehrbüchern trägt die Ungleichung lediglich den Namen von [[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]]. Er veröffentlichte seinen Beweis für diskrete Zufallsvariablen im Jahre 1867 simultan in St. Petersburg und in Paris, dort in [[Joseph Liouville]]s Journal ''Journal de Mathématiques Pures et Appliquées''. Ein allgemeinerer Beweis wurde jedoch schon 1853 von [[Irénée-Jules Bienaymé]] in dem Aufsatz ''Considérations a l’appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés'' veröffentlicht. Dieses wurde sogar direkt vor Tschebyscheffs Veröffentlichung in Liouvilles Journal nochmals in ebendiesem abgedruckt. In einer späteren Veröffentlichung erkannte Tschebyscheff die Erstveröffentlichung von Bienaymé an.<ref>{{EoM| Autor =| Titel = Chebyshev, Pafnutii Lvovich| Url =
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Chebyshev,_Pafnutii_Lvovich| id = }}</ref><ref>{{EoM| Autor = V.V. Sazonov| Titel = Bienaymé, Irenée-Jules| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bienaym%C3%A9,_Iren%C3%A9e-Jules| id = }}</ref>

== Anwendungen ==
* Die tschebyscheffsche Ungleichung wird beispielsweise beim Beweis des [[Schwaches Gesetz der großen Zahlen|Schwachen Gesetzes der großen Zahlen]] verwendet.<ref name="HB_2">Heinz Bauer: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2002, S. 69 ff</ref>
* Die Verallgemeinerung auf höhere Momente kann benutzt werden, um zu zeigen, dass aus der <math>L^p\;</math>-Konvergenz von [[Funktionenfolge]]n die [[Konvergenz im Maß]] folgt.
* Für den [[Median (Stochastik)|Median]] <math>m</math> gilt <math>\left|\mu-m\right| \leq \sigma</math>.

== Beispiele ==
=== Beispiel 1 ===
Nehmen wir zum Beispiel an, dass die Länge von Wikipedia-Artikeln einen Erwartungswert von 1000 Zeichen mit einer [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] von 200 Zeichen hat. Aus der ''tschebyscheffschen Ungleichung'' kann man dann ableiten, dass mit mindestens 75 % Wahrscheinlichkeit ein Wikipedia-Artikel eine Länge zwischen 600 und 1400 Zeichen hat (<math>k=400, ~ \mu=1000, ~ \sigma=200</math>).

Der Wert für die Wahrscheinlichkeit wird auf folgende Weise berechnet:

:<math>\operatorname{P}\left(\left|X-1000\right| < 400\right) \geq 1 - \frac{200^2}{400^2} = 0{,}75 = 75\ \%</math>

=== Beispiel 2 ===
Eine andere Folgerung aus dem Satz ist, dass für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Mittelwert <math>\mu</math> und endlicher Standardabweichung <math>\sigma</math> mindestens die Hälfte der Werte im Intervall <math>(\mu - \sqrt{2}\sigma, \mu + \sqrt{2}\sigma)</math> liegen (<math>k^2=2\sigma^2</math>).

=== Beispiel 3 ===
Ein Zufallsereignis tritt bei einem Versuch mit Wahrscheinlichkeit <math>p</math> ein. Der Versuch wird <math>n</math>-mal wiederholt; das Ereignis trete dabei <math>k</math>-mal auf. <math>k</math> ist dann [[Binomialverteilung|binomialverteilt]] und hat Erwartungswert <math>np</math> und Varianz <math>np(1-p)</math>; die relative Häufigkeit <math>\tfrac{k}{n}</math> des Eintretens hat somit Erwartungswert <math>p</math> und Varianz <math>\tfrac{p(1-p)}{n}</math>. Für die Abweichung der relativen Häufigkeit vom Erwartungswert liefert die tschebyscheffsche Ungleichung
:<math>\operatorname{P}\left(\left|\frac{k}{n}-p \right|\geq \epsilon \right) \leq \frac{p(1-p)}{\epsilon^2n} \leq \frac{1}{4\epsilon^2n} </math>,
wobei für die zweite Abschätzung die unmittelbar aus der [[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel]] folgende Beziehung <math>\sqrt{p(1-p)}\leq \tfrac{1}{2}</math> verwendet wurde.

Bei dieser Formel handelt es sich um den Spezialfall eines schwachen Gesetzes der großen Zahlen, das die [[stochastische Konvergenz]] der relativen Häufigkeiten gegen den Erwartungswert zeigt.

Die tschebyscheffsche Ungleichung liefert für dieses Beispiel nur eine grobe Abschätzung, eine quantitative Verbesserung liefert die [[Chernoff-Ungleichung]].

== Beweisskizze ==
Die meisten Autoren führen die tschebyscheffsche Ungleichung als Spezialfall der [[Markow-Ungleichung (Stochastik)|Markow-Ungleichung]]
:<math>
P \left( Y \geq k \right) \leq \frac{\operatorname{E}\left(h(Y)\right)}{h(k)}
</math>
mit <math> Y= |X-\mu| </math> und der Funktion <math> h(x)=x^2 </math> ein.<ref>{{Literatur |Autor=[[Achim Klenke]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=3. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-36017-6 |Seiten=110 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Hans-Otto Georgii |Titel=Stochastik |TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik |Auflage=4. |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=2009 |ISBN=978-3-11-021526-7 |Seiten=122 |DOI=10.1515/9783110215274}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Heidelberg Dordrecht London New York |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |Seiten=288 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}</ref>
Wie man die Markow-Ungleichung mit schulgemäßen Mitteln aus einem unmittelbar einsichtigen Flächenvergleich folgern und dann daraus diese Fassung der Ungleichung von Tschebyscheff herleiten kann, findet man zum Beispiel bei Wirths.<ref>H. Wirths: Der Erwartungswert – Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In: Mathematik in der Schule 1995/Heft 6, S. 330–343</ref>

Für einen direkten Beweis definiert man
:<math>
A_k= \{ \omega \in \Omega \mid |X - \mu| \geq k \}.
</math>
Bezeichnet <math> \mathbf 1_A </math> die [[Indikatorfunktion]] auf der Menge <math> A </math>, so gilt für alle <math> \omega </math> die Ungleichung
:<math>
|X(\omega)-\mu|^2 \geq k^2 \mathbf 1_{A_k}(\omega).
</math>
Denn ist <math> \omega \notin A_k </math>, so ist die rechte Seite null und die Ungleichung erfüllt. Ist <math> \omega \in A_k </math>, so hat die linke Seite nach Definition der Mengen <math> A_k </math> mindestens den Wert <math> k^2 </math>, und die Ungleichung ist wiederum erfüllt. Mit der Monotonie des Erwartungswertes und seinen elementaren Rechenregeln folgt über die Definition der Varianz
:<math>
\sigma^2 = \operatorname{Var}(X)= \operatorname E (|X-\mu|^2)
\geq \operatorname E (k^2 \mathbf 1_{A_k})= k^2 P(A_k)= k^2P(|X - \mu| \geq k).
</math>
Teilen durch <math> k^2 </math> liefert die Tschebyscheff-Ungleichung.<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Elementare Stochastik |TitelErg=Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2013 |ISBN=978-3-8348-1939-0 |Seiten=229-230 |DOI=10.1007/978-3-8348-2331-1}}</ref>

Diese ergibt sich aber auch ohne Erwartungswert-Regeln aus einem einfachen Flächenvergleich, ausgehend von der allgemeingültigen Darstellung des Erwartungswertes als Differenz zweier uneigentlichen Riemann-Integrale (bei der [[Erwartungswert#Uhl2023Bild1|Skizze]] in der [[Erwartungswert#Allgemeine Definition|allgemeinen Definition des Erwartungswertes]]).<ref>Roland Uhl: ''Charakterisierung des Erwartungswertes am Graphen der Verteilungsfunktion''. Technische Hochschule Brandenburg, 2023, {{DOI|10.25933/opus4-2986}} ([https://opus4.kobv.de/opus4-fhbrb/files/2986/Uhl2023.pdf PDF]). S. 5.</ref>

== Verwandte Resultate ==
* [[Burkholder-Ungleichung]]
* [[Doobsche Maximalungleichung]]
* [[Ungleichung von Cantelli]]
* [[Chernoff-Ungleichung]]
* [[Lemma von Frank#Folgerung: Die Ungleichung von Hájek und Rényi|Ungleichung von Hájek und Rényi]]
* [[Jensensche Ungleichung]]
* [[Kolmogorow-Ungleichung]]
* [[Ungleichung von Ljapunow]]
* [[Markow-Ungleichung (Stochastik)]]
* [[Ungleichung von Ottaviani-Skorokhod]]
* [[Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung]]
* [[Hoeffding-Ungleichung]]

== Literatur ==
* [[Robert B. Ash]]: ''Real Analysis and Probability''. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3.
* {{Literatur
|Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]]
|Titel=Maß- und Integrationstheorie
|Reihe=De Gruyter Lehrbuch
|Auflage=2., überarbeitete
|Verlag=de Gruyter
|Ort=Berlin / New York
|Datum=1992
|ISBN=3-11-013625-2}}
* {{Literatur
|Autor=Heinz Bauer
|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie
|Reihe=De Gruyter Lehrbuch
|Auflage=5., durchgesehene und verbesserte
|Verlag=de Gruyter
|Ort=Berlin / New York
|Datum=2002
|ISBN=3-11-017236-4}}
* [[Ulrich Krengel]]: ''Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik''. 7. Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5.
* {{Literatur
|Autor=[[Radha Govinda Laha|R. G. Laha]], [[Vijay K. Rohatgi|V. K. Rohatgi]]
|Titel=Probability Theory
|Reihe=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics
|Verlag=John Wiley & Sons
|Ort=New York (u. a.)
|Datum=1979
|ISBN=0-471-03262-X}}
* {{Literatur
|Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]]
|Titel=Wahrscheinlichkeit
|Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
|BandReihe=91
|Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
|Ort=Berlin
|Datum=1988
|ISBN=3-326-00195-9}}
* [[Andreas Wagener (Ökonom, 1967)|Andreas Wagener]]: ''Chebyshev’s Algebraic inequality and comparative statics under uncertainty''. In: ''Mathematical Social Sciences'', 52, 2006, S. 217–221, {{DOI|10.1016/j.mathsocsci.2006.05.004}}.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Statistik: Ungleichung von Bienaymé-Tschebyschew|Beschreibung mit Beispiel}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]
[[Kategorie:Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]]
[[Kategorie:Ungleichung (Stochastik)]]

Tschebyscheffsche Ungleichung - Versionsgeschichte

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