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2022-09-16T06:53:16Z

Digitale Realisierung

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'''Tschebyscheff-Filter''' sind kontinuierliche Frequenz[[Filter (Elektronik)|filter]], die auf ein möglichst scharfes Abknicken des [[Frequenzgang (System)|Frequenzgangs]] bei der [[Grenzfrequenz]] ω<sub>g</sub> ausgelegt sind. Dafür verläuft die Verstärkung im [[Durchlassbereich]] oder im Sperrbereich nicht monoton, sondern besitzt eine festzulegende Welligkeit (Ripple). Innerhalb einer Ordnung ist der Abfall umso steiler, je größer die zugelassene Welligkeit ist. Sie sind benannt nach [[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]] (früher transkribiert als Tschebyscheff).

Es wird zwischen Tschebyscheff-Filtern vom Typ I und vom Typ II unterschieden. Tschebyscheff-Filter vom Typ I besitzen im Durchlassbereich einen oszillierenden Verlauf der [[Übertragungsfunktion]]. Tschebyscheff-Filter vom Typ II besitzen die Welligkeit der Übertragungsfunktion im Sperrbereich und werden in der Fachliteratur auch als ''inverse Tschebyscheff-Filter'' bezeichnet.

== Übertragungsfunktion ==
[[Datei:Chebyshev Type I Filter Response (4th Order).svg|mini|hochkant=1.7|Übertragungsfunktion eines Tschebyscheff-Filters 4. Ordnung vom Typ I mit auf die Grenzfrequenz bezogenen Frequenzverlauf]]
Für den Bereich <math>0 \le x \le 1</math> besitzen die [[Tschebyscheff-Polynom]]e <math>T_n</math> die gewünschten Eigenschaften. Für <math>x \ge 1</math> wachsen die Tschebyscheff-Polynome monoton.

Um mit Hilfe der Tschebyscheff-Polynome einen Tiefpass herzustellen, setzt man
:<math>
\left|\underline{A}\right|^2 = \frac{k A_0^2}{1 + \varepsilon ^2 T_n^2(P)}
</math>

mit
<math>k</math>
so gewählt, dass für ''x''=0 <math>\left|\underline{A}\right|^2 = A_0^2</math> wird.
<math>\varepsilon</math> ist ein Maß für die Welligkeit.

== Koeffizienten ==
Bringt man die Übertragungsfunktion in die Form
: <math> A[P] = \frac{A_0}{\prod_i (1 + a_i P + b_i P^2)} </math>

ergeben sich für die Koeffizienten <math>a_i</math> und <math>b_i</math> folgende Beziehungen:

Ordnung n des Filters gerade:
:<math> a_i^\prime = 2 b_i^\prime \sinh \gamma \cos \frac{(2 i - 1)\pi}{2n}</math>
:<math> b_i^\prime = \frac{1}{\cosh^2 \gamma - \cos^2 \frac{(2 i - 1)\pi}{2n}}</math>

Ordnung n des Filters ungerade:
:<math> a_1^\prime = \frac{1}{\sinh \gamma}</math>
:<math> b_1^\prime = 0 </math>
:<math> a_i^\prime = 2 b_i^\prime \sinh \gamma \cos \frac{(i - 1)\pi}{n}</math>
:<math> b_i^\prime = \frac{1}{\cosh^2 \gamma - \cos^2 \frac{(i - 1)\pi}{n}}</math>

Diese Koeffizienten sind so gewählt, dass die [[Grenzfrequenz]] <math>\omega_\mathrm{g}</math> auf die letzte Frequenz normiert ist, an der die gewählte Verstärkung das letzte Mal angenommen wird.

== Eigenschaften ==
Das Tschebyscheff-Filter besitzt folgende Eigenschaften:
* welliger Frequenzverlauf je nach Typus im Durchlassbereich oder im Sperrbereich.
* sehr steiles Abknicken bei der [[Grenzfrequenz]], verbessert sich mit der Ordnung und der Welligkeit.
* beträchtliches [[Überschwingen]] bei der [[Sprungantwort]], verschlechtert sich mit der Ordnung und Welligkeit.
* lässt man die Welligkeit gegen 0 gehen, geht das Tschebyscheff-Filter in ein [[Butterworth-Filter]] über.
* keine konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich.

== Digitale Realisierung ==
Für eine digitale Realisierung des Tschebyscheff-Filters transformiert man zunächst die einzelnen [[Digitales Filter#Eigenschaften|Biquads]] mittels [[Bilineare Transformation (Signalverarbeitung)|bilinearer Transformation]] und kaskadiert diese mit den entsprechenden Koeffizienten <math>a_i</math> und <math>b_i</math>. Im Folgenden ist dies für ein Tiefpassfilter mit gerader Ordnung n durchgeführt worden.

Die Z-Transformierte eines Biquads sieht generell wie folgt aus:
:<math>
S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}
</math>.

Diese Gleichung transformiert sich in den Zeitbereich wie folgt:
:<math>
y[n]=\alpha_0 \cdot x[n] + \alpha_1 \cdot x[n-1] + \alpha_2 \cdot x[n-2] - \beta_1 \cdot y[n-1] - \beta_2 \cdot y[n-2]
</math>

Die Koeffizienten <math>\alpha_i</math> und <math>\beta_i</math> berechnen sich aus den Koeffizienten <math>a_i</math> und <math>b_i</math> folgendermaßen:
:<math>
K = \tan \left(\pi \frac{\text{Frequenz}}{\text{Abtastrate}}\right)
</math> (Prewarp der Frequenz)

:<math>
b_i = \frac{1}{\cosh(\gamma)^2 - \cos^2\frac{(2i-1)\cdot\pi}{n}}
</math>

:<math>
a_i = K \cdot 2b_i \cdot \sinh(\gamma) \cdot \cos\frac{(2i-1)\cdot\pi}{n}
</math>

<math>\gamma</math> ist dabei ein Maß für das Überschwingen:
:<math>
\gamma = \frac{\operatorname{arsinh}(\text{Ripple in dB})}{n}
</math>

Die Koeffizienten berechnen sich dann zu:
:<math> \alpha_0 = K \cdot K </math>
:<math> \alpha_1 = 2 \cdot K^2 </math>
:<math> \alpha_2 = K \cdot K </math>

:<math> \beta_0^\prime = (a_0 + K^2 + b_0) </math>
:<math> \beta_1^\prime = 2 \cdot (b_1 - K^2) </math>
:<math> \beta_2^\prime = (a_2 - K^2 - b_2) </math>

:<math> \beta_1 = \beta_1^\prime / \beta_0^\prime</math>
:<math> \beta_2 = \beta_2^\prime / \beta_0^\prime</math>

Um Filter höherer Ordnung zu realisieren, braucht man nur mehrere Biquad-Sektionen zu kaskadieren. Die Umsetzung digitaler Tschebyscheffilter erfolgt in [[IIR-Filter]]strukturen (rekursive Filterstruktur).

== Siehe auch ==
* [[Bessel-Filter]]
* [[Cauer-Filter]]
* [[Butterworth-Filter]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor = Lutz v. Wangenheim
|Titel = Aktive Filter und Oszillatoren
|Verlag = Springer Verlag | Jahr = 2007 | Auflage = 1. | Ort = Bremen | ISBN = 978-3-540-71737-9 }}

== Weblinks ==
* [https://www.changpuak.ch/electronics/chebyshev_lowpass.php Tschebyscheff-Tiefpassfilter berechnen]

[[Kategorie:Filter (Elektrotechnik)]]

Tschebyscheff-Filter - Versionsgeschichte

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