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2026-01-03T22:28:22Z

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Eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] in der [[Gruppentheorie]] ist '''trivial''', wenn ihre [[Trägermenge]] genau ein [[Element (Mathematik)|Element]] enthält. Je zwei triviale Gruppen sind isomorph, die triviale Gruppe ist also bis auf [[Gruppenisomorphismus|Isomorphie]] eindeutig bestimmt. Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe als [[Untergruppe]].

== Definition ==

Eine Gruppe <math>(G, *)</math> ist '''trivial''', wenn <math>G</math> eine [[einelementige Menge]] <math>G=\{ e \}</math> ist.

Die Verknüpfung <math>* : G \times G \to G</math> ist notwendigerweise durch
: <math>e * e = e</math>
gegeben und <math>e</math> ist das [[Neutrales Element|neutrale Element]] der Gruppe.

== Beispiele ==

Beispiele für triviale Gruppen sind:
* die triviale Gruppe der [[Addition]] <math>(\{ 0 \}, +)</math>,
* die triviale Gruppe der [[Multiplikation]] <math>(\{ 1 \}, \cdot)</math>,
* die triviale Gruppe der [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] von Abbildungen <math>(\{ \mathrm{id} \}, \circ )</math>, wobei <math>\mathrm{id} \colon S \to S</math> die [[Identitätsabbildung]] auf einer beliebigen Menge <math>S</math> ist,
* die [[zyklische Gruppe]] <math>C_1</math> von [[Gruppenordnung|Ordnung]] <math>1</math>,
* die [[symmetrische Gruppe]] <math>S_1</math> der Permutationen von <math>\{1\}</math>,
* die [[alternierende Gruppe]] <math>A_2</math> der [[Gerade Permutation|geraden Permutationen]] von <math>\{1,2\}</math>.

== Eigenschaften ==

* Alle trivialen Gruppen sind zueinander [[Gruppenisomorphismus|isomorph]].
* Da die Gruppenoperation <math>\ast</math> kommutativ ist, ist die triviale Gruppe eine [[abelsche Gruppe]].
* Die einzige [[Untergruppe]] der trivialen Gruppe ist die triviale Gruppe selbst.
* Die triviale Gruppe wird von der [[Leere Menge|leeren Menge]] [[Erzeuger (Algebra)|erzeugt]]: <math>\{ e \} = \langle \emptyset \rangle</math>. Hierbei ergibt das [[Leeres Produkt|leere Produkt]] nach üblicher Konvention das neutrale Element.
* Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe und sich selbst als ([[Trivialität|triviale]]) [[Normalteiler]]. Die triviale Gruppe wird daher meistens nicht als [[Einfache Gruppe (Mathematik)|einfache Gruppe]] angesehen.
* Für jede beliebige Gruppe <math>H</math> gibt es genau einen [[Gruppenhomomorphismus]] <math>H \to \{e\}</math> und genau einen Gruppenhomomorphismus <math>\{e\} \to H</math>. Das heißt, dass in der [[Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Gruppen '''Grp''' die triviale Gruppe ein [[Nullobjekt (Kategorientheorie)|Nullobjekt]] ist.

== Siehe auch ==
* [[Nullring]]
* [[Nullvektorraum]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Rainer Schulze-Pillot
|Titel=Einführung in Algebra und Zahlentheorie
|Verlag=Springer
|Datum=2008
|ISBN=978-3-540-79570-4}}
* {{Literatur
|Autor=Jürgen Wolfart
|Titel=Einführung in die Zahlentheorie und Algebra
|Verlag=Springer
|Datum=2010
|ISBN=978-3-8348-9833-3}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=TrivialGroup |author=Todd Rowland, [[Eric Weisstein|Eric W. Weisstein]] |title=Trivial Group}}

[[Kategorie:Endliche Gruppe]]

Triviale Gruppe - Versionsgeschichte

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