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2025-05-21T10:59:06Z

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In der [[Mathematik]] ist der Trilogarithmus eine nicht elementare [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktion]]. Er ist der [[Polylogarithmus]] mit dem Index 3. Somit ist er die durch den Koordinatenursprung verlaufende [[Stammfunktion]] des Produkts von Dilogarithmus und Kehrwertfunktion.

== Definition ==
[[Datei:Mplwp trilogarithm complex.svg|mini|Realteil und Imaginärteil vom Trilogarithmus]]
Der Trilogarithmus<ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/Trilogarithm.html |titel=Trilogarithm |sprache=en |abruf=2021-07-22}}</ref> ist für [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlen]] x mit |x| < 1 durch diese [[Potenzreihe]] definiert:

: <math>\operatorname{Li}_{3}(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^3}x^k</math>

Bezüglich der [[Analytische Fortsetzung|analytischen Fortsetzung]] auf die komplexen Zahlen ℂ \ [1;+∞] ist folgende Formel gültig:

: <math>\operatorname{Li}_{3}(x) = \int_{0}^{1} \frac{1}{y}\operatorname{Li}_{2}(xy) \mathrm{d}y</math>

Der englische Mathematiker [[John Landen]] führte den Trilogarithmus im Jahr 1760<ref>{{Internetquelle |url=https://www.britannica.com/science/trilogarithm |titel=Trilogarithm {{!}} mathematics |sprache=en |abruf=2021-07-22}}</ref> ein. Im Gegensatz zum [[Dilogarithmus]] wird im Trilogarithmus außer der Null keine elementare Zahl einer elementaren Zahl zugeordnet. Diese Eigenschaft hat der Trilogarithmus mit dem [[Arkustangensintegral]] gemeinsam.

== Funktionalgleichungen ==
Die Funktion des Tilogarithmus genügt folgenden Funktionalgleichungen:

: <math>\operatorname{Li}_{3}(x)+\operatorname{Li}_{3}(-x) = \tfrac{1}{4}\operatorname{Li}_{3}(x^2)</math>
: <math>\operatorname{Li}_{3}(-\sqrt{x^2+1}+x) - \operatorname{Li}_{3}(-\sqrt{x^2+1}-x) = \tfrac{1}{6}\pi^2\operatorname{arsinh}(x) + \tfrac{1}{6}\operatorname{arsinh}(x)^3</math>
: <math>\operatorname{Li}_{3}(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}x) + \operatorname{Li}_{3}(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}x) + \operatorname{Li}_{3}\bigl[-(1-x)(1+x)^{-1}\bigr] =</math>
: <math>= \zeta(3) - \tfrac{1}{6}\pi^2\ln[2(1+x)^{-1}] - \tfrac{1}{6}\ln[2(1+x)^{-1}]^3 + \tfrac{1}{2}\ln[2(1+x)^{-1}]^2\ln[2(1-x)^{-1}]</math>

== Spezielle Werte ==
Für die folgenden Zahlen können x und Li₃(x) in geschlossener Form<ref>{{Internetquelle |url=https://math.stackexchange.com/questions/412413/the-value-of-the-trilogarithm-at-frac12 |titel=special functions - The value of the trilogarithm at $\frac{1}{2}$ |abruf=2021-07-22}}</ref> dargestellt werden:

: <math>\operatorname{Li}_{3}(0) = 0</math>
: <math>\operatorname{Li}_{3}(1) = \zeta(3)</math>
: <math>\operatorname{Li}_{3}(-1) = -\tfrac{3}{4}\zeta(3)</math>
: <math>\operatorname{Li}_{3}(\tfrac{1}{2}) = \tfrac{7}{8}\zeta(3) - \tfrac{1}{12}\pi^2\ln(2) + \tfrac{1}{6}\ln(2)^3</math>
: <math>\operatorname{Li}_{3}(\Phi^{-2}) = \tfrac{4}{5}\zeta(3) - \tfrac{2}{15}\pi^2\ln(\Phi) + \tfrac{2}{3}\ln(\Phi)^3</math>

Hierbei wird mit ζ(3) die [[Apéry-Konstante]] und mit Φ = (√5 + 1)/2 die [[Goldener Schnitt|Goldene Zahl]] zum Ausdruck gebracht.

Die Mathematiker [[David H. Bailey|David Bailey]], [[Peter Borwein]] und [[Simon Plouffe]] entdeckten neben der nach ihnen benannten [[Bailey-Borwein-Plouffe-Formel|BBP-Formel]] auch folgende Formel:

: <math>16\operatorname{Li}_{3}(\tfrac{1}{2}) - 18\operatorname{Li}_{3}(\tfrac{1}{4}) - 4\operatorname{Li}_{3}(\tfrac{1}{8}) + \operatorname{Li}_{3}(\tfrac{1}{64}) = \tfrac{2}{3}\pi^2\ln(2) - \tfrac{10}{3}\ln(2)^3</math>

== Ableitungen und Integrationen ==
Der Trilogarithmus dient zur Integration nicht elementaren Funktionen. Einige elementare Linearkombinationen aus Trilogarithmus und Dilogarithmus dienen zusätzlich zur Integration von elementaren Funktionen:

: <math>\frac{1}{x}\operatorname{arsinh}(x)^2 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{2}\operatorname{Li}_{3}[1-(\sqrt{x^2+1}-x)^2] + \frac{1}{2}\operatorname{Li}_{3}[1-(\sqrt{x^2+1}+x)^2] + \operatorname{arsinh}(x)\operatorname{Li}_{2}[1-(\sqrt{x^2+1}-x)^2] + \operatorname{arsinh}(x)^3 </math>
: <math>\frac{1}{x}\ln(1-x)^2 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} 2\operatorname{Li}_{3}(x) + 2\operatorname{Li}_{3}\bigl(\frac{x}{x-1}\bigr) - 2\ln(1-x)\operatorname{Li}_{2}(x) - \frac{1}{3}\ln(1-x)^3 </math>
: <math>\frac{1}{x}\operatorname{artanh}(x)^2 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{2}\bigl[\operatorname{Li}_{3}\bigl(\tfrac{2x}{x+1}\bigr) + \operatorname{Li}_{3}\bigl(\tfrac{x-1}{x+1}\bigr) + \operatorname{Li}_{3}\bigl(\tfrac{2x}{x-1}\bigr)\bigr] + \operatorname{artanh}(x)\bigl[\operatorname{Li}_{2}\bigl(\tfrac{2x}{x+1}\bigr) + \operatorname{Li}_{2}\bigl(\tfrac{x-1}{x+1}\bigr)\bigr] + \frac{1}{3}\operatorname{artanh}(x)^2\ln\bigl[\tfrac{(x+1)^4}{8(-x+1)}\bigr] </math>

Folgende Beziehung gilt für diese [[Debyesche Funktionen|Debyesche]] Funktion:

: <math>D^{(1)}_2(x) = \int_{0}^{x} \frac{t^2}{\exp(t)-1} \mathrm{d}t = 2\operatorname{Li}_{3}[1-\exp(-x)] + 2\operatorname{Li}_{3}[1-\exp(x)] + 2x\operatorname{Li}_{2}[1-\exp(-x)] + \frac{1}{3}x^3</math>

== Siehe auch ==

* [[Dilogarithmus]]
* [[Arkustangensintegral]]
* [[Debyesche Funktionen]]

== Literatur ==

* Lewin, L. ''Polylogarithms and Associated Functions.'' New York: North-Holland, pp. 154–156, 1981.
* Bailey, D. H.; Borwein, P. B.; and Plouffe, S. "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants." ''Math. Comput.'' '''66''', 903–913, 1997.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Trilogarithmus - Versionsgeschichte

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