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2026-02-23T15:08:45Z

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[[Datei:Trigonometric Pythagorean Theorem qtl1.svg|miniatur|Geometrische Veranschaulichung des „trigonometrischen Pythagoras“]]
Als '''trigonometrischer Pythagoras''' wird die [[Identitätsgleichung|Identität]]

:<math>\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha = 1</math>

bezeichnet.<ref name="Papula">{{cite book|author=[[Lothar Papula]]|title=Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1|url=http://books.google.com/books?id=vTuCSeEal6AC&pg=PA251|publisher=Springer|isbn=978-3-8348-1749-5|pages=251}}</ref><ref name="KreulZiebarth2009">{{cite book|author=Hans Kreul, Harald Ziebarth|title=Mathematik leicht gemacht|url=http://books.google.com/books?id=p7ZQlJG6ClcC&pg=PA596|date=August 2009|publisher=Harri Deutsch Verlag|isbn=978-3-8171-1836-6|pages=94 |language=de}}</ref>
Hierbei steht <math>\sin^2 \alpha</math> für <math>(\sin \alpha)^2</math> und <math>\cos^2 \alpha</math> für <math>(\cos \alpha)^2</math>. Die Gültigkeit dieser Identität kann am [[Einheitskreis]] gezeigt werden, mit Hilfe des [[Satz des Pythagoras|Satzes von Pythagoras]], der auch namensgebend für diesen häufig benutzten Satz der [[Trigonometrie]] ist.

== Geometrische Herleitung ==
Als Grundlage dient der [[Satz des Pythagoras]]. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der [[Hypotenuse]] <math>c</math> und den [[Kathete]]n <math>a</math> und <math>b</math>

:<math>a^2 + b^2 = c^2</math>

gilt. Wird der Winkel <math>\alpha</math> im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewählt, dass <math>a</math> seine Gegenkathete und <math>b</math> seine Ankathete ist, so gilt allgemein

:<math>a=\sin \alpha \cdot c</math>,
:<math>b=\cos \alpha \cdot c</math>.

Einsetzen beider Gleichungen in den Satz des Pythagoras ergibt dann

:<math>(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) \cdot c^2 = c^2</math>,
:<math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 </math>.

=== Geometrische Veranschaulichung ===
In der nebenstehenden Skizze sind der [[Einheitskreis]], das heißt ein Kreis mit Radius 1, und ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge 1 im Einheitskreis dargestellt. Der Satz des Pythagoras gilt hier für einen beliebigen Wert des Winkels <math> \alpha</math> im Einheitskreis und zeigt sofort die Gültigkeit des „trigonometrischen Pythagoras“.

== Analytische Herleitung ==
Für stumpfe und überstumpfe Winkel <math>\alpha</math> ist die Beweiskraft der Anschauung problematisch, da für solche (mindestens) eine Winkelfunktion negative Werte hat; was sind „negative Seiten“ eines rechtwinkligen Dreiecks? Ein analytischer Beweis zeigt, dass der trigonometrische Pythagoras für beliebige [[Reelle Zahl|reelle]] und [[Komplexe Zahl|komplexe]] Argumente <math>\alpha</math> der verwendeten Winkelfunktionen gilt.

Mit der [[Komplexe Zahl|imaginären Einheit]] und der [[Binomische Formeln#Die Formeln|dritten binomischen Formel]] lässt sich faktorisieren:

<math>\cos^2(\alpha) +\sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) -\mathrm{i}^2 \cdot \sin^2(\alpha) = (\cos(\alpha) + \mathrm{i} \cdot \sin(\alpha)) \cdot (\cos(\alpha) -\mathrm{i} \cdot \sin(\alpha)); </math>

da der Cosinus eine [[Gerade und ungerade Funktionen#Definition|gerade Funktion]] und der Sinus eine [[Gerade und ungerade Funktionen#Definition|ungerade Funktion]] ist, folgt mit der [[Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] weiter:

<math>(\cos(\alpha) + \mathrm{i} \cdot \sin(\alpha)) \cdot (\cos(\alpha) - \mathrm{i} \cdot \sin(\alpha))
= (\cos(\alpha) + \mathrm{i} \cdot \sin(\alpha)) \cdot (\cos(-\alpha) + \mathrm{i} \cdot \sin(-\alpha))
= \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \alpha}
= \mathrm{e}^0
= 1, \quad</math>q.e.d.

== Anwendungsbeispiele ==

Der trigonometrische Pythagoras wird häufig für Umformungen trigonometrischer Terme verwendet, etwa beim Zusammenhang zwischen [[Tangens]] und [[Kosinus]] oder bei den verschiedenen Formeln für den Kosinus eines verdoppelten Winkels.
:<math>\tan^2\alpha + 1 = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}</math>
:<math>\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2 \cos^2\alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2\alpha</math>

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Satz (Geometrie)]]

Trigonometrischer Pythagoras - Versionsgeschichte

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