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[[Datei:Snub disphenoid.png|mini|Das Trigondodekaeder]]
[[Datei:J84 snub disphenoid wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Trigondodekaeders]]
Das '''Trigondodekaeder''' (auch '''Pyramidentetraeder''') ist ein [[Polyeder]] mit zwölf [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecken]] als Flächen, 8 Ecken und 18 Kanten. An vier der Ecken grenzen fünf Kanten und an die anderen vier Ecken grenzen vier Kanten an.

Es ist ein [[Deltaeder]] und der [[Johnson-Körper]] J84 von 92, die alle nach dem Mathematiker [[Norman Johnson (Mathematiker)|Norman Johnson]] benannt sind.

== Kartesische Koordinaten ==
[[Datei:Trigondodekaeder.png|rechts|400px]]
Die [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] der Eckpunkte können lauten, bei Mittelpunkt im Ursprung und Kantenlänge 2:

:<math>\begin{alignat}{4}
&(& 0,&&\; \pm 1,&&\; p&)\\
&(&\pm r,&&\; 0,&&\; q&)\\
&(& 0,&&\; \pm r,&&\; -q&)\\
&(&\pm 1,&&\; 0,&&\; -p&)
\end{alignat}</math>

Nach dem [[Satz von Pythagoras]] gilt:
:<math>r^2 + (p-q)^2 = 3</math>
:<math>(r-1)^2 + (p+q)^2 = 4</math>
:<math>r^2 + 2q^2 = 2</math>

Daraus folgt:
:<math>p = \frac{1}{2}(\sqrt{3+2r-r^2} + \sqrt{3-r^2}) \approx 1{,}57</math>
:<math>q = \frac{1}{2}(\sqrt{3+2r-r^2} - \sqrt{3-r^2}) = \sqrt{\frac{2-r^2}{2}}</math>

:<math>q = \sqrt{x} \approx 0{,}411123</math> als eine von drei Lösungen der Gleichung <math>2x^3 + 11x^2 + 4x - 1 = 0</math>.
:<math>r \approx 1{,}289169</math> als eine von drei Lösungen der Gleichung <math>r^3 - 3r^2 - 4r + 8 = 0</math>.

Aus den Koordinaten ergibt sich, dass ein minimaler Quader, der den Körper einschließt, die Form einer [[Quader|Quadratischen Säule]] mit einer Höhe von <math>2p</math> und einer Breite von <math>r\sqrt{2}</math> annimmt. Alle sechs Flächen der Säule berühren eine Kante des Trigondodekaeders. Bedingt durch die Tatsache, dass der zuvor genannte [[Hüllkörper]] kein [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] ist, besitzt das Trigondodekaeder weder eine [[Umkugel]] noch eine [[Inkugel]] oder [[Kantenkugel]].

== Formeln ==
[[Datei:Trigondodekaedernetz.svg|mini|[[Netz (Geometrie)|Körpernetz]] eines Trigondodekaeders]]
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Trigondodekaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math> V = \frac{r}{12} a^3 \left(6 \sqrt{3 - r^2} + r \sqrt{4 - 2r^2}\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math> A_O = 3a^2 \sqrt{3} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. [[Flächenwinkel]] ≈ 96,2°'''
| <math> \cos \, \alpha_1 = \frac{1}{3}\left(3 - 2r^2\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Flächenwinkel ≈ 121,74°'''
| <math> \cos \, \alpha_2 = \frac{1}{3}\left(1 - 2r\right) = \frac{1}{3}\left(4q^2 - 1\right)</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Flächenwinkel ≈ 166,44°'''
| <math> \cos \, \alpha_3 = \frac{2}{3}\left(1 - p^2\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,84133'''
| <math> \Psi = \frac \sqrt [3] {36 \,\pi \,V^{2}} {A_O} </math>
|}

== Siehe auch ==
* [[Triakistetraeder]], das von zwölf gleichschenkligen Dreiecken begrenzt wird.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Snub disphenoid|Trigondodekaeder}}
* {{MathWorld|TrigonalDodecahedron|Trigondodekaeder}}
* {{MathWorld|JohnsonSolid|Die Johnson-Körper}}

[[Kategorie:Johnson-Körper]]

Trigondodekaeder - Versionsgeschichte

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