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2025-04-29T11:42:17Z

Kriterien für die Trigonalisierbarkeit: Link aktualisiert

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Eine '''trigonalisierbare Matrix''' ist in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]], einem [[Teilgebiet der Mathematik]], eine [[quadratische Matrix]], die [[Ähnlichkeit (Matrix)|ähnlich]] zu einer [[Obere Dreiecksmatrix|oberen Dreiecksmatrix]] ist. Für eine trigonalisierbare Matrix <math>A</math> existiert also eine [[reguläre Matrix]] <math>S</math>, sodass <math>D = S^{-1}AS</math> eine obere Dreiecksmatrix ist. Als '''trigonalisierbaren Endomorphismus''' bezeichnet man entsprechend einen [[Endomorphismus#Vektorräume|Endomorphismus]] <math>f\colon V\to V</math> über einen endlichdimensionalen [[Vektorraum]] <math>V</math>, falls es eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] <math>B</math> von <math>V</math> gibt, sodass die [[Darstellungsmatrix]] <math>M_B(f)</math> eine obere Dreiecksmatrix ist. Die trigonalisierbaren Matrizen sind somit die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen.

== Definition ==
Eine quadratische Matrix <math>A \in K^{n \times n}</math> heißt trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das heißt, es existiert eine reguläre Matrix <math>S \in K^{n \times n}</math>, sodass <math>D : = S^{-1}AS</math> eine obere Dreiecksmatrix ist, also sodass <math>D</math> die Form

:<math>D = S^{-1}AS = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & \ast & \cdots & \ast \\
0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ast \\
0 & \cdots & 0 & \lambda_n
\end{pmatrix} \in K^{n \times n}</math>

hat, wobei <math>\lambda_1, \lambda_2, \dotsc, \lambda_n \in K</math> Eigenwerte von D sind.

Ein Endomorphismus <math>f\colon V\to V</math> über einen endlichdimensionalen Vektorraum <math>V</math> heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis <math>B</math> von <math>V</math> gibt, sodass die Darstellungsmatrix <math>M_B(f)</math> eine obere Dreiecksmatrix ist.

== Kriterien für die Trigonalisierbarkeit ==
Folgende Aussagen sind äquivalent und legen damit fest, ob eine Matrix trigonalisierbar ist:
* Die Matrix <math>A</math> ist [[Ähnlichkeit (Matrix)|ähnlich]] zu einer oberen Dreiecksmatrix. Das heißt, es existieren eine obere Dreiecksmatrix <math>D</math> und eine [[invertierbare Matrix]] <math>P</math> mit <math>D = P^{-1}AP</math>.
* Das [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] der Matrix <math>A</math> zerfällt über dem Körper <math>K</math> in [[Linearfaktor]]en.
* Das [[Minimalpolynom (Lineare Algebra)|Minimalpolynom]] der Matrix <math>A</math> zerfällt über dem Körper <math>K</math> in Linearfaktoren.
* Die Matrix <math>A</math> besitzt über dem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> eine [[Jordan-Normalform]].

Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix über <math>\mathbb{C}</math> trigonalisierbar, da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

== Berechnung der oberen Dreiecksmatrix ==
Um die gesuchte obere Dreiecksmatrix <math>D</math> zu berechnen, berechnen wir zuerst die Matrix <math>P</math>, mit der die Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt wird. Es gilt:
:<math>D = P^{-1}AP</math>
Des Weiteren haben <math>A</math> und <math>D</math> dieselben [[Eigenwert]]e.

Da das charakteristische Polynom von <math>A</math> in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert <math>\lambda_1</math> und einen zugehörigen Eigenvektor <math>v_1</math>. Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis <math>v_1, v_2, \dots, v_n</math> des <math>K^n</math> ergänzt. Die Matrix <math>T_1</math> sei die [[Basiswechselmatrix]] zum [[Basiswechsel (Vektorraum)|Basiswechsel]] von der Basis <math>v_1, v_2, \dots, v_n</math> zu der Einheitsbasis. Damit lässt sich <math>T_1^{-1}AT_1</math> berechnen und die Form
:<math>T_1^{-1}AT_1 = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & d_{1,2} & \cdots & d_{1,n} \\
0 & & & \\
\vdots & & A_1 & \\
0 & & & \end{pmatrix}</math>
Für das charakteristische Polynom der <math>(n-1)\times(n-1)</math>-Matrix <math>A_1</math> gilt <math>p_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)p_{A_1}</math>. Es zerfällt daher auch in Linearfaktoren und <math>A_1</math> ist somit selbst wieder trigonalisierbar. Dieses Verfahren lässt sich nun fortsetzen, bis man <math>A_{n-1} = d_{n,n}</math> berechnet hat. Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix <math>D</math>. Die Matrix <math>P</math> ergibt sich als [[Matrizenprodukt|Produkt]] <math>T_1 T_2 \dots T_{n-1}</math> der Basiswechselmatrizen.

== Siehe auch ==
* [[Schur-Zerlegung]] ist ein Beispiel für ein Trigonalisierungsverfahren über <math>\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{C}</math>
* [[Diagonalisierbare Matrix]]
== Weblinks ==
{{Wikiversity|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 25|Eine Vorlesung über trigonalisierbare Abbildungen}}

== Literatur ==
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger.'' 14. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

[[en:Triangular_matrix#Triangularisability]]

Trigonalisierbare Matrix - Versionsgeschichte

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