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2022-09-20T22:13:50Z

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[[Image:Complex Polygamma 1.jpg|right|thumb|300px|Die Trigammafunktion <math>\psi_1(z)</math> in der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]].]]

In der Mathematik ist die '''Trigamma-Funktion''' die zweite [[Polygammafunktion]]<ref>{{MathWorld|PolygammaFunction|Polygamma Function}}</ref>; die erste Polygammafunktion ist die [[Digammafunktion]] <math>\psi</math>. Die Trigammafunktion ist damit eine [[spezielle Funktion]] und wird üblicherweise mit <math>\psi_1</math> bezeichnet und als zweite [[Differentialrechnung|Ableitung]] der Funktion [[natürlicher Logarithmus|<math>\ln</math>]]<math>(\Gamma(x))</math> definiert, wobei <math>\Gamma</math> die [[Gammafunktion]] bezeichnet.

==Definition und weitere Darstellungen==

Die Definition lautet:

:<math>\psi_1(z)=\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2} \ln\Gamma(z).</math>

Daraus folgt der Zusammenhang mit der [[Digammafunktion]] <math>\psi(z)</math>, dass

: <math>\psi_1(z) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz} \psi(z)</math>

die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist.

Aus der Summendarstellung

: <math>\psi_1(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(z + n)^2} = \zeta(2,z)</math>

folgt, dass die Trigammafunktion ein Spezialfall der [[Hurwitzsche Zeta-Funktion|hurwitzschen <math>\zeta</math>-Funktion]]<ref>{{MathWorld|HurwitzZetaFunction|Hurwitz Zeta Function}}</ref> ist.

Eine Darstellung als Doppelintegral ist

:<math>\psi_1(z)=\int\limits_0^1 \frac{\mathrm dy}{y} \int\limits_0^y \frac{x^{z-1}\,\mathrm dx}{1 - x}.</math>

Außerdem gilt

:<math>\psi_1(z)= -\int\limits_0^1 \frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,\mathrm dx.</math>

==Berechnung und Eigenschaften==

Die asymptotische Berechnung schließt die [[Bernoulli-Zahl]]en <math>B_{2k}</math> ein:

:<math>\psi_1(z) \sim \frac1z + \frac1{2z^2} + \sum_{k=1}^N \frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}</math>.
Zwar ist die Reihe für kein <math> z </math> mit <math> N \to \infty </math> konvergent, jedoch stellt diese Formel für nicht zu groß gewählte <math> N </math> eine sehr gute Näherung dar. Je größer <math> |z| </math> ist, desto größer kann <math> N </math> gewählt werden.

Die [[Rekursionsformel]] der Trigammafunktion lautet:

: <math> \psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2}</math>

Die [[Funktionalgleichung]] der Trigammafunktion hat die Form einer Reflexionsgleichung und ist gegeben durch:

: <math> \psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \pi^2\csc^2(\pi z). \,</math>
Hier ist <math> \csc </math> der [[Sekans und Kosekans|Kosekans]].

==Spezielle Werte==

Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei <math>G</math> die [[Catalansche Konstante]], <math>\zeta(x)</math> die [[Riemannsche Zetafunktion]] und <math>\rm{Cl}_2</math> die [[Clausen-Funktion]]<ref>{{MathWorld|ClausenFunction|Clausen Function}}</ref> bezeichnet.

:<math>\begin{align}
&\psi_1\left(\tfrac14\right) &={}& \pi^2+8G \\
&\psi_1\left(\tfrac13\right) &={}& \tfrac23\pi^2+3\sqrt3\cdot\rm{Cl}_2(\tfrac23\pi)\\
&\psi_1\left(\tfrac12\right) &={}& \tfrac12\pi^2\\
&\psi_1\left(\tfrac23\right) &={}& \tfrac23\pi^2-3\sqrt3\cdot\rm{Cl}_2(\tfrac23\pi)\\
&\psi_1\left(\tfrac34\right) &={}& \pi^2-8G \\
&\psi_1\,(1) &={}& \zeta(2) = \tfrac16\pi^2\\
&\psi_1\left(\tfrac54\right) &={}& \pi^2+8G-16 \\
&\psi_1\left(\tfrac32\right) &={}& \tfrac12\pi^2-4\\
&\psi_1\,(2) &={}& \tfrac16\pi^2-1
\end{align}</math>

==Einzelnachweise==
<references/>
* [[Milton Abramowitz]] und [[Irene Stegun|Irene A. Stegun]], ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions]]'', (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Abschnitt [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_260.htm §6.4]
* {{MathWorld|TrigammaFunction|Trigamma Function}}

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Trigamma-Funktion - Versionsgeschichte

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