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2025-09-18T15:07:17Z

Definition

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In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] ist eine '''Tridiagonalmatrix''' (auch '''Dreibandmatrix''') eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], die nur in der [[Hauptdiagonale]]n und in den beiden ersten [[Nebendiagonale]]n Einträge ungleich null enthält. Tridiagonalmatrizen treten in der [[Numerik]] recht häufig auf, zum Beispiel bei der Berechnung von [[Splines|kubischen Splines]], bei der Diskretisierung der zweiten Ableitung auf eindimensionalen Gebieten (insbesondere bei [[Sturm-Liouville-Problem]]en), bei der Berechnung von orthogonalen Polynomen und Funktionensystemen (etwa bei der Berechnung von Besselfunktionen) und bei [[Krylow-Unterraum-Verfahren]] basierend auf [[Dreitermrekursion]]en.

== Definition ==

Eine Matrix <math>T\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> heißt ''tridiagonal'', wenn sie die folgende Form hat:

:<math>
T = \begin{pmatrix}
t_{1,1} & t_{1,2} & 0 & \dots & 0\\
t_{2,1} & t_{2,2} & t_{2,3} & \ddots & \vdots \\
0 & t_{3,2} & \ddots & \ddots & 0\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & t_{n-1,n}\\
0 & \dots & 0 & t_{n,n-1} & t_{n,n}
\end{pmatrix}
</math>

Es gilt also <math>t_{ij}=0 </math> für alle <math>|i-j| > 1</math>. Eine Tridiagonalmatrix heißt ''unreduziert'' oder [[Irreduzible Matrix|''irreduzibel'']], wenn die Elemente in den Nebendiagonalen alle ungleich Null sind, das heißt <math>t_{ij} \not= 0 </math> für alle <math>|i-j|=1</math> gilt. Sind die Haupt- und Nebendiagonaleinträge konstant, gilt also <math>t_{1,1} = \ldots = t_{n,n}</math>, <math>t_{1,2} = \ldots = t_{n-1,n}</math> und <math>t_{2,1} = \ldots = t_{n,n-1}</math>, so spricht man von einer ''[[Tridiagonal-Toeplitz-Matrix]]''.

== Eigenschaften ==
Eine Tridiagonalmatrix ist sowohl ein Spezialfall einer [[Bandmatrix]] als auch einer [[Hessenbergmatrix]]. Eine [[Diagonaldominanz|diagonaldominante]] Tridiagonalmatrix ist immer [[Reguläre Matrix|regulär]].

[[Lineares Gleichungssystem|Lineare Gleichungssysteme]] mit einer Tridiagonalmatrix lassen sich mit einem Aufwand von [[Landau-Symbole|O(n)]] effizient lösen. Entweder mit dem sehr schnellen [[Thomas-Algorithmus]] oder bei Stabilitätsproblemen mit Hilfe des [[Gaußscher Algorithmus|Gauß-Verfahrens]] mit Pivotisierung. Gleichungssysteme mit Tridiagonalmatrizen können also selbst bei vergleichsweise großer Dimension mittels eines direkten Lösers berechnet werden.

== Literatur ==
* Gerhard Opfer: ''Numerische Mathematik für Anfänger. Eine Einführung für Mathematiker, Ingenieure und Informatiker.'' 4., durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2002, ISBN 3-528-37265-6.

== Siehe auch ==
* [[Dreiecksmatrix]]
* [[Bidiagonalmatrix]]
* [[Blocktridiagonalmatrix]]

[[Kategorie:Matrix]]

Tridiagonalmatrix - Versionsgeschichte

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