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2025-05-17T19:23:50Z

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{{Infobox Polyeder
|Name=Triakistetraeder
|Bild=Triakistetrahedron.jpg
|Bildtext=3D-Ansicht eines Triakistetraeders ([[:Datei:Triakistetrahedron.gif|Animation]])
|Flächen= 12
|Flächentyp= 12 gleichschenklige Dreiecke
|Ecken= 8
|Eckentyp= 4 × {3.3.3.3.3.3} + 4 × {3.3.3}
|Kanten= 18
|Schläfli=
|Dual= [[Tetraederstumpf]]
|Netz= Triakistetraedernetz.svg
|Netztext=[[Netz (Geometrie)|Körpernetz]] eines Triakistetraeders
}}
Das '''Triakistetraeder''' ist ein [[Krümmung|konvexes]] [[Polyeder]], das sich aus 12 [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecken]] zusammensetzt und zu den [[Catalanischer Körper|Catalanischen Körpern]] zählt. Es ist der [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] zum [[Tetraederstumpf]] und hat 8 Ecken sowie 18 Kanten.

== Entstehung ==
[[Datei:Hexaeder Schnitt.png|mini|links|Vierfach geschnittener Würfel]]
[[Datei:Triakis tetrahedron wireframe.stl|links|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Triakistetraeders]]
Werden auf alle 4 Begrenzungsflächen eines [[Tetraeder]]s (mit Kantenlänge <math>a</math>) [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] mit der [[Steilhang|Flankenlänge]] <math>b</math> aufgesetzt, entsteht ein Triakistetraeder, sofern die Bedingung <math>\tfrac{a}{3}\sqrt{3}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{2}</math> erfüllt ist.

* Für den zuvor genannten minimalen Wert von <math>b</math> haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Tetraeder mit der Kantenlänge <math>a</math> übrig bleibt.
* Das spezielle Triakistetraeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn <math>b = \tfrac{3}{5}a</math> ist.
* Nimmt <math>b</math> den o. g. maximalen Wert an, entartet das Triakistetraeder zu einem [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] mit der Kantenlänge <math>b</math> (siehe Grafik links); dieser vierfach geschnittene Würfel – mit einem ''gedachten'' Tetraeder im Kern – ist [[Topologie (Mathematik)|topologisch]] gleichwertig zum Triakistetraeder.
* Überschreitet <math>b</math> den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet zu einem [[Sternkörper]].
<div style="clear:both;"></div>

== Formeln ==
{| class="toptextcells left"
|style="width:50%"|

=== Allgemein ===
<math>\tfrac{a}{3}\sqrt{3}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{2}</math>

{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlängen ''a'', ''b''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math>V = \frac{a^2}{12} \left(a\sqrt{2}+4\sqrt{3b^2-a^2}\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math>A_O = 3a \sqrt{4b^2-a^2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Pyramide (Geometrie)#Eigenschaften|Pyramidenhöhe]]'''
| <math>k = \frac{1}{3}\sqrt{9b^2-3a^2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''
| <math>\rho = \frac{a}{12} \sqrt{\frac{48b^2-14a^2+8a\sqrt{6b^2-2a^2}}{4b^2-a^2}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel<br />  (über Kante ''a'')'''
| <math> \cos \, \alpha_1 = \frac{5a^2-12b^2-8a \sqrt{6b^2-2a^2}}{9(4b^2-a^2)} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel<br />  (über Kante ''b'')'''
| <math> \cos \, \alpha_2 = \frac{2b^2-a^2}{4b^2-a^2} </math>
|}
|
=== Speziell ===
<math>b = \tfrac{3}{5}a</math>
{| class="wikitable"
|-
!style="background:#C0C0FF" colspan="3"| Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Volumen'''
| <math>V = \frac{3}{20}\,a^3 \sqrt{2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Oberflächeninhalt'''
| <math>A_O = \frac{3}{5}\,a^2 \sqrt{11} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Pyramidenhöhe'''
| <math>k = \frac{a}{15} \sqrt{6} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Inkugelradius'''
| <math>\rho = \frac{3}{4}\,a\,\sqrt{\frac{2}{11}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math>r = \frac{a}{4} \sqrt{2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel<br />  ≈ 129° 31′ 16″'''
| <math> \cos \, \alpha = -\frac{7}{11} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]<br />  ≈ 0,86439'''
| <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {60\,\pi}} {2 \sqrt{11}} </math>
|}
|}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Triakis tetrahedron|Triakistetraeder}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|TriakisTetrahedron|Triakistetraeder}}
* [[Mineralienatlas:Triakistetraeder]] Interaktive Darstellung des Triakistetraeders im [[Mineralienatlas]]

{{Navigationsleiste Catalanische Körper}}

[[Kategorie:Catalanischer Körper]]

Triakistetraeder - Versionsgeschichte

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