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2025-06-29T10:36:43Z

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[[Datei:Triakisoctahedron.jpg|mini|3D-Ansicht eines Triakisoktaeders ([[:Datei:Triakisoctahedron.gif|Animation]])]]
[[Datei:Triakis octahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Triakisoktaeder]]
Das '''Triakisoktaeder''' ist ein [[Krümmung|konvexes]] [[Polyeder]], das sich aus 24 [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecken]] zusammensetzt und zu den [[Catalanischer Körper|Catalanischen Körpern]] zählt. Es ist der [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] zum [[Hexaederstumpf]] und hat 14 Ecken sowie 36 Kanten.

== Entstehung ==

Werden auf die acht Begrenzungsflächen eines [[Oktaeder]]s (Kantenlänge <math>a</math>) [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] mit der Flankenlänge <math>b</math> aufgesetzt, entsteht ein Triakisoktaeder, sofern die Bedingung <math>\tfrac{a}{3}\sqrt{3}<b<\tfrac{a}{4}\sqrt{6}</math> erfüllt ist.

* Für den zuvor genannten minimalen Wert von <math>b</math> haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Oktaeder mit der Kantenlänge <math>a</math> übrig bleibt.
* Das spezielle Triakisoktaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn <math>b = a \, (2 - \sqrt{2})</math> ist.
* Nimmt <math>b</math> den o. g. maximalen Wert an, entartet das Triakisoktaeder zu einem [[Rhombendodekaeder]] mit der Kantenlänge <math>b</math>.
* Überschreitet <math>b</math> den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet schließlich für <math>b = a</math> zum [[Sterntetraeder]].

== Formeln ==
{| class="toptextcells left"
|style="width:50%"|

=== Allgemein ===
<math>\tfrac{a}{3}\sqrt{3}<b<\tfrac{a}{4}\sqrt{6}</math>
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Triakisoktaeders mit Kantenlängen ''a'', ''b''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math>V = \frac{a^2}{3} \left(a\sqrt{2}+2\sqrt{3b^2-a^2}\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math>A_O = 6a \sqrt{4b^2-a^2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Pyramide (Geometrie)#Eigenschaften|Pyramidenhöhe]]'''
| <math>k = \frac{1}{3}\sqrt{9b^2-3a^2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''
| <math>\rho \, = a \, \sqrt{\frac{a}{2a+4b}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel<br />  (über Kante ''a'')'''
| <math> \cos \, \alpha_1 = \frac{12b^2-5a^2-8a \sqrt{6b^2-2a^2}}{9(4b^2-a^2)} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel<br />  (über Kante ''b'')'''
| <math> \cos \, \alpha_2 = \frac{2b^2-a^2}{4b^2-a^2} </math>
|}

|

=== Speziell ===
<math>b = a \, (2 - \sqrt{2})</math>
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Triakisoktaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Volumen'''
| <math>V = a^3(2 - \sqrt{2}) = a^2 b</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Oberflächeninhalt'''
| <math>A_O = 6a^2 \sqrt{23 - 16\sqrt{2}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Inkugelradius'''
| <math>\rho = a \sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{2}}{34}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math>r = \frac{a}{2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel<br /> ≈ 147° 21′'''
| <math> \cos \, \alpha = -\frac{1}{17}\,(3 + 8\sqrt{2}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]<br />  ≈ 0,92444'''
| <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {9\,\pi \left(3 - 2 \sqrt{2}\right)}} {3 \sqrt{23 - 16 \sqrt{2}}} </math>
|}
|}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Triakis octahedron|Triakisoktaeder}}
* {{MathWorld|SmallTriakisOctahedron|Triakisoktaeder}}
* [[Mineralienatlas:Triakisoktaeder]] Interaktive Darstellung des Triakisoktaeders im [[Mineralienatlas]]

{{Navigationsleiste Catalanische Körper}}

[[Kategorie:Catalanischer Körper]]

Triakisoktaeder - Versionsgeschichte

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