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2025-10-18T20:02:09Z

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[[Datei:Triakisicosahedron.jpg|mini|3D-Ansicht eines Triakisikosaeders ([[:Datei:Triakisicosahedron.gif|Animation]])]]
[[Datei:Triakis icosahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Triakisikosaeders]]
Das '''Triakisikosaeder''' ist ein [[Krümmung|konvexes]] [[Polyeder]], das sich aus 60 [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecken]] zusammensetzt und zu den [[Catalanischer Körper|Catalanischen Körpern]] zählt. Es ist der [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] zum [[Dodekaederstumpf]] und hat 32 Ecken sowie 90 Kanten.

== Entstehung ==
Werden auf die 20 Begrenzungsflächen eines [[Ikosaeder]]s (Kantenlänge <math>a</math>) [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] mit der Flankenlänge <math>b</math> aufgesetzt, entsteht ein Triakisikosaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

: <math>\frac{a}{3}\sqrt{3} 

* Für den zuvor genannten minimalen Wert von <math>b</math> haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Ikosaeder mit der Kantenlänge <math>a</math> übrig bleibt.
* Das spezielle Triakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn <math>b = \frac{a}{22} \, (15 - \sqrt{5})</math> ist.
* Nimmt <math>b</math> den o. g. maximalen Wert an, entartet das Triakisikosaeder zu einem [[Rhombentriakontaeder]] mit der Kantenlänge <math>b</math>.
* Überschreitet <math>b</math> den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet schließlich für <math> b = \frac{a}{2} \left(1 + \sqrt{5} \right) </math> zum [[Ikosaederstern]].

== Formeln ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Triakisikosaeder 2.svg|250px|rechts|Spezielles Triakisikosaeder]]
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Triakisikosaeders mit Kantenlängen ''a'', ''b''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math>V = \frac{5}{12} a^2 \left(a(3+\sqrt{5})+4\sqrt{3b^2-a^2}\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math>A_O = 15a \sqrt{4b^2-a^2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]]<nowiki />höhe'''
| <math>k = \frac{1}{3}\sqrt{9b^2-3a^2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''
| <math>\rho = \frac{a}{4} \sqrt{\frac{10a+4b}{a+2b} + 2\sqrt{5}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (über Kante ''a'')'''
| <math> \cos \, \alpha_1 = \frac{(12b^2-5a^2)\sqrt{5} - 8a \sqrt{3b^2-a^2}}{9(4b^2-a^2)} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (über Kante ''b'')'''
| <math> \cos \, \alpha_2 = \frac{2b^2-a^2}{4b^2-a^2} </math>
|}<ref><math>\frac{a}{3}\sqrt{3} </ref>

=== Speziell ===
[[Datei:Triakisikosaeder mit Kantenkugel.svg|mini|265px|Kantenkugel im speziellen Triakisikosaeder: Deutlich treten die [[Kugelsegment|Kugelkappen]] auf den einzelnen Dreiecksflächen hervor. Die [[Inkreis]]e sind zugleich Schnittflächen der Dreiecke mit der Kantenkugel.]]
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Triakisikosaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Volumen'''
| <math>V = \frac{5}{44}a^3 (5 + 7\sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Oberflächeninhalt'''
| <math>A_O = \frac{15}{11} a^2 \sqrt{109 - 30\sqrt{5}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Seitenlänge  ≈ 0,5802 · a'''
| <math>b = \frac{a}{22} \, (15 - \sqrt{5})</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Pyramidenhöhe'''
| <math>k = \frac{a}{66} (5\sqrt{5} - 9) \sqrt{3} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Inkugelradius'''
| <math>\rho = \frac{a}{4} \sqrt{\frac{10(33+13\sqrt{5})}{61}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math>r = \frac{a}{4} \left(1 + \sqrt{5}\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  ≈ 160° 36′ 45″'''
| <math> \cos \, \alpha = -\frac{1}{61} (24 + 15\sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|'''[[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,96734'''
| <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {396\,\pi \left(27 + 7 \sqrt{5}\right)}} {6 \sqrt{109 - 30 \sqrt{5}}} </math>
|}<ref><math>b = \frac{a}{22} \, (15 - \sqrt{5})</math></ref>

== Anmerkungen ==
<references />

== Weblinks ==
{{Commonscat|Triakis icosahedron|Triakisikosaeder}}
*{{MathWorld|TriakisIcosahedron|Triakisikosaeder}}

{{Navigationsleiste Catalanische Körper}}

[[Kategorie:Catalanischer Körper]]

Triakisikosaeder - Versionsgeschichte

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