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2024-09-27T06:47:29Z

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'''Treue Funktoren''' und die hier ebenfalls zu besprechenden '''vollen''' und '''volltreuen''' Funktoren, die eng damit zusammenhängen, sind in der [[Mathematik|mathematischen]] Theorie der [[Kategorientheorie]] betrachtete [[Funktor (Mathematik)|Funktoren]] mit speziellen Eigenschaften.

== Definitionen ==
Sei <math>T\colon{\mathcal C}\rightarrow {\mathcal D}</math> ein [[Funktor (Mathematik)|Funktor]] zwischen zwei Kategorien <math>{\mathcal C}</math> und <math>{\mathcal D}</math>. Ein solcher Funktor ordnet definitionsgemäß jedem Objekt <math>X\in\operatorname{Ob}({\mathcal C})</math> und jedem Morphismus <math>f\colon X\rightarrow Y</math> aus <math>\operatorname{Mor}_{\mathcal C}(X,Y)</math>, wobei <math>X</math> und <math>Y</math> Objekte aus <math>{\mathcal C}</math> seien, ein Objekt <math>T(X) \in \operatorname{Ob}({\mathcal D})</math> beziehungsweise einen Morphismus <math>T(f) \in \operatorname{Mor}_{\mathcal D}(T(X),T(Y))</math> zu, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind.

Zu jedem Paar <math>(X,Y)</math> von Objekten aus <math>{\mathcal C}</math> hat man (im Falle von [[Lokal kleine Kategorie|lokal kleinen Kategorien]]) eine Abbildung
:<math>T_{X,Y}\colon \operatorname{Mor}_{\mathcal C}(X,Y) \, \rightarrow \, \operatorname{Mor}_{\mathcal D}(T(X),T(Y)), \, f \mapsto T(f).</math>

Man nennt den Funktor <math>T</math> ''treu'' (bzw. ''voll'' bzw. ''volltreu''), wenn die Abbildungen <math>T_{X,Y}</math> für jedes Paar <math>(X,Y)</math> von Objekten aus <math>{\mathcal C}</math> [[Injektivität|injektiv]] (bzw. [[Surjektivität|surjektiv]] bzw. [[Bijektivität|bijektiv]]) sind. An Stelle von ''volltreu'' findet man auch die Bezeichnung ''völlig treu''.

== Einbettungen ==
Ist <math>T\colon{\mathcal C}\rightarrow {\mathcal D}</math> ein Funktor, so beziehen sich die Begriffe ''treu'', ''voll'' und ''volltreu'' nur auf Morphismenmengen zwischen je zwei Objekten, sie beziehen sich nicht auf die Klassen aller Objekte bzw. aller Morphismen, insbesondere sagt die Treue des Funktors <math>T</math> nicht notwendigerweise aus, dass eine der Abbildungen
:<math>T_\text{Ob}\colon \operatorname{Ob}({\mathcal C}) \rightarrow \operatorname{Ob}({\mathcal D}),\, X\mapsto T(X),</math>
:<math>T_\text{Mor}\colon \operatorname{Mor}({\mathcal C}) \rightarrow \operatorname{Mor}({\mathcal D}),\, f\mapsto T(f)</math>
injektiv ist.
Um den Zusammenhang dieser Begriffe und die Verwendung obiger Definitionen zu beleuchten, wird hier die folgende einfache Aussage bewiesen:

* Wenn der Funktor <math>T</math> treu ist, so ist <math>T_\text{Ob}</math> genau dann injektiv, wenn <math>T_\text{Mor}</math> injektiv ist.

Ist <math>T_\text{Mor}</math> injektiv und sind <math>X,Y \in \operatorname{Ob}({\mathcal C})</math> mit <math>T(X) = T(Y)</math>, so folgt <math>T(\operatorname{id}_X) = \operatorname{id}_{T(X)} = \operatorname{id}_{T(Y)} = T(\operatorname{id}_Y)</math>, also nach Voraussetzung <math>\operatorname{id}_X = \operatorname{id}_Y</math> und damit <math>X=Y</math>. Daher ist <math>T_\text{Ob}</math> injektiv.

Sei nun umgekehrt <math>T_\text{Ob}</math> injektiv, und seien <math>f,g \in \operatorname{Mor}({\mathcal C})</math> mit <math>T(f) = T(g)</math>. Es ist <math>f=g</math> zu zeigen. Zu den Morphismen <math>f</math> und <math>g</math> gehören Objekte <math>X_1,X_2,Y_1,Y_2</math> aus der Kategorie <math>{\mathcal C}</math> mit <math>f\colon X_1\rightarrow Y_1</math> und <math>g\colon X_2\rightarrow Y_2</math>. Aus <math>T(f) = T(g)</math> folgt <math>T(X_1) = T(X_2)</math> und <math>T(Y_1) = T(Y_2)</math>. Weil <math>T_\text{Ob}</math> nach Voraussetzung injektiv ist, erhalten wir <math>X_1 = X_2</math> und <math>Y_1 = Y_2</math>. Daher ist <math>T_{X_1,Y_1}(f) = Tf=Tg=T_{X_1,Y_1}(g)</math> und die Treue von <math>T</math> liefert, wie gewünscht, <math>f=g</math>.

Man nennt einen Funktor <math>T</math> eine ''Einbettung'', wenn <math>T_\text{Mor}</math> injektiv ist. Für einen treuen Funktor ist die Einbettungseigenschaft nach Obigem äquivalent zur Injektivität von <math>T_\text{Ob}</math>.

Ist der Funktor <math>T\colon{\mathcal C}\rightarrow {\mathcal D}</math> eine Einbettung, so bilden die Objekte <math>T(X), X\in \operatorname{Ob}({\mathcal C})</math> mit den Morphismen <math>T(f), f\in \operatorname{Mor}({\mathcal C})</math>, eine [[Unterkategorie]] von <math>{\mathcal D}</math>, die mit <math>T({\mathcal C})</math> bezeichnet wird. Da das für beliebige Funktoren, die keine Einbettungen sind, im Allgemeinen nicht der Fall ist, spielen Einbettungen eine wichtige Rolle in der Kategorientheorie.

== Volltreue Funktoren ==
Ist der Funktor <math>T\colon{\mathcal C}\rightarrow {\mathcal D}</math> eine Einbettung, und ist <math>T</math> ein voller Funktor, so ist <math>T({\mathcal C})</math> eine [[Unterkategorie|volle Unterkategorie]] von <math>{\mathcal D}</math>. Dies motiviert die Bezeichnung ''voller Funktor'' in obigen Definitionen. Ist also <math>T</math> ein volltreuer Funktor, so dass <math>T_\text{Ob}</math> injektiv ist, so definiert <math>T</math> eine Einbettung auf eine volle Unterkategorie.

Volltreue Funktoren sind auch wegen der folgenden Aussage wichtig für die Kategorientheorie:

* Seien <math>T\colon{\mathcal C}\rightarrow {\mathcal D}</math> ein volltreuer Funktor und <math>f\colon X\rightarrow Y</math> ein Morphismus der Kategorie <math>{\mathcal C}</math>. Dann gilt: <math>f</math> ist Isomorphismus <math>\Leftrightarrow</math> <math>Tf</math> ist Isomorphismus.

Die Richtung von links nach rechts ist sehr einfach. Ist nämlich <math>f</math> Isomorphismus, so gibt es definitionsgemäß einen weiteren Morphismus <math>g\colon Y\rightarrow X</math> mit <math>fg=\operatorname{id}_Y</math> und <math>gf=\operatorname{id}_X</math>. Da <math>T</math> Funktor ist, folgt <math>T(f)\circ T(g) = T(fg) = T(\operatorname{id}_Y) = \operatorname{id}_{T(Y)}</math> und genauso <math>T(g)\circ T(f) = \operatorname{id}_{T(X)}</math>, das heißt, <math>T(f)</math> ist ein Isomorphismus.

Die Volltreue wird für die Umkehrung benötigt. Ist nämlich <math>T(f)\colon T(X)\rightarrow T(Y)</math> ein Isomorphismus, so gibt es einen Morphismus <math>w\colon T(Y)\rightarrow T(X)</math> mit <math>T(f)\circ w = \operatorname{id}_{T(Y)}</math> und <math>w\circ T(f) = \operatorname{id}_{T(X)}</math>. Da <math>T</math> voll ist, gibt es einen Morphismus <math>g\colon Y\rightarrow X</math> mit <math>T(g)=w</math>. Dann folgt <math>T(fg)=T(f)\circ T(g) = T(f) \circ w = \operatorname{id}_{T(Y)} = T(\operatorname{id}_Y)</math> und genauso <math>T(gf)=T(\operatorname{id}_X)</math>. Wegen der Treue von <math>T</math> folgt nun <math>fg=\operatorname{id}_Y</math> und <math>gf=\operatorname{id}_X</math>, das heißt, <math>f</math> ist ein Isomorphismus.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Kategorien
|Reihe=Heidelberger Taschenbücher
|BandReihe=65–66
|Band=1–2
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=1970
|ISSN=0073-1684}}

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Treuer Funktor - Versionsgeschichte

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