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2025-02-26T07:42:16Z

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Das implizite '''Trapez-Verfahren''' ist ein Verfahren zur [[Numerische Mathematik|numerischen]] Lösung eines [[Anfangswertproblem]]s
:<math>y'(t) = f\left(t, y(t)\right), \quad
y(t_0) = y_0
</math>

Es lässt sich sowohl den [[Runge-Kutta-Verfahren]] als auch den [[Mehrschrittverfahren#Implizite Verfahren|Adams-Moulton-Verfahren]] zuordnen. Das Trapezverfahren ist [[A-Stabilität|A-stabil]] mit der Besonderheit, dass für die Schwingungsgleichung <math>y'= \mathrm{i}\alpha y</math> kein Amplitudenfehler auftritt<ref>M. Kloker: [https://www.iag.uni-stuttgart.de/lehre/lehrveranstaltungen/lehrveranst_master/einz_vorl_master/pdf_transition_kloker/vnum_katalog_1.pdf ''Numerische Löser (Zeitintegrationsverfahren) für die Gewöhnliche Modelldifferentialgleichung y'=αy''] (PDF; 2,2 MB), Universität Stuttgart, 1996</ref>. Das Verfahren lässt sich aus der [[Trapezregel]] herleiten:

:<math>y_{n+1}=y_n + \frac{h}{2}(f_{n+1}+f_n)</math>
mit
:<math>f_n \ := f(t_n,y_n).</math>

== Herleitung ==
Für die Herleitung von [[Einschrittverfahren]] wird das [[Anfangswertproblem]] meist in der zu ihr äquivalenten [[Integralgleichung]] umgeformt<ref>{{Literatur |Autor=Reusken, Arnold. |Titel=Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=3-540-25544-3 |Seiten=378}}</ref>
: <math>
\begin{align}
\dot{y}&=f(t,y) \,, \qquad y(t_0)=y_0 \\
\Longleftrightarrow \quad y(t) &= y_0 + \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \, \mathrm ds \,.
\end{align}
</math>
Nun besteht die Idee bei der ''impliziten Trapez-Methode'' eine simple [[Numerische Integration|Quadraturformel]] für das Integral zu benutzen: die [[Trapezregel#Sehnentrapezformel|Trapezregel]]. Man approximiert in jedem <math> k </math>-ten Schritt den Integranden wie folgt
: <math>
\int_{t_k}^{t_{k+1}} f(s,y(s)) \, \mathrm ds
\approx \frac{h}{2} \Big( f(t_k,y_k) + f(t_{k+1},y_{k+1}) \Big) \,.
</math>
Zusammen ergibt dies die '''Trapez-Methode'''<ref>{{Literatur |Autor=Reusken, Arnold. |Titel=Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=3-540-25544-3 |Seiten=383}}</ref>
:<math>
y(t_{k+1})
= y(t_k) + \int_{t_k}^{t_{k+1}} f(s,y(s)) \, \mathrm ds
\approx y_k + \frac{h}{2} \Big( f(t_k,y_k) + f(t_{k+1},y_{k+1}) \Big)
=: y_{k+1} \,.
</math>

== Lösungsmethode ==

Zur Lösung dieses, in der Regel nichtlinearen, Gleichungssystems können verschiedene numerische Verfahren genutzt werden. Für das quadratisch konvergente [[Newton-Verfahren]] ergibt sich konkret:

:<math>y^{(k + 1)}_{n+1} =
y^{(k)}_{n+1} - \left(I - \frac{h}{2}\frac{\partial f^{(k)}_{n+1}}{\partial y^{(k)}_{n+1}}\right)^{-1}\left( y^{(k)}_{n+1} - y_n - \frac{h}{2}(f^{(k)}_{n+1} + f_n) \right).
</math>

Man erhält also ein [[lineares Gleichungssystem]]

:<math>(I-\frac{h}{2} J^{(k)})y^{(k + 1)}_{n+1} =
-\frac{h}{2} J^{(k)} y^{(k)}_{n+1} +y_n + \frac{h}{2}(f^{(k)}_{n+1} + f_n),</math>

wobei ''J'' die [[Jacobi-Matrix]]

:<math>J^{(k)} := \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{(k)}_{n+1}</math>,

<math>I</math> die [[Einheitsmatrix]] und <math>k</math> der Iterationsschritt ist.

== Stabilität ==
Mit der Testgleichung <math>y'(t)=\lambda y(t)</math> bekommt man die [[Stabilitätsfunktion]]
:<math> R(z)=\frac{2+z}{2-z},\quad z=h\lambda\in\Complex.</math>
Auf der imaginären Achse <math>z=i\eta</math> gilt <math>|R(i\eta)|=1</math>, daher ist die Trapezmethode [[A-Stabilität|A-stabil]].

== Schrittweite ''h'' ==

Die (variable) Schrittweite kann aus folgender Beziehung berechnet werden:

:<math>\left\vert\frac{R(h\lambda)}{\mathrm e^{h\lambda}} - 1\right\vert = \delta</math>;

<math>\delta</math> bezeichnet den zugelassenen [[Lokaler Diskretisierungsfehler|lokalen Diskretisierungsfehler]]. Der Ansatz <math>y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(f_{n+1} + f_n)=:R(h\lambda)y_n</math> liefert für die implizite Trapez-Methode

:<math>R(h\lambda)=\frac{2+h\lambda}{2-h\lambda}</math>.

Dabei ist <math>\lambda \, := \max_j{|\lambda_j|}</math> der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts der Jacobi-Matrix ([[Spektralradius]]). Die numerische Bestimmung der Eigenwerte ist sehr zeitaufwendig; für den Zweck der Schrittweitenberechnung ist es im Allgemeinen ausreichend die [[Gesamtnorm]] <math>\lambda = N \cdot \max_{i,j} |a_{i j}|</math> heranzuziehen, die immer größer oder gleich der [[Spektralnorm]] ist. ''N'' ist der Rang der Jacobi-Matrix und <math>a_{i j}</math> deren Elemente.

== Literatur ==
* Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: ''Numerische Mathematik.'' 5. Auflage, Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8, S. 343.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

Trapez-Methode - Versionsgeschichte

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