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'''Transzendenzbasis''' ist ein [[algebra]]ischer Begriff aus der Theorie der [[Körpererweiterung]]en, der in Analogie zum Begriff der [[Basis (Vektorraum)|Vektorraumbasis]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] gesehen werden kann. Die Mächtigkeit einer solchen Transzendenzbasis, der sogenannte '''Transzendenzgrad''', stellt ein Maß für die Größe einer [[Algebraische Erweiterung|transzendenten Körpererweiterung]] dar.

== Begriffsbildung ==
Es sei <math>L/K</math> eine Körpererweiterung, das heißt, <math>K</math> ist ein Teilkörper des [[Körper (Algebra)|Körpers]] <math>L</math>. Eine <math>n</math>-elementige Menge <math>\{a_1, \ldots, a_n\} \subset L</math> heißt [[Algebraische Unabhängigkeit|algebraisch unabhängig]] über <math>K</math>, wenn es außer dem Nullpolynom kein [[Polynom]] <math>f \in K[t_1, \ldots, t_n]</math> mit <math>f(a_1, \ldots, a_n) = 0</math> gibt. Eine beliebige Teilmenge <math>A \subset L</math> heißt algebraisch unabhängig über <math>K</math>, wenn jede endliche Teilmenge von <math>A</math> es ist.

Eine [[Maximales und minimales Element|maximale]] algebraisch unabhängige Menge in <math>L</math>, die man also durch kein weiteres Element zu einer über <math>K</math> algebraisch unabhängigen Menge erweitern kann, heißt eine Transzendenzbasis der Körpererweiterung <math>L/K</math>.

Man beachte die Analogie zur linearen Algebra, in der eine Vektorraumbasis als eine maximale [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] Menge charakterisiert werden kann.

== Existenz und Eigenschaften von Transzendenzbasen ==
Wie in der linearen Algebra die Existenz einer [[Hamelbasis]] bewiesen wird, so erhält man die Existenz einer Transzendenzbasis, indem man zeigt, dass jede Vereinigung aufsteigender Mengen algebraisch unabhängiger Mengen wieder algebraisch unabhängig ist und dann das [[Lemma von Zorn]] anwendet.

Es gibt noch weitere Möglichkeiten, Transzendenzbasen zu charakterisieren. So sind etwa für eine Körpererweiterung <math>L/K</math> und eine algebraisch unabhängige Menge <math>B \subset L</math> folgende Aussagen äquivalent:<ref>[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]], Reinhard Sacher: ''Einführung in die Algebra.'' 2., überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart 1978, ISBN 3-519-12053-4, Anhang 4.</ref>
* <math>B</math> ist eine Transzendenzbasis von <math>L/K</math>.
* <math>L/K(B)</math> ist [[Algebraische Erweiterung|algebraisch]], wobei <math>K(B)</math> der kleinste Körper in <math>L</math> ist, der <math>K</math> und <math>B</math> enthält (siehe [[Körperadjunktion]]).

== Transzendenzgrad ==
In Analogie zum [[Austauschlemma von Steinitz]] der linearen Algebra zeigt man, dass je zwei Transzendenzbasen einer Körpererweiterung [[Gleichmächtigkeit|gleichmächtig]] sind. Daher ist die Mächtigkeit einer Transzendenzbasis eine Invariante der Körpererweiterung <math>L/K</math>, die man ihren ''Transzendenzgrad'' nennt und mit <math>\operatorname{Trg}(L/K)</math> bezeichnet.<ref>Kurt Meyberg: ''Algebra.'' Band 2. Carl Hanser, München u. a. 1976, ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.10.10.</ref> In Anlehnung an die englischsprachige Bezeichnung ''transcendence degree'' findet man auch die Schreibweise <math>\operatorname{trdeg}(L/K)</math>. Aus <math>\operatorname{trdeg}(L/K) > 0</math> folgt, dass der [[Erweiterungsgrad]] <math>[L:K] := \operatorname{deg}(L/K)</math> unendlich ist, denn die ganzzahligen Potenzen eines [[Algebraisches Element|transzendenten Elements]] <math>t</math> sind linear unabhängig über <math>K</math>, womit bereits eine Körpererweiterung um ein transzendentes Element, <math>K(t)/K</math>, unendlichen Grad besitzt; der Transzendenzgrad stimmt also nicht mit dem Erweiterungsgrad überein.

Ferner hat man<ref>Kurt Meyberg: ''Algebra.'' Band 2. Carl Hanser, München u. a. 1976, ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.10.11.</ref>

* Für Körper <math>K \subset M \subset L</math> gilt <math>\operatorname{Trg}(L/K) = \operatorname{Trg}(L/M)+ \operatorname{Trg}(M/K)</math>.

== Rein transzendente Körpererweiterungen ==
Eine Körpererweiterung <math>L/K</math> heißt '''rein transzendent''', wenn es eine Transzendenzbasis <math>A</math> gibt mit <math>L = K(A)</math>. Daraus folgt, dass jedes Element aus <math>L \setminus K</math> [[Algebraisches Element|transzendent]] über <math>K</math> ist. Jede Körpererweiterung lässt sich in eine [[Algebraische Erweiterung|algebraische]] und eine rein [[transzendente Körpererweiterung]] aufspalten, wie der folgende Satz zeigt:<ref>Gerd Fischer, Reinhard Sacher: ''Einführung in die Algebra.'' 2., überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart 1978, ISBN 3-519-12053-4, Anhang 4, Satz 2.</ref>

Ist <math>L/K</math> eine Körpererweiterung, dann gibt es einen [[Zwischenkörper]] <math>M</math>, sodass Folgendes gilt:
* <math>M/K</math> ist rein transzendent.
* <math>L/M</math> ist algebraisch.

Zum Beweis nehme man <math>M = K(A)</math> für eine Transzendenzbasis <math>A \subset L</math> über <math>K</math>.

== Beispiele ==
* Eine Körpererweiterung <math>L/K</math> ist genau dann [[Algebraische Erweiterung|algebraisch]], wenn die [[leere Menge]] eine Transzendenzbasis ist. Dies ist wiederum äquivalent dazu, dass <math>\operatorname{Trg}(L/K) = 0</math> gilt.
* Ist <math>K(t)</math> der Körper der [[Rationale Funktion|rationalen Funktionen]] über <math>K</math>, so hat die Körpererweiterung <math>K(t)/K</math> die Transzendenzbasis <math>\{t\}</math> und es gilt somit <math>\operatorname{Trg}(K(t)/K) = 1</math>
* Ist <math>K(t_1, \ldots, t_n)</math> der Körper der rationalen Funktionen in <math>n</math> Unbestimmten über <math>K</math>, so gilt <math>\operatorname{Trg}(K(t_1, \ldots, t_n)/K) = n</math>. Dies ergibt sich aus der obigen Formel zur Berechnung des Transzendenzgrades mit Hilfe von Zwischenkörpern aus dem letzten Beispiel.
* Aus Mächtigkeitsgründen gilt <math>\operatorname{Trg}(\Complex/\Q) = \beth_1</math> (lies „Beth eins“, siehe [[Beth-Funktion]]).
* Die Körpererweiterungen <math>K(t)/K</math> und <math>\Q(e)/\Q</math> sind rein transzendent, wobei für Letzteres die nicht-triviale Tatsache der Transzendenz der [[Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] <math>e</math> über <math>\Q</math> verwendet wird.
* Die Körpererweiterung <math>\Q(\sqrt{2}, e)/\Q</math> ist nicht-algebraisch, aber auch nicht rein transzendent, da <math>\sqrt{2}</math> algebraisch über <math>\Q</math> ist.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]

Transzendenzbasis - Versionsgeschichte

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