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[[Datei:Transversale Isotropie.png|mini|Bildhafte Erklärung der Transversalen Isotropie. Der Werkstoff ist rotationssymmetrisch bezüglich der 1-Achse, die senkrecht auf der isotropen 2-3-Ebene steht. Ein so orientierter Rundstab aus diesem Material kann um seine Längsachse gedreht werden, ohne dass sich seine Eigenschaften ändern.]]

Die '''transversale Isotropie''' (von [[Latein|lateinisch]] ''transversus'' „quer“ sowie [[Altgriechische Sprache|altgr.]] {{lang|grc|ἴσος}} ''isos'' „gleich“ und {{lang|grc|τρόπος}} ''tropos'' „Drehung, Richtung“) ist eine spezielle Art der Richtungsabhängigkeit eines [[Werkstoff]]s. Transversal isotrope Materialien haben die drei Eigenschaften:

# Es gibt eine Vorzugsrichtung, die 1-Richtung im Bild, in der das Kraft-Verformungs-Verhalten des Materials anders ist als senkrecht dazu.
# Senkrecht zur Vorzugsrichtung, in 2- und 3-Richtung, sind die Materialeigenschaften unabhängig von der Richtung (isotrope Ebene) und
# in einem Bezugssystem parallel zur Vorzugsrichtung gibt es keine Kopplung zwischen Normaldehnungen und Schubverzerrungen.

In Ebenen, die nicht senkrecht zur Vorzugsrichtung sind, ist das Kraft-Verformungs-Verhalten des Materials richtungsabhängig.

Den speziellen Fall, dass ein Material (an einem Teilchen) unabhängig von der Belastungsrichtung jeweils dasselbe Kraft-Verformungs-Verhalten zeigt, bezeichnet man als [[Isotropie]]. Den allgemeinen Fall, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten von der Belastungsrichtung abhängt, bezeichnet man dagegen als [[Anisotropie]]. Die transversale Isotropie ist ein Sonderfall der [[Orthotropie]] und Anisotropie und enthält ihrerseits die Isotropie als Spezialfall.

Ein linear elastisches transversal isotropes Material besitzt maximal fünf Materialparameter.

[[Unidirektionale Schicht|Unidirektional verstärkte Kunststoffe]] sind im ungeschädigten Zustand in guter Näherung transversal isotrop.

== Bedeutung in der Konstruktion ==
[[Unidirektionale Schicht|Unidirektional verstärkte Kunststoffe]] sind im ungeschädigten Zustand in guter Näherung transversal isotrop. Sie haben eine hohe Festigkeit in Richtung der Fasern und sind senkrecht dazu nachgiebiger. In der Konstruktion werden transversal isotrope Werkstoffe gerne eingesetzt, denn sie gestatten die [[Werkstoffeigenschaft]]en an die Belastung anzupassen. Unter anderem die geringe Dichte bei hoher Festigkeit in Belastungsrichtung haben zu einer starken Zunahme der Nutzung der faserverstärkten Kunststoffe geführt. Durch Schädigung verlieren diese Werkstoffe im Allgemeinen ihre transversale Isotropie.

== Symmetriegruppe ==
Die Richtungsabhängigkeit eines Materials zeichnet sich dadurch aus, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten unabhängig (invariant) ist gegenüber nur bestimmten Drehungen des Materials: Bei der transversalen Isotropie sind dies beliebige Drehungen um die Vorzugsrichtung oder 180-Grad-Drehungen senkrecht zur Vorzugsrichtung. Diese Drehungen bilden die [[Symmetriegruppe]] des transversal isotropen Materials<ref name="haupt">{{Literatur
| Autor=P. Haupt
| Titel=Continuum Mechanics and Theory of Materials
| Verlag=Springer
| Jahr=2002
| ISBN=978-3-642-07718-0
| DOI=10.1007/978-3-662-04775-0}}</ref>.

Die Invarianz gegenüber diesen Drehungen des Materials veranschaulichen zwei Experimente an einem Teilchen: Im ersten Experiment bringt man am Teilchen eine bestimmte Kraft auf und misst die resultierende [[Verformung]]. Im zweiten Experiment dreht man das Material zunächst beliebig parallel zur Vorzugsrichtung oder um 180 Grad senkrecht dazu. Dann bringt man dieselbe Kraft auf wie im ersten Experiment und misst erneut die Verformung. Bei transversal isotropem Material wird man im zweiten Experiment dieselbe Verformung messen wie im ersten. Und zwar auch bei nicht-linear elastischem Materialverhalten.

Die Abhängigkeit von den Drehungen des Materials erkennt man, wenn man im zweiten Experiment um einen anderen Winkel als 180 Grad senkrecht zur Vorzugsrichtung dreht. Wenn nicht der Spezialfall der Isotropie vorliegt, wird man nun immer eine andere Verformung messen als im ersten Experiment.

Die angesprochenen Drehungen werden in der [[Kontinuumsmechanik]] durch [[Orthogonaler Tensor|orthogonale Tensoren]] '''Q''' repräsentiert. Eine Symmetriegruppe ''gR'' besteht aus denjenigen Transformationen, die die [[Formänderungsenergie]] ''w'' invariant lassen. Mathematisch wird das mit dem [[Verzerrungstensor]] '''E''' durch

:<math>\mathbf Q\in g_R
\quad\leftrightarrow\quad
w(\mathbf{Q\cdot E\cdot Q}^\top)=w(\mathbf E)
</math> für alle '''E'''

ausgedrückt.<ref name="haupt" details="379 "/> Darin bedeutet „·“ das [[Matrizenprodukt]] und das hochgestellte „⊤“ eine [[Transponierte Matrix|Transponierung]]. Mit '''Q''' gehört auch -'''Q''' zur Symmetriegruppe, was durch Hinzufügen des negativen Einheitstensors -'''1''', der eine [[Punktspiegelung]] repräsentiert, zu ''gR'' berücksichtigt wird. Die Symmetriegruppe des transversal isotropen Materials ist<ref name="haupt" details="382 "/>

:<math>g_R=\left\{-\mathbf 1, \mathbf{Q}_1^\varphi, \mathbf{Q}_2^\pi\right\}
</math>

Darin steht <math>\mathbf{Q}_i^\alpha</math> für den orthogonalen Tensor, der mit dem Winkel ''α'' in [[Radiant (Einheit)|Radiant]] um die <math>i</math>-te Orthotropieachse dreht; der Winkel ''φ'' ist beliebig. Die Orthotropieachsen sind zum einen die Vorzugsrichtung (Faserrichtung) ê1 und ê2,3 sind dazu senkrecht in der isotropen Ebene und zueinander senkrecht.

== Invarianten ==
In der isotropen [[Hyperelastizität]] hängt die Formänderungsenergie von den [[Hauptinvariante]]n I1,2,3 des Verzerrungstensors '''E''' ab:

:w('''E''')=w(I1, I2, I3)

Die analoge Darstellung der Anisotropie erfordert, dass ein komplettes System von [[Skalar (Physik)|skalarwertigen]] Funktionen bekannt ist, die unter allen Transformationen in der Symmetriegruppe ''gR'' invariant sind.<ref name="haupt" details="380 "/> Bei der transversalen Isotropie bleiben die folgenden Terme invariant:<ref name="haupt" details="382 "/>

: E22+E33, E11, E22E33-E232, E122+E132, det('''E''')

Darin ist Eij := êi·'''E'''·êj für i,j=1,2,3, wobei ê1,2,3 die [[Einheitsvektor]]en in Richtung der paarweise orthogonalen Orthotropieachsen sind und det bildet die [[Determinante]].

== Transversal isotrope Elastizität ==
Ein transversal isotroper linear elastischer Werkstoff zeichnet sich dadurch aus, dass in seiner Steifigkeits- oder Nachgiebigkeitsmatrix die Koppelterme nicht besetzt sind. Schubspannungen in Ebenen parallel oder senkrecht zur Vorzugsrichtung führen nicht zu Normaldehnungen. In einem solchen Material existiert eine [[Orthonormalbasis]] ê1,2,3 in der die Spannungs-Dehnungs-Beziehung

:<math> \begin{bmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33}
\\ 2 \varepsilon_{23}\\ 2 \varepsilon_{31} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix}
=
\underbrace{\begin{bmatrix}
\frac{1}{E_1} & -\frac{\nu_{21}}{E_2} & -\frac{\nu_{31}}{E_3}
& & &
\\
-\frac{\nu_{12}}{E_1}& \frac{1}{E_2} & -\frac{\nu_{32}}{E_3} & & &
\\
-\frac{\nu_{13}}{E_1}&-\frac{\nu_{23}}{E_2} & \frac{1}{E_3} & & &
\\
& & & \frac{1}{G_{23}} & &
\\
& & & & \frac{1}{G_{13}} &
\\
& & & & & \frac{1}{G_{12}}
\end{bmatrix}}_{=:S}
\begin{bmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33}
\\ \sigma_{23}\\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
</math>

mit der gezeigten ''Nachgiebigkeitsmatrix'' <math>S</math> zwischen den Spannungen <math> \sigma_{ij} </math> und den Dehnungen <math> \varepsilon_{ij} </math> vorliegt. Die Dimensionen der [[Elastizitätsmodul]]n <math>E_1,E_2,E_3</math> und [[Schubmodul]]n <math>G_{12}, G_{23}, G_{13}</math> sind Kraft pro Fläche während die [[Querkontraktionszahl]]en <math>\nu_{ij}</math> dimensionslos sind. Die Indizes der Querkontraktionszahlen sind sorgfältig definiert durch das negative Verhältnis der Normaldehnung <math>\varepsilon_{jj}</math> in ''j''-Richtung (Wirkung) zu derjenigen <math>\varepsilon_{ii}</math> in ''i''-Richtung bei Zug in ''i''-Richtung (Ursache):

:<math> \nu_{ij} = \frac{-\varepsilon_{jj}}{\varepsilon_{ii}} </math>

Wegen des Ursache-Wirkungs-Konzepts ist meistens <math>\nu_{ij}\nu_{ji}\ne1</math>.

=== Materialparameter ===
Die zwölf in der obigen Nachgiebigkeitsmatrix vorkommenden Kennwerte ergeben sich bei transversal isotroper, linearer Elastizität aus nur fünf Materialparametern, die in Versuchen an [[Unidirektionale Schicht|makroskopischen Proben]] ermittelt werden können:

{| class="wikitable"
|-
! Formelzeichen !! Bedeutung
|-
|<math> E_\| </math> || Elastizitätsmodul in Vorzugsrichtung
|-
|<math> E_\bot </math> ||Elastizitätsmodul senkrecht zur Vorzugsrichtung
|-
|<math> \nu </math> || [[Querkontraktionszahl]] bei Zug in Vorzugsrichtung
|-
|<math> G_\|</math> || Schubmodul in Ebenen parallel zur Vorzugsrichtung
|-
|<math> G_\bot </math> || Schubmodul in der isotropen Ebene
|}

Aufgrund der transversalen Isotropie sind die folgenden Ausdrücke im 1-2-3-System identisch:<ref>{{Literatur |Autor=Helmut Schürmann |Titel=Konstruieren mit Faser-Kunststoff-Verbunden |Auflage=2. |Verlag=Springer |Datum=2008 |Seiten=182 f.}}</ref>

:<math>\begin{array}{lcl}
E_1&=&E_\|
\\
E_2=E_3&=&E_\bot
\\
G_{12}=G_{13}&=&G_\|
\\
G_{23}&=&G_\bot
\\
\nu_{12}=\nu_{13}&=&\nu
\\
\nu_{21}=\nu_{31} &&
\\
\nu_{23}=\nu_{32} &&
\end{array}
</math>

Aus thermodynamischen Gründen (vergleiche [[Cauchy-Elastizität]] und [[Hyperelastizität]]) ist die Nachgiebigkeitsmatrix symmetrisch und legt so
:<math>
\frac{\nu_{21}}{E_2}=\frac{\nu_{12}}{E_1}
\quad\leftrightarrow\quad
\nu_{21}=\nu_{31}=\frac{E_\bot}{E_\|}\nu
</math>

fest. Die Querkontraktionszahl in der Ebene senkrecht zur Vorzugsrichtung ist schließlich durch die Isotropieannahme gebunden:

:<math>
G_\bot
=\frac{E_\bot }{2 (1+\nu_{23})}
\quad\rightarrow\quad
\nu_{23}
=\nu_{32}
=\frac{E_\bot }{2G_\bot }-1\,.
</math>

So sind alle zwölf Kennwerte auf die fünf Materialparameter zurückgeführt. Isotropie stellt sich mit

:<math>\begin{array}{lcl}
E_1 &=& E_2 = E
\\
G_{12} &=& G_{23} = G = \dfrac{E}{2(1+\nu)}
\end{array}
</math>

als Spezialfall ein.

=== Spannungs-Dehnungs-Beziehung ===
Damit lautet das [[Elastizitätsgesetz]] bei transversal isotroper, linearer Elastizität:

:<math> \begin{bmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33}
\\ 2 \varepsilon_{23}\\ 2 \varepsilon_{31} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{E_1} & -\frac{\nu_{12}}{E_1} & -\frac{\nu_{12}}{E_1}
& 0&0 &0
\\
& \frac{1}{E_2} & -\frac{\nu_{23}}{E_2} & 0&0 &0
\\
& & \frac{1}{E_2} & 0& 0&0
\\
& & & \frac{1}{G_{23}} & 0&0
\\
& \mathrm{sym}& & & \frac{1}{G_{12}} &0
\\
& & & & & \frac{1}{G_{12}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33}
\\ \sigma_{23}\\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
</math>

zwischen den Spannungen <math> \sigma_{ij} </math> und den Dehnungen <math> \varepsilon_{ij} </math>. Durch Invertierung der Nachgiebigkeitsmatrix erhält man die Steifigkeitsmatrix:

:<math> \left[\begin{array}{c}
\sigma_{11}\\
\sigma_{22}\\
\sigma_{33}\\
\sigma_{23}\\
\sigma_{13}\\
\sigma_{12}
\end{array}\right]
=
\left[
\begin{array}{cccccc}
C_{1111}
& 2 \nu_{12} (\lambda+G_{23})
& 2 \nu_{12} (\lambda+G_{23})
& 0& 0& 0
\\
& \lambda + 2 G_{23}
& \lambda
& 0& 0& 0
\\
& & \lambda + 2 G_{23}
& 0& 0& 0
\\
& & & G_{23}& 0& 0
\\
& \mathrm{sym}& & & G_{12}& 0
\\
& & & & & G_{12}
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}
\varepsilon_{11}\\
\varepsilon_{22}\\
\varepsilon_{33}\\
2\varepsilon_{23}\\
2\varepsilon_{13}\\
2\varepsilon_{12}
\end{array}\right]
</math>
mit
:<math>\begin{array}{lcl}
\lambda&=&\dfrac{\nu_{12} \nu_{21} + \nu_{23}}
{( 1-\nu_{23} - 2 \nu_{12}\nu_{21} ) (1+\nu_{23})} E_2
\\
C_{1111} &=& \dfrac{1 - \nu_{23}}{1 - \nu_{23} - 2 \nu_{12} \nu_{21}} E_1
\end{array}
</math>.

Diese für kleine Dehnungen in [[Voigtsche Notation|voigtscher Notation]] geschriebene lineare Matrizengleichung zwischen Spannungen und Dehnungen lässt sich mit [[Hyperelastizität]] auf nichtlinear elastisches transversal isotropes Verhalten verallgemeinern.

=== Ebener Spannungszustand ===
In dünnwandigen Strukturen aus transversal isotropem Material ist die Vorzugsrichtung oftmals in den Vorzugsrichtungen der Struktur gelegen, wie zum Beispiel bei der [[Unidirektionale Schicht|unidirektionalen Schicht]] aus der [[Faser-Kunststoff-Verbund]]e bestehen, und es liegt ein ebener [[Spannungszustand]] vor.

Hier ist σ13=σ23=σ33=0 und aus letzterer Identität leitet sich

:<math>\varepsilon_{33}=
-\frac{\nu_{12} (1+\nu_{23})\varepsilon_{11}+(\nu_{23}+\nu_{21}\nu_{12})\varepsilon_{22}}{1-\nu_{12}\nu_{21}}
=-\frac1{E_3}(\nu_{31}\sigma_{11}+\nu_{32}\sigma_{22})</math>

ab. Das Elastizitätsgesetz vereinfacht sich zu

:<math>
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11}\\
\varepsilon_{22}\\
2\varepsilon_{12}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{E_1} & -\frac{\nu_{21}}{E_2} & 0 \\
-\frac{\nu_{12}}{E_1} & \frac{1}{E_2} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{G_{12}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11}\\
\sigma_{22}\\
\sigma_{12}\\
\end{bmatrix}
</math>

bzw.

:<math>
\begin{bmatrix}
\sigma_{11}\\
\sigma_{22}\\
\sigma_{12}\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{E_{1}}{1-\nu_{12}\nu_{21}} & \frac{\nu_{21}E_{1}}{1-\nu_{12}\nu_{21}} & 0\\
\frac{\nu_{12}E_{2}}{1-\nu_{12}\nu_{21}} & \frac{E_{2}}{1-\nu_{12}\nu_{21}} & 0\\
0 & 0 & G_{12}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11}\\
\varepsilon_{22}\\
2\varepsilon_{12}
\end{bmatrix}
</math>

mit jeweils symmetrischer Nachgiebigkeits- bzw. Steifigkeitsmatrix. Die Elastizitätsgesetze sind dieselben wie bei der [[Orthotropie]].

In der linearen transversal isotropen Elastizität für den Ebenen Spannungszustand senkrecht zur isotropen Ebene werden alle Materialparameter gebraucht; nur wenn ausschließlich die Spannungen und Verzerrungen in der Ebene interessieren entfällt der Schubmodul ''G''23, sodass nur vier Materialparameter ausreichen.

=== Ebener Verzerrungszustand parallel zur Vorzugsrichtung ===
Beim ebenen Verzerrungszustand parallel zur Vorzugsrichtung finden die Spannungen und Verzerrungen ausschließlich in der 1-2-Ebene statt, nur die Normalspannung senkrecht zur Ebene darf auftreten. Das ist näherungsweise bei einer dicken unidirektionalen Schicht, die flächig belastet wird, der Fall. Aus <math>\varepsilon_{33}=0</math> leitet sich

:<math>\sigma_{33}=\nu_{31}\sigma_{11} +\nu_{32}\sigma_{22}
=\frac{E_3}{D}\left[\nu_{12} (1+\nu_{23})\varepsilon_{11}
+ (\nu_{23}+\nu_{12}\nu_{21})\varepsilon_{22}\right]
</math>

mit <math>D=(1+\nu_{23}) (1-\nu_{23}-2\nu_{12}\nu_{21})</math> ab. Das Elastizitätsgesetz reduziert sich auf

:<math>
\begin{bmatrix}
\sigma_{11}\\
\sigma_{22}\\
\sigma_{12}\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1-\nu^2_{23}}{D}E_{1} & \frac{\nu_{21}(1+\nu_{23})}{D}E_{1} & 0\\
\frac{\nu_{12}(1+\nu_{23})}{D}E_{2} & \frac{1-\nu_{21}\nu_{12}}{D}E_{2}&0
\\
0&0& G_{12}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11}\\
\varepsilon_{22}\\
2\varepsilon_{12}
\end{bmatrix}
</math>

bzw.

:<math>
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11}\\
\varepsilon_{22}\\
2\varepsilon_{12}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1-\nu_{12}\nu_{21}}{E_1} & -\frac{(1+\nu_{23})\nu_{21}}{E_2}&0\\
-\frac{(1+\nu_{23})\nu_{12}}{E_1} & \frac{1-\nu_{23}^2}{E_2}&0\\
0&0&\frac{1}{G_{12}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11}\\
\sigma_{22}\\
\sigma_{12}\\
\end{bmatrix}
</math>

mit jeweils symmetrischer Steifigkeits- bzw. Nachgiebigkeitsmatrix.

In der linearen transversal isotropen Elastizität für den Ebenen Verzerrungszustand senkrecht zur isotropen Ebene werden alle fünf Materialparameter gebraucht.

=== Ebener Verzerrungszustand in der isotropen Ebene ===
Bei einem prismatischen Körper in Vorzugsrichtung, der nur geringfügig gestaucht oder gestreckt wird, liegt in guter Näherung ein ebener Verzerrungszustand in der isotropen Ebene vor. Dann ergibt sich

:<math>\sigma_{11}=\nu_{12} (\sigma_{22}+\sigma_{33})
=\frac{\nu_{12} E_{2} (\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})}
{1-\nu_{23}-2\nu_{12}\nu_{21}}</math>

und das Elastizitätsgesetz

:<math>
\begin{bmatrix}
\sigma_{22}\\
\sigma_{33}\\
\sigma_{23}\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{(1-\nu_{12}\nu_{21)E_2}}{D} &
\frac{(\nu_{23}+\nu_{12}\nu_{21)E_2}}{D}&0\\
\frac{(\nu_{23}+\nu_{12}\nu_{21)E_2}}{D} &
\frac{(1-\nu_{12}\nu_{21)E_2}}{D}&0
\\
0&0& G_{12}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{22}\\
\varepsilon_{33}\\
2\varepsilon_{23}
\end{bmatrix}
</math>

mit <math>D=(1+\nu_{23}) (1-\nu_{23}-2\nu_{12}\nu_{21})</math> bzw.

:<math>
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{22}\\
\varepsilon_{33}\\
2\varepsilon_{23}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1-\nu_{12}\nu_{21}}{E_2} & -\frac{\nu_{23}+\nu_{12}\nu_{21}}{E_2}&0\\
-\frac{\nu_{23}+\nu_{12}\nu_{21}}{E_2} & \frac{1-\nu_{12}\nu_{21}}{E_2}&0\\
0&0&\frac{1}{G_{12}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{22}\\
\sigma_{33}\\
\sigma_{23}\\
\end{bmatrix}
</math>

mit jeweils symmetrischer Steifigkeits- bzw. Nachgiebigkeitsmatrix. Hier wird der Elastizitätsmodul in Vorzugsrichtung ''E''1 nicht gebraucht, weswegen nur vier Materialparameter zu bestimmen sind.

=== Stabilitätskriterien ===
Die Materialparameter können nicht beliebig gewählt werden, sondern müssen gewissen Stabilitätskriterien genügen. Diese folgen aus der Forderung, dass die Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrizen [[positiv definit]] sein müssen. Dies führt auf die Bedingungen:
* Alle Diagonalelemente der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix müssen positiv sein (damit sich das Material in Zugrichtung streckt, wenn man daran zieht, und nicht staucht) und
* die Determinante der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix muss positiv sein (damit es unter Druck komprimiert und nicht expandiert).

Werden an einem realen Werkstoff Materialparameter identifiziert, die diesen Stabilitätskriterien widersprechen, ist Vorsicht geboten. Die Stabilitätskriterien lauten:<ref>{{Literatur
| Autor=H. Altenbach
| Titel=Kontinuumsmechanik: Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen
| Verlag=Springer
| Datum=2012
| ISBN=3-642-24119-0
| Seiten = }}</ref>

:<math>\begin{array}{l}
E_1, E_2, G_{12}, G_{23} > 0
\\
| \nu_{23} | < 1
\\
| \nu_{12} | < \sqrt{\dfrac{E_1}{E_2}}
\quad\rightarrow\quad
1-\nu_{12}\nu_{21} > 0
\\
1-\nu_{23} - 2 \nu_{12}\nu_{21} > 0
\end{array}
</math>
Wenn die linke Seite der letzten Ungleichung gegen null geht, setzt das Material einer hydrostatischen Kompression zunehmend Widerstand entgegen. Aus der Symmetrie-Beziehung folgt ergänzend:

:<math>| \nu_{21} | < \sqrt{\dfrac{E_2}{E_1}}</math>.

=== Herleitung ===
In der [[Hyperelastizität]] ergeben sich die Spannungen aus der Ableitung der [[Formänderungsenergie]] nach den Dehnungen. Damit die Spannungen linear in den Dehnungen sind, muss demnach die Formänderungsenergie quadratisch in den Dehnungen sein, denn nur dann ist ihre Ableitung linear. Mit den [[#Invarianten]] lässt sich der Ansatz

:<math>\begin{align}
w(\boldsymbol{\varepsilon})=&
\frac a2\varepsilon_{11}^2
+\frac b2 (\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})^2
+c\varepsilon_{11}(\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})
\\&
+(d-b) (\varepsilon_{22}\varepsilon_{33}-\varepsilon_{23}^2)
+2 e (\varepsilon_{12}^2+\varepsilon_{13}^2)
\end{align}</math>

mit fünf Parametern ''a'' bis ''e'' machen. Um dies nach '''''ε''''' ableiten zu können, müssen die Komponenten ''ε''ij als Funktion des Tensors '''''ε''''' ausgedrückt werden. Das gelingt mit der Darstellung des [[Frobenius-Skalarprodukt#Darstellung als Spur|Frobenius-Skalarprodukts]] „:“ als [[Spur (Mathematik)|Spur]]:

:<math>\mathbf{A}:\mathbf{B}:=\mathrm{Spur}(\mathbf{A^\top\cdot B})</math>

Mit der Abkürzung <math>\mathbf{K}_{ij}=\frac12(\hat e_i\otimes\hat e_j+\hat e_j\otimes\hat e_i)</math> für die symmetrisierten [[Dyadisches Produkt|dyadischen Produkte]] der Orthotropieachsenvektoren ist dann<ref name="Frechet">Die [[Fréchet-Ableitung]] einer Funktion <math> f </math> nach <math> x </math>
ist der beschränkte lineare Operator <math> \mathcal{A} </math> der – sofern er existiert – in alle Richtungen <math>h</math> dem [[Gâteaux-Differential]] entspricht, also

:<math> \mathcal{A}(h)
= \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}f(x+sh)\right|_{s=0}
= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{f(x+s h) - f(x)}{s}
\quad\forall\;
h</math>

gilt. Darin ist <math> s\in \mathbb{R}\,, f,x\, \textsf{und}\, h </math> skalar-, vektor- oder tensorwertig aber <math> x</math> und <math> h </math> gleichartig. Dann wird auch

:<math>\mathcal{A} = \frac{\partial f}{\partial x} </math>

geschrieben.
</ref>

:<math>\mathbf{K}_{ij}:\boldsymbol{\varepsilon}
=\frac12(\varepsilon_{ij}+\varepsilon_{ji})=\varepsilon_{ij}
\quad\rightarrow\quad
\frac{\mathrm d\varepsilon_{ij}}{\mathrm d\boldsymbol{\varepsilon}}
=\mathbf{K}_{ij}
</math>

Aus dem Ansatz der Formänderungsenergie berechnen sich die Spannungen zu

:<math>\begin{align}
\boldsymbol{\sigma}=
\frac{\mathrm d w}{\mathrm d\boldsymbol{\varepsilon}}=&
a\varepsilon_{11}\mathbf{K}_{11}
+b(\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})(\mathbf{K}_{22}+\mathbf{K}_{33})
\\&
+c(\varepsilon_{11}(\mathbf{K}_{22}+\mathbf{K}_{33})
+(\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})\mathbf{K}_{11})
\\&
+(d-b)(\varepsilon_{33}\mathbf{K}_{22}+\varepsilon_{22}\mathbf{K}_{33}
-2\varepsilon_{23}\mathbf{K}_{23})
+4e(\varepsilon_{12}\mathbf{K}_{12}+\varepsilon_{13}\mathbf{K}_{13})
\end{align}</math>

oder in Voigt-Notation im ê1,2,3-System

:<math>\begin{bmatrix}\sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\
\sigma_{23}\\\sigma_{13}\\\sigma_{12}\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
a\varepsilon_{11}+c\varepsilon_{22}+c\varepsilon_{33}\\
c\varepsilon_{11}+b\varepsilon_{22}+d\varepsilon_{33}\\
c\varepsilon_{11}+d\varepsilon_{22}+b\varepsilon_{33}\\
(b-d)\varepsilon_{23}\\
2 e\varepsilon_{13}\\
2 e\varepsilon_{12}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
a & c & c & & &\\
c & b & d & & &\\
c & d & b & & &\\
& & & \frac{b-d}{2} & &\\
& & & & e &\\
& & & & & e
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\varepsilon_{11}\\
\varepsilon_{22}\\
\varepsilon_{33}\\
2\varepsilon_{23}\\
2\varepsilon_{13}\\
2\varepsilon_{12}
\end{bmatrix}
</math>

In der [[#Spannungs-Dehnungs-Beziehung]] lassen sich die Parameter direkt ablesen, womit sich die 44-Komponente ergibt zu

:<math>\frac{b-d}2=\frac{E_2}{2(1+\nu_{23})}=G_{23}</math>

Ableitung der Spannungen nach den Dehnungen liefert den konstanten und symmetrischen [[Elastizitätstensor]] 4. Stufe:

:<math>\begin{align}
\mathbb{C}
:=\frac{\mathrm d\boldsymbol{\sigma}}{\mathrm d\boldsymbol{\varepsilon}}
=&
a\mathbf{K}_{11}\otimes \mathbf{K}_{11}
+b(\mathbf{K}_{22}+\mathbf{K}_{33})\otimes (\mathbf{K}_{22}+\mathbf{K}_{33})
\\&
+c((\mathbf{K}_{22}+\mathbf{K}_{33})\otimes \mathbf{K}_{11}+\mathbf{K}_{11}\otimes (\mathbf{K}_{22}+\mathbf{K}_{33}))
\\&
+(d-b)(\mathbf{K}_{22}\otimes \mathbf{K}_{33}+\mathbf{K}_{33}\otimes \mathbf{K}_{22}-2\mathbf{K}_{23}\otimes \mathbf{K}_{23})
\\&
+4e(\mathbf{K}_{12}\otimes \mathbf{K}_{12}+\mathbf{K}_{13}\otimes \mathbf{K}_{13})
\end{align}</math>

Die Tensoren '''K'''ii werden ''Strukturvariable'' genannt, weil sie die interne Struktur des Materials repräsentieren<ref name="haupt" details="387 "/> und mit ihnen auch die invarianten Terme dargestellt werden können. Nicht-linear hyperelastisches Verhalten kann modelliert werden, indem
# die Parameter ''a'' bis ''e'' durch Funktionen der invarianten Terme ersetzt werden, siehe [[Hyperelastizität#Orthotrope Hyperelastizität]], und/oder
# der invariante Term höherer Ordnung im Ansatz zur Formänderungsenergie berücksichtigt wird.<ref name="haupt" details="394 "/>

== Beispiel ==
[[Datei:Trisozug.png|mini|Zug einer transversal isotropen Materialprobe mit einer Kraft <math>\mathrm{F}</math> in einem Winkel <math>\alpha</math> zur Vorzugsrichtung]]
[[Datei:Trisopolar.png|mini|Beispiel für die Richtungsabhängigkeit des Elastizitätsmoduls und der Querdehnzahlen bei transversaler Isotropie]]

Ein transversal isotroper linear elastischer Werkstoff habe die Kennwerte

:<math> \begin{array}{lcl}
E_{1}&=&2000\,\mathrm{MPa}\\
E_{2}&=&1000\,\mathrm{MPa}\\
G_{12}&=&700\,\mathrm{MPa}\\
G_{23}&=&350\,\mathrm{MPa}\\
\nu_{12}&=& 0{,}25\end{array} </math>

Die Stabilitätskriterien werden erfüllt:

:<math> \begin{array}{l}
E_{1},E_{2},G_{12},G_{23}> 0\\
|\nu_{23}|=\nu_{23}=\frac{E_{2}}{2G_{23}}-1= 0{,}4285\ldots< 1
\\
|\nu_{12}|=0{,}25 < \sqrt{\frac{E_{1}}{E_{2}}}=1{,}4142\ldots
\\
|\nu_{21}|=\nu_{12}\frac{E_{2}}{E_{1}}
=0{,}125< \sqrt{\frac{E_{2}}{E_{1}}} = 0{,}7071\ldots
\\
1 - \nu_{12} \nu_{21} = 0{,}96875 > 0
\\
1 - \nu_{23}^2 = 0{,}8163\ldots > 0
\\
(1-\nu_{23}-2\nu_{12}\nu_{21})(1+\nu_{23})=0{,}7270\ldots > 0
\end{array}</math>.

Wird eine Probe dieses Materials wie im oberen Bild in einem Winkel <math> \alpha </math> zur Vorzugsrichtung einaxial belastet, würde man den [[Elastizitätsmodul]] und die [[Querdehnzahl]]en, wie im unteren Bild gezeigt, messen. Bei Isotropie wären die Kurven konzentrische Kreise.

== Siehe auch ==
* [[Materialmodell]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary|transversal}}
{{Wiktionary|isotrop}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor=H. Altenbach, J. Altenbach, R. Rikards
| Titel=Einführung in die Mechanik der Laminat- und Sandwichtragwerke
| Verlag=Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie
| Ort=Stuttgart
| Datum=1996
| ISBN=3-342-00681-1}}

[[Kategorie:Werkstoffeigenschaft]]
[[Kategorie:Fasertechnologie]]
[[Kategorie:Kontinuumsmechanik]]

Transversale Isotropie - Versionsgeschichte

imported>ⵓ: Vorlage {{rp}} ersetzt/ →