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2026-01-05T22:46:48Z

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In der [[Mengenlehre]] nennt man eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>A</math> '''transitiv''', falls
* aus <math>x\in A</math> und <math>y\in x</math> immer folgt, dass <math>y\in A</math>, in Zeichen:
:<math>\forall x,y: \,x \in A \land y \in x \Rightarrow y \in A</math>,
oder äquivalent falls
* jedes Element von <math>A</math>, das eine Menge ist, eine [[Teilmenge]] von <math>A</math> ist.
Auf ‚echte‘ (d. h. von der [[Leermenge]] verschiedene) [[Urelement]]e kommt es dabei nicht an.<br />
Analog dazu nennt man eine [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]] <math>A</math> '''transitiv''', falls jedes Element von <math>A</math> eine Teilmenge von <math>A</math> ist.

== Beispiele ==
* Eine [[Ordinalzahl]] nach der Definition von [[John von Neumann]] ist eine transitive Menge mit der Eigenschaft, dass jedes Element wieder transitiv ist.
* Ein [[Grothendieck-Universum]] ist per definitionem eine transitive Menge.
* Transitive Klassen werden als [[Modelltheorie|Modelle]] für die Mengenlehre selbst verwendet.

== Eigenschaften ==
* Eine Menge <math>A</math> ist genau dann transitiv, wenn <math>\bigcup A \subseteq A</math>, wobei <math>\bigcup A = \bigcup_{x\in A} x = \{y | (\exists x \in A) y \in x\} = \{y | y \in^2 A\}</math> die [[Menge (Mathematik)#Vereinigung .28Vereinigungsmenge.29|Vereinigung]] aller Elemente von <math>A</math> ist.<ref>In diese Vereinigung gehen nur Elemente ein, die Mengen sind, also keine (‚echten‘) Urelemente.</ref>
* Falls <math>A</math> transitiv ist, dann ist auch <math>\bigcup A</math> transitiv.
* Falls <math>A</math> und <math>B</math> transitive Mengen sind, dann ist auch <math>A \cup B\cup\{A,B\}</math> transitiv.
* Allgemein, falls <math>A</math> eine Klasse ist, deren Elemente alle transitive Mengen sind, dann ist <math>A \cup \bigcup A</math> eine transitive Klasse.
* Eine Menge <math>A</math> ist genau dann transitiv, wenn <math>A</math> eine Teilmenge der [[Potenzmenge]] von <math>A</math> ist.
* Die Potenzmenge einer transitiven Menge ist wieder transitiv. Diese Eigenschaft wird bei der [[Von-Neumann-Hierarchie]] verwendet, um einzusehen, dass alle Stufen dieser Hierarchie transitiv sind.

== Verallgemeinerung ==
Sei gegeben eine Menge (oder Klasse) <math>A</math> und eine Relation <math>R</math> darauf. <math>A</math> heißt <math>R</math>-'''transitiv''', wenn gilt:
:<math>\forall x,y: \,x \in A \land y\,R\,x \Rightarrow y \in A</math>.<ref>Wolfram Pohlers: [https://www.uni-muenster.de/imperia/md/content/logik/Skripte/pohlers.mengenlehre_1994.pdf Mengenlehre (PDF)], Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31</ref>
Im Fall <math>R = {\in}</math> ergibt sich die obige Definition als Spezialfall.

== Anmerkungen ==
<references />

== Siehe auch ==
* [[Transitive Relation]]
* [[Transitive Hülle (Menge)]]

== Literatur ==
* {{cite book
|last=Jech
|first=Thomas
|authorlink=Thomas Jech
|title=The Axiom of Choice
|year=2008
|origyear=originally published in 1973
|publisher=Dover Publications
|isbn=0-486-46624-8 |language=en
}}

[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Modelltheorie]]

Transitive Menge - Versionsgeschichte

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