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2024-04-29T19:55:05Z

Beispiel

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Der '''Transformationssatz''' (auch ''Transformationsformel'') beschreibt in der [[Analysis]] das Verhalten von [[Integralrechnung|Integralen]] unter [[Koordinatentransformation]]en. Er ist somit die Verallgemeinerung der [[Integration durch Substitution]] auf [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich das Integral nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter berechnen lässt.

== Formulierung des Satzes ==

Es sei <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^d</math> eine [[offene Menge]] und <math>\Phi\colon \Omega \to \Phi(\Omega) \subseteq \mathbb{R}^d</math> ein [[Diffeomorphismus]]. Dann ist die Funktion <math>f</math> auf <math>\Phi(\Omega)</math> genau dann [[Lebesgue-Integral#Integration beliebiger messbarer Funktionen und Integrierbarkeit|integrierbar]], wenn die Funktion <math>x \mapsto f(\Phi(x)) \cdot\left|\det(D\Phi(x))\right|</math> auf <math>\Omega</math> integrierbar ist. In diesem Fall gilt:
:<math>\int_{\Phi(\Omega)} f(y)\, \mathrm{d}y = \int_\Omega f(\Phi(x))\cdot \left|\det(D\Phi(x))\right| \mathrm{d}x\;.</math>

Dabei ist <math>D\Phi(x)</math> die [[Jacobi-Matrix]] und <math>\det(D\Phi(x))</math> die [[Funktionaldeterminante]] von <math>\Phi</math>.

=== Spezialfälle ===
*Wählt man für <math>f</math> die [[konstante Funktion]] 1, so stellt die linke Seite der Formel einfach das [[Volumen]] bzw. <math>d</math>-dimensionale [[Lebesgue-Maß]] der Bildmenge <math>\Phi(\Omega)</math> dar:
*:<math>\operatorname{vol}(\Phi(\Omega)) = \int_\Omega \left|\det(D\Phi(x))\right| \,\mathrm{d}x\;.</math>
*Ist außerdem die Abbildung <math>\Phi</math> [[lineare Abbildung|linear]] oder [[affine Abbildung|affin]], <math>\Phi(x) = A x + b</math>, wobei <math>A</math> eine <math>d \times d</math>-Matrix ist und <math>b \in \R^d</math>, so ist <math>D \Phi(x) = A</math>. Somit gilt
*:<math>\operatorname{vol}(\Phi(\Omega)) = \left|\det (A)\right| \cdot \operatorname{vol}(\Omega)\;.</math>

== Beispiel ==

Um zu zeigen, dass das Integral über die [[Gauß-Glocke]]
: <math>\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac12\big(\frac{x-\mu}\sigma\big)^2}</math>
gleich 1 ist, genügt es, die Aussage
: <math>\left(\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2} \, \mathrm dx \right)^2 = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2-y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\pi</math>
zu beweisen. Da die Funktion <math>f(x,y)=\mathrm e^{-x^2-y^2} = \mathrm e^{-r^2}</math> [[Rotationskörper|rotationssymmetrisch]] ist, liegt die Berechnung des Integrals in [[Polarkoordinaten]] statt kartesischen Koordinaten nahe:

Es sei <math>\Omega=\mathbb R_{>0}\times(0,2\pi)</math> und
:<math>\Phi\colon\Omega\to\mathbb R^2,\quad(r,\varphi)\mapsto(r\cos\varphi,r\sin\varphi).</math>
Dann ist die [[Funktionaldeterminante]]
: <math>\det D\Phi(r,\varphi)=\begin{vmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi\end{vmatrix}=r(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r.</math>
Das Komplement von <math>\Phi(\Omega)\subset \mathbb R^2</math> ist eine [[Nullmenge]], mit <math>f(x,y)=\mathrm e^{-x^2-y^2}</math> ergibt sich also
:: <math>\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-x^2-y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy</math>
: <math>{} = \int_{\Phi(\Omega)}\mathrm e^{-x^2-y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy</math>
: <math>{} = \int_\Omega\mathrm e^{-(r\cos\varphi)^2-(r\sin\varphi)^2}\cdot \det D\Phi(r,\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi</math>
: <math>{} = \int_\Omega\mathrm e^{-r^2}\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi</math>
: <math>{} = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty r\mathrm e^{-r^2}\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi </math>
: <math>{} = \int_0^{2\pi}\frac12\, \mathrm d\varphi = \pi.\,</math>
Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution <math>t=r^2</math> begründet werden.

== Literatur ==
* [[Otto Forster]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im'' '''R'''<sup>n</sup> ''und Anwendungen'', 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2'', Springer, Berlin 2004, S. 211

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Transformation]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

[[en:Integration by Substitution#Substitution for multiple variables]]

Transformationssatz - Versionsgeschichte

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