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2025-07-31T09:28:06Z

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Unter einem '''Transferfunktionsmodell''' wird in der [[Zeitreihenanalyse]] ein univariates Zeitreihenmodell verstanden, bei dem die Zielvariable <math>Y_t</math> außer von sich selbst und einer unbeobachtbaren Schockvariablen <math>Z_t</math> von weiteren beobachtbaren Variablen <math>X_mt</math> dynamisch abhängig sein kann. Im Gegensatz zu [[Vektorprozess]]en finden nur ein Einfluss der <math>X_mt</math> auf <math>Y_t</math> statt und nicht umgekehrt. Ein solches Modell kann auch als univariates dynamisches Modell mit Inputvariablen angesehen werden. Formal lässt sich folgende Darstellung wählen:

<math>Y_t=\nu(L)X_t+\frac{\Theta(L)}{\Phi(L)}Z_t</math>

Dabei ist <math>X_t</math> die Inputvariable. Im Gegensatz zum Interventionsmodell kann diese Inputvariable mehr Ausprägungen haben als die [[Indikatorfunktion]] (nur 0 und 1). <math>Y_t</math> kann dabei als Outputvariable bezeichnet werden. <math>Y_t=\nu(L)</math> wird als Transferfunktion bezeichnet. Diese Funktion ist in ihrer Wirkung auf die Zeitreihe mit der [[Impuls-Antwort-Funktion]] des Interventionsmodells vergleichbar. Das Transferfunktionsmodell ist [[Stabilität (Numerik)|stabil]], wenn die Impuls-Antwort-Gewichte absolut summierbar sind. Somit würde ein beschränkter Input auch einen beschränkten Output erzeugen. Das [[Modell]] heißt [[Kausalität|kausal]], wenn <math>Y_t</math> keine vorlaufende [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] von <math>X_t</math> ist. ''X'' ist bezüglich ''Y'' [[Exogenität|exogen]], und es gibt keine [[Rückkopplung|Feedback]]-Beziehung von ''Y'' zu ''X''.

Zur [[Identifikation (Mathematik)|Identifikation]] des Modells wird auf das [[Mathematisches Instrument|Instrument]] der [[Kreuzkorrelationsfunktion]] zurückgegriffen. Diese Funktion ist im Gegensatz zur [[Autokorrelationsfunktion]] nicht symmetrisch um ''l''. Die Beziehung zwischen der Kreuzkorrelations- und der Transferfunktion ist recht kompliziert:

<math>\rho(l)=\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}[\nu_0\rho_X(l)+\nu_1\rho_X(l-1)+\nu_2\rho_X(l-2)+...]</math>.

Das hier zu lösende simultane [[Gleichungssystem]] ist recht kompliziert. Einfacher hätte man es, wenn folgender Zusammenhang herstellbar wäre:

<math>\nu=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\rho_{XY}(l)</math>.

Damit wäre <math>\nu_l</math> proportional zum Kreuzkorrelationskoeffizienten <math>\rho_{XY}(l)</math>. Dieses kann erreicht werden, in dem man den Input so transformiert, dass dieser [[Weißes Rauschen (Physik)|weißes Rauschen]] wird. Bei der als „Vorweißen“ genannten [[Transformation (Mathematik)|Transformation]] wird davon ausgegangen, dass die Inputreihe <math>X_t</math> als [[ARMA-Modell|ARMA]]-Prozess aufgefasst wird:

<math>\Phi_Y(L)X_t=\Theta_X(L)\alpha_t</math>. Nach umformen ergibt sich die vorgeweißte Inputreihe:

<math>\alpha_t=\frac{\Phi_X(L)}{\Theta_X(L)}X_t</math>

Nun muss noch dieselbe Transformation auf die Outputvariable <math>Y_t</math> angewandt werden:

<math>\beta_t=\frac{\Phi_X(L)}{\Theta_X(L)}Y_t</math>.

Das ursprüngliche Transferfunktionsmodell lässt sich nun als:

<math>\beta_t=\nu(L)\alpha_t+\varepsilon_t</math> auffassen. <math>\alpha_t</math> ist dabei weißes Rauschen. <math>\beta_t</math> und <math>\varepsilon_t</math> sind in der Regel kein weißes Rauschen. Für den Kreuzkorrelationskoeffizienten der transformierten Zeitreihe erhält man:

<math>\nu=\frac{\sigma_\beta}{\sigma_\alpha}\rho_{\alpha\beta}(l)</math>.

Mit diesem Ergebnis kann die [[Schätzung]] wie im [[ARMA-Modell]] erfolgen.

== Literatur ==
* Claus Möbus und Willi Nagl: ''Messung, Analyse und Prognosevon Veränderungen'', [https://oops.uni-oldenburg.de/2492/1/Moebus%26Nagl1983.pdf Multiple Zeitreihenanalyse : Transferfunktionsmodelle] Seite 268 ff

[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]

Transferfunktionsmodell - Versionsgeschichte

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