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2024-12-28T21:46:35Z

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{{Infobox Physikalische Größe
| Name=Trägheitstensor
| Größenart=[[Trägheitsmoment]]
| Formelzeichen=<math>\mathbf \Theta,I</math>
| SI=<math>\mathrm{kg\,\cdot\,m^2}</math>
| SI-Dimension=<math>M\,\cdot\,L^2</math>
| Anmerkungen=Der Trägheitstensor ist ein [[Kovarianz (Physik)|kovarianter]] und [[Definitheit|positiv definiter]] [[Tensor#Arten von Tensoren|Tensor 2. Stufe]].}}
Der '''Trägheitstensor''' ist in der [[Mechanik]] die Eigenschaft eines [[Starrer Körper|starren Körpers]], die seine [[Trägheit]] gegenüber Änderungen seines [[Drehimpuls]]es beschreibt. Sein Formelzeichen ist <math>\mathbf\Theta</math> oder <math>\mathbf I</math>. Er ist ein [[Kovarianz (Physik)|kovarianter]] [[Tensor#Arten von Tensoren|Tensor 2. Stufe]] und für ausgedehnte Körper [[Definitheit|positiv definit]].

Mit Hilfe des Trägheitstensors lässt sich der Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls <math>\vec L</math> eines Körpers und seiner [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\vec \omega</math> in [[vektor]]ieller Form als [[Matrixprodukt]] des Trägheitstensors mit der Winkelgeschwindigkeit darstellen:

:<math>\vec{L}=\mathbf{\Theta}\cdot\vec\omega</math>

Der Wert des Trägheitstensors hängt von der Wahl seines Bezugspunkts ab. Dieser wird zur Berechnung des Trägheitstensors meist auf den [[Massenmittelpunkt]] des Körpers festgelegt. Diese Wahl erleichtert die separate Berechnung von [[Drehimpuls#Der Eigendrehimpuls|Eigen-]] und [[Drehimpuls#Der Drehimpuls eines starren Körpers|Bahndrehimpuls]]. Mit Hilfe des [[Steinerscher Satz|Steinerschen Satzes]] lässt sich aus dem Trägheitstensor des Schwerpunktes der für einen beliebigen Bezugspunkt berechnen.

In der [[Koordinatendarstellung]] des Trägheitstensors bezüglich einer [[Orthonormalbasis]] mit dem [[Koordinatenursprung]] im Bezugspunkt enthält er die [[Trägheitsmoment|Trägheits-]] und [[Deviationsmoment]]e für [[Rotation (Physik)|Rotationsachsen]], die parallel zu den [[Basisvektor]]en sind. Durch [[Koordinatentransformation]] erhält man die Trägheits- und Deviationsmomente bezüglich anderer Achsen durch den Bezugspunkt.

Für bestimmte [[Drehachse]]n ist der Drehimpuls parallel zur Winkelgeschwindigkeit. Diese Achsen heißen [[Hauptträgheitsachse]]n. Zu jedem Körper gibt es mindestens drei aufeinander senkrecht stehende Hauptträgheitsachsen. Sie sind parallel zu den [[Eigenvektor]]en des Trägheitstensors. Die entsprechenden [[Eigenwerte]] des Trägheitstensors nennt man die [[Hauptträgheitsmoment]]e des Körpers. Rotiert der Körper um eine andere Achse als eine der Hauptträgheitsachsen, sind sein Drehimpuls und seine Rotationsachse im Allgemeinen nicht parallel. Dann ist als Folge der [[Drehimpulserhaltung]] die Rotationsachse nicht fest, sondern rotiert ebenfalls: der Körper ‚eiert‘. Hält man die Rotationsachse in diesem Fall durch Zwang fest, wirken aufgrund der [[Unwucht]] Kräfte auf die Lager und der Drehimpuls ist veränderlich.

Trägheitstensoren einfacher Körper finden sich in der [[Liste von Trägheitstensoren]].

== Analogie zur Masse bei translatorischer Bewegung ==
{{Hauptartikel|Rotation (Physik)#Vergleich mit der Translationsbewegung}}
Der Trägheitstensor hat in den Bewegungsgleichungen der Mechanik eine vergleichbare Position bezüglich der Rotation, wie die [[Masse (Physik)|Masse]] bezüglich der [[Translation (Physik)|Translation]].
{| class="wikitable"
! Rotation !! Translation
|-
| <math>\underbrace\vec{L}_{\mathrm{Drehimpuls}} = \underbrace\mathbf{\Theta}_{\mathrm{Tr\ddot{a}gheitstensor}} \cdot\underbrace\vec{\omega}_{\mathrm{Winkelgeschwindigkeit}}</math> || <math>\underbrace\vec{p}_{\mathrm{Impuls}}=\underbrace m_{\mathrm{Masse}} \cdot \underbrace\vec{v}_{\mathrm{Geschwindigkeit}}</math>
|}
Jenseits der formal gleichen Position als Ausdruck der Trägheit, die kinematische Größe (Winkel-)Geschwindigkeit mit der dynamischen Größe (Dreh-)[[Impuls (Physik)|impuls]] zu verknüpfen, bestehen wesentliche Unterschiede, die die Rotationen gegenüber den Translationen auszeichnen:
* die Masse ist eine [[Skalar (Mathematik)#Skalare in der Physik|skalare Größe]], der Trägheitstensor ein Tensor zweiter Stufe.
* Impuls und Geschwindigkeit sind immer parallel, Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit im Allgemeinen nicht.
* Die Masse ist in allen Bezugssystemen zeitlich konstant, der Trägheitstensor hängt im Allgemeinen von der Ausrichtung des Körpers und seiner Lage zum Bezugspunkt ab. Da diese sich ändern können, sind die Komponenten zeitabhängig, während bei Translationen die Masse konstant ist. Nur in einem körperfesten Bezugssystem sind die Komponenten des Trägheitstensors konstant.

== Trägheitstensor für eine Punktmasse ==
=== Herleitung und Definition ===
Für den [[Drehimpuls]] <math>\vec{L}</math> einer [[Punktmasse]] bezüglich des Koordinatenursprungs gilt:
:<math>\vec{L} = m\, \vec r \times \vec v = m\, \vec r \times (\vec \omega \times \vec r )</math>.
Hier sind:
* <math>m</math>: die [[Masse (Physik)|Masse]] der Punktmasse
* <math>\vec r</math>: der Ortsvektor der Punktmasse
* <math>\vec v = \dot\vec r</math>: die Geschwindigkeit der Punktmasse
* <math>\vec \omega</math>: die Winkelgeschwindigkeit der Punktmasse relativ zum Koordinatenursprung

Dies lässt sich mit Hilfe der [[Kreuzprodukt#Graßmann-Identität|BAC-CAB-Formel]], dem [[Einheitstensor]] <math>\mathbf{1}</math> und dem Operator <math>\otimes</math> für das [[Dyadisches Produkt|dyadische Produkt]] umformen zu:

:<math>\vec{L} =m\,[(\vec{r}\cdot\vec r)\,\mathbf{1}-\vec{r}\otimes\vec r]\cdot\vec{\omega}</math>

Mit der Definition des Trägheitstensors <math>\mathbf{\Theta}</math>:
:<math>\mathbf{\Theta} := m\,[(\vec{r}\cdot\vec r)\,\mathbf{1}-\vec{r}\otimes\vec r]</math>
ergibt sich der oben genannte Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit <math>\textstyle\vec L = \mathbf{\Theta} \cdot \vec \omega</math>.

=== Berechnung ===
Die Matrixdarstellung des Trägheitstensors <math>\mathbf{\Theta}</math> bezüglich der [[Orthonormalbasis]] mit den Einheitsvektoren <math>\hat{e}_{1,2,3}</math> erhält man aus der [[Bilinearform]] <math>\Theta_{ij} = \hat{e}_i\cdot\mathbf{\Theta}\cdot\hat{e}_j </math>, wobei die Indizes <math>i,j</math> die Koordinaten nummerieren:

:<math>\begin{align}
\Theta_{ij}
&= \hat{e}_i\cdot\mathbf{\Theta}\cdot\hat{e}_j\\
&= \hat{e}_i\cdot m\,[(\vec{r}\cdot\vec r)\,\mathbf{1}-\vec{r}\otimes\vec r]\cdot\hat{e}_j\\
&= m\,\hat{e}_i\cdot[(\vec{r}\cdot\vec r)\hat{e}_j-(\vec r\cdot\hat{e}_j)\vec{r}]\\
&= m\,[(\vec{r}\cdot\vec r)(\hat{e}_i\cdot\hat{e}_j)-r_j(\hat{e}_i\cdot\vec{r})]\\
&= m\,[(\vec{r}\cdot\vec r)\delta_{ij}-r_i\, r_j]\\
\Rightarrow\Theta&= m\,\begin{pmatrix}
(r_2^2+r_3^2) & -r_1 r_2 & -r_1 r_3\\
-r_1 r_2 & (r_1^2+r_3^2) & -r_2 r_3\\
-r_1 r_3 & -r_2 r_3 & (r_1^2+r_2^2) \end{pmatrix} \\
\end{align}</math>

Hier sind zusätzlich:
* <math>\vec r = (r_1,\, r_2,\, r_3) </math> die Koordinaten des [[Ortsvektor]]s
* <math>\delta_{ij}=\begin{cases}1&\text{für}\;i=j\\0&\text{sonst.}\end{cases}</math> das [[Kronecker-Delta]]

Der Trägheitstensor ist ein symmetrischer Tensor, denn es gilt stets <math>\Theta_{ij} = \Theta_{ji}</math>.

== Struktur des Trägheitstensors ==
Die Elemente des Trägheitstensors in einer Koordinatendarstellung haben unmittelbare physikalische Bedeutung:

=== Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen Achse ===
{{Hauptartikel|Trägheitsmoment}}
Die drei Elemente der Hauptdiagonale sind die Trägheitsmomente des Körpers bei Rotation um die jeweilige Achse des Koordinatensystems.
Das Trägheitsmoment <math>\Theta_{ee}</math> um eine Achse in Richtung eines beliebigen Einheitsvektors <math>\hat e</math> ergibt sich durch

:<math>\Theta_{ee} = \hat e \cdot \mathbf{\Theta} \cdot \hat e</math>.

Das sieht man einfach an der obigen Matrixdarstellung, wenn man den gewählten Einheitsvektor <math>\hat e</math> durch zwei weitere Einheitsvektoren zu einer Orthogonalbasis erweitert. Denn die Diagonalelemente sind die Trägheitsmomente um die Richtungen der Basisvektoren.

=== Deviationsmomente ===
{{Hauptartikel|Deviationsmoment}}
Die Nichtdiagonalelemente heißen [[Deviationsmoment]]e. Sie geben (nach Multiplikation mit <math>\omega^2</math>) die Drehmomente an, die von den Lagern ausgeübt werden müssen, damit die Drehachse ihre Richtung beibehält.

=== Hauptträgheitsachsen und Hauptträgheitsmomente ===
{{Hauptartikel|Hauptträgheitsachse}}
Im Allgemeinen gilt <math>\vec{L}=\mathbf{\Theta}\cdot\vec\omega</math>. Aus der positiven Definitheit des Tensors <math>\mathbf{\Theta}</math> folgt, dass es in drei Raumdimensionen auch drei positive [[Eigenwerte]] <math>\Theta_k</math> und zugehörige [[Eigenvektor]]en <math>\vec\omega_k</math> gibt, für die gilt <math>\vec{L}=\Theta_k \vec\omega_k</math>.

Die Eigenvektoren des Trägheitstensors heißen Hauptträgheitsachsen und seine Eigenwerte sind die [[Hauptträgheitsmoment]]e.

Mit den Hauptträgheitsmomenten und ihren Hauptträgheitsachsen bekommt der Trägheitstensor eine besonders einfache [[Diagonalmatrix|Diagonalgestalt]]:

:<math>\mathbf{\Theta}
=\begin{pmatrix}\Theta_1 &&\\ & \Theta_2 &\\ && \Theta_3\end{pmatrix}
</math>

=== Symmetriebetrachtungen ===
Jede Symmetrieachse ist eine Hauptträgheitsachse. Es gilt:
* Bei geraden [[Prisma (Geometrie)|prismatischen]] Körpern mit Grundfläche in Form eines Kreises oder eines regelmäßigen Vielecks sind zwei der drei Hauptträgheitsmomente untereinander gleich. Deren Hauptträgheitsachsen sind parallel zur Grundfläche, die dritte Hauptträgheitsachse ist senkrecht dazu.
* Bei [[Symmetrie (Geometrie)#Entsprechungen zu zweidimensionalen Symmetrieelementen|flächensymmetrischen]] Körpern liegt eine Hauptträgheitsachse senkrecht zur Symmetrieebene, die beiden anderen in der Symmetrieebene.
* Besitzt der Körper zwei zueinander senkrechte Symmetrieebenen, dann sind ihre Normalen und ihre [[Schnittgerade]] Hauptträgheitsachsen.
* Bei einem [[Tetraeder]], einem [[Würfel (Geometrie)|Würfel]], bei den übrigen drei [[Platonischer Körper|regulären Körpern]] und bei der [[Kugel]] ist jede Raumrichtung Hauptträgheitsachse.
* Sind <math>\Theta_1</math>, <math>\Theta_2</math> und <math>\Theta_3</math> paarweise voneinander verschieden, so liegt keine [[Rotationssymmetrie]] bezüglich einer Achse durch den Bezugspunkt vor, z. B. weil der Bezugspunkt nicht im [[Massenmittelpunkt]] liegt oder der Körper bezüglich keiner Achse rotationssymmetrisch ist.

== Drehimpuls und Rotationsenergie im körperfesten Hauptachsensystem ==
Im Koordinatensystem, dessen drei Basisvektoren <math>\hat e_k</math> durch die Hauptträgheitsachsen definiert sind, wird die Winkelgeschwindigkeit so ausgedrückt:

:<math>\vec\omega = \omega_1 \hat e_1 + \omega_2 \hat e_2 + \omega_3 \hat e_3</math>

Dann gilt für den Drehimpuls

:<math>\vec L = \mathbf{\Theta} \cdot \vec\omega = \Theta_1 \omega_1 \hat e_1 + \Theta_2 \omega_2 \hat e_2 + \Theta_3 \omega_3 \hat e_3</math>.

und für die [[Rotationsenergie]]

:<math>E_\text{rot} = \frac12\vec\omega\cdot\mathbf{\Theta}\cdot\vec\omega = \frac12(\Theta_1\omega_1^2+\Theta_2\omega_2^2+\Theta_3\omega_3^2)</math>.

== Trägheitsellipsoid ==
{{Hauptartikel|Trägheitsellipsoid }}
Definiert man die Länge des Ortsvektors <math>\vec r</math> in jeder Richtung durch die Gleichung
:<math>1 = \vec r \cdot \mathbf{\Theta} \cdot \vec r</math>,
dann liegen die Endpunkte dieser Vektoren auf einer geschlossenen Fläche in Form eines Ellipsoids ([[Trägheitsellipsoid#Berechnung|Beweis]]). In jeder Richtung ist der Abstand der Fläche vom Ursprung gleich dem [[Kehrwert]] der Wurzel aus dem Trägheitsmoment für die in dieser Richtung liegende Achse:

: <math>r = \frac{1}{\sqrt{\Theta_{rr}}}</math>

Die drei Achsen des Ellipsoids sind die Hauptträgheitsachsen. Die längste hat die Richtung der Drehachse mit dem kleinstmöglichen Trägheitsmoment bei der gegebenen Anordnung der Massen, die kürzeste Halbachse die Richtung mit dem größtmöglichen Trägheitsmoment. Diese Achsen haben feste Richtungen im körpereigenen Bezugssystem, denn ihre räumliche Lage ist durch die Lage des Körpers festgelegt.

== Berechnung des Trägheitstensors ==
=== Für ein System von Massenpunkten ===
Der Drehimpuls eines zusammengesetzten Systems <math>\vec L</math> ist die Summe der Drehimpulse der Komponenten des Systems <math>\vec L_n</math>.
:<math> \vec L = \sum_n \vec L_n = \sum_n \mathbf{\Theta}_n \cdot \vec \omega_n</math>
Sind die Winkelgeschwindigkeiten der Komponenten <math>\vec\omega_n</math> alle identisch und gleich <math>\vec\omega</math>, dann gilt:
:<math> \vec L = \sum_n \mathbf{\Theta}_n \cdot \vec \omega</math>
Und somit gilt für den Trägheitstensor <math>\mathbf{\Theta}</math> des Systems:
:<math>\begin{align}
\mathbf{\Theta} & = \sum_n \mathbf{\Theta}_n\\
& = \sum_n m_n\,[(\vec{r}_n\cdot\vec r_n)\,\mathbf{1}-\vec{r}_n\otimes\vec r_n] \\
& = \sum_n m_n \begin{pmatrix}
(y_n^2+z_n^2) & -x_n y_n & -x_n z_n\\
-y_n x_n & (x_n^2+z_n^2) & -y_n z_n\\
-z_n x_n & -z_n y_n & (x_n^2+y_n^2) \end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
\sum m_n (y_n^2+z_n^2) & -\sum m_n\,x_n y_n & -\sum m_n\,x_n z_n\\
-\sum m_n y_n x_n & \sum m_n(x_n^2+z_n^2) & -\sum m_n\,y_n z_n\\
-\sum m_n z_n x_n & -\sum m_n\,z_n y_n & \sum m_n\,(x_n^2+y_n^2)
\end{pmatrix}
\end{align}</math>
Hier sind weiterhin:
* <math>m_{1\ldots N}</math> die Massen der Massepunkte, aus denen das System zusammengesetzt ist,
* <math>\vec r_{1\ldots N} = (x_{1\ldots N},\, y_{1\ldots N},\, z_{1\ldots N})</math> die Koordinaten ihrer [[Ortsvektor]]en

=== Bei kontinuierlicher Masseverteilung ===

An die Stelle der Summen tritt beim Übergang zu einer kontinuierlichen Massenverteilung der Massendichte <math>\rho (\vec r)</math> ein Integral:

:<math>\Theta = \int_V \rho (\vec r)\,[(\vec r\cdot\vec r)\mathbf{1} \,-\, \vec r \otimes \vec r] \mathrm{d}V</math>

mit den einzelnen Trägheitsmomenten

:<math>\Theta_{ij} = \int_V \rho (\vec r)\,[(\vec r\cdot\vec r)\delta_{ij} \,-\, r_i r_j] \mathrm{d}V</math>

=== Beispiel: Trägheitstensor eines homogenen Würfels ===
Im Massenmittelpunkt eines Würfels mit Kantenlänge <math>d=2a</math> wird ein [[kartesisches Koordinatensystem]] so gelegt, dass die Koordinatenachsen parallel zu den Würfelkanten sind. Wegen der Homogenität ist die Dichte konstant und kann vor das Integral gezogen werden:

:<math>\Theta_{ij} = \Theta_{\beta\alpha} = \varrho \, \int_{V} (r^2\delta_{ij} - r_{i} r_{j})\mathrm{d}V</math>

Nun lassen sich die sechs unabhängigen Tensorkomponenten bestimmen: Das sind drei Massenträgheitsmomente und drei Deviationsmomente, da der Tensor wegen <math>\Theta_{ij} = \Theta_{ji}</math> [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] ist. Beim Würfel mit Kantenlänge <math>2a</math> wird zur Berechnung des Trägheitstensors bezüglich des Ursprungs in allen drei Raumrichtungen von <math>-a</math> bis <math>+a</math> integriert. Für den Würfel ergibt sich:

:<math>\begin{align}
\Theta_{xx} =&\varrho\int_{V} (y^2 + z^2)\mathrm{d}V =\varrho\frac{16}{3} a^5\\
\Theta_{yy} =&\varrho\int_{V} (x^2 + z^2)\mathrm{d}V =\varrho\frac{16}{3} a^5\\
\Theta_{zz} =&\varrho\int_{V} (y^2 + x^2)\mathrm{d}V =\varrho\frac{16}{3} a^5\\
\Theta_{xy} =& \Theta_{yx} = -\varrho\int_{V} yx\mathrm{d}V = 0\\
\Theta_{yz} =& \Theta_{zy} = -\varrho\int_{V} zy\mathrm{d}V = 0\\
\Theta_{zx} =& \Theta_{xz} = -\varrho\int_{V} xz\mathrm{d}V = 0
\end{align}</math>

Dabei wurde

:<math>\begin{align}
\int_{-a}^a\mathrm{d}x
=&\left[x\right]_{-a}^a=2a \\
\int_{-a}^ax\mathrm{d}x
=&\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-a}^a=0 \\
\int_{V} x^2\mathrm{d}V
=& \int_{x=-a}^{x=a} \int_{y=-a}^{y=a}\int_{z=-a}^{z=a} x^2\, \mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x
= \int_{x=-a}^{x=a} x^2\,\mathrm{d}x \int_{y=-a}^{y=a} \mathrm{d}y \int_{z=-a}^{z=a} \mathrm{d}z
= \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-a}^a (2a)^2
= \frac{8}{3}a^5
\end{align}</math>

benutzt, Analoges gilt in <math>y</math>- und <math>z</math>-Richtung. Mit diesen Ergebnissen, der Kantenlänge <math>d=2a</math> und der Masse <math>m=\varrho d^3</math> des Würfels bekommt der Tensor die Form

:<math>\mathbf{\Theta} = \varrho\frac{16}{3} a^5
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
= \frac{\varrho}{6}d^5\mathbf{1} = \frac{m}{6}d^2\mathbf{1}</math>.

== Siehe auch ==
* [[Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)]]
* [[Flächenträgheitsmoment]]
* [[Formelsammlung Tensoralgebra]]
*[[Liste von Trägheitstensoren]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Herbert Goldstein]]
|Titel=Klassische Mechanik
|Auflage=6. Auflage
|Verlag=Akademische Verlagsgesellschaft
|Ort=Wiesbaden
|Datum=1981
|ISBN=3-400-00134-1}}
* {{Literatur
|Autor=[[Richard Grammel]]
|Titel=Der Kreisel
|TitelErg=Seine Theorie und seine Anwendungen
|Band=2
|Auflage=2. überarb. Aufl.
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg
|Datum=1950
|DNB=451641280}}

{{SORTIERUNG:Tragheitstensor}}
[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Kreiseltheorie]]

Trägheitstensor - Versionsgeschichte

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