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2026-03-29T15:32:50Z

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Die '''Trägermenge'''<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Günther Eisenreich |Titel=Algebra (universelle) |Sammelwerk=Lexikon der Algebra |Auflage=Reprint 2021 |Verlag=De Gruyter |Ort=Berlin Boston |Datum=2022 |ISBN=978-3-11-258281-7 |Abruf=2026-03-28}}</ref> ist ein Begriff aus der [[Mathematik]]. Als Trägermenge bezeichnet man eine [[Menge (Mathematik)|Menge]], auf der mit Hilfe einer Menge von Verknüpfungen und/oder [[Relation (Mathematik)|Relationen]] eine [[Struktur (erste Stufe)|mathematische Struktur]] gebildet wird. In der Praxis handelt es sich meist um [[algebraische Struktur|algebraische Strukturen]].

== Definition ==
Eine Menge mit einer Struktur hat im Allgemeinen die Form eines [[Tupel]]s
:<math>\mathfrak{A}=\left(A;(f_i)_{i\in I},(R_j)_{j\in J}\right)</math>
mit einer Trägermenge <math>A</math>, einer [[Familie (Mathematik)|Familie]] von Verknüpfungen <math>(f_i)_{i\in I}</math> und einer Familie von Relationen <math>(R_j)_{j\in J}</math> (eine nullstellige Verknüpfung ist eine [[Verknüpfung (Mathematik)#Nullstellige Verknüpfungen|Konstante]])<ref>{{Literatur |Autor=Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas |Titel=Einführung in die mathematische Logik |Auflage=4. Aufl., korrigierter Nachdr |Verlag=Spektrum, Akad. Verl |Ort=Heidelberg Berlin |Datum=1998 |Reihe=Spektrum-Hochschultaschenbuch |ISBN=978-3-8274-0130-4 |Abruf=2025-11-20}}</ref>.<ref>{{Literatur |Autor=S. Burris, H. P. Sankappanavar |Titel=A Course in Universal Algebra |Verlag=Springer-Verlag |Ort=New York |ISBN=978-1-4613-8132-7 |Seiten=26}}</ref><ref name=":0" />

Meistens benennt man die Struktur nach ihrer Trägermenge. Dies macht es aber oft notwendig die Struktur so zu kennzeichnen, dass einerseits die Zugehörigkeit zur Trägermenge erkennbar ist und andererseits beide Bezeichnungen nicht verwechselt werden können.

== Beispiele ==
Eine Trägermenge tritt bei verschiedensten mathematischen Strukturen als die zugrunde liegende Menge der betrachteten Objekte auf.

* In der [[Algebra]] ist bei einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>(G, \circ)</math> die Menge <math>G</math> die Trägermenge, auf der die Verknüpfung <math>\circ</math> definiert ist. Entsprechend ist bei einem [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>(R, +, \cdot)</math> die Menge <math>R</math> die Trägermenge.

* In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] ist bei einem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] <math>(X, \tau)</math> die Menge <math>X</math> die Trägermenge, während <math>\tau</math> die Topologie auf <math>X</math> beschreibt.<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Tzschoppe |Titel=Struktur der Mathematik - Mathematik der Strukturen |Verlag=Books on Demand |Datum=2012-07-10 |ISBN=978-3-8448-3591-5 |Seiten=122 |Online=https://www.google.de/books/edition/Struktur_der_Mathematik_Mathematik_der_S/zf8ZAQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=tr%C3%A4germenge+analysis&pg=PA122&printsec=frontcover |Abruf=2026-03-28}}</ref>

* In der [[Maßtheorie]] ist bei einem [[Maßraum]] <math>(X, \mathcal{A}, \mu)</math> die Menge <math>X</math> die Trägermenge, auf der die [[σ-Algebra]] <math>\mathcal{A}</math> und das [[Maß (Mathematik)|Maß]] <math>\mu</math> definiert sind.

* In der [[Analysis]] ist bei einem [[Banachraum]] <math>(V, \|\cdot\|)</math> die Menge <math>V</math> die Trägermenge, auf der die Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist.

* In der [[Differentialgeometrie]] ist bei einer [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]] <math>(M, g)</math> die Menge <math>M</math> die Trägermenge, während <math>g</math> die [[riemannsche Metrik]] beschreibt.

* In der [[Ordnungstheorie]] ist bei einer [[Teilweise geordnete Menge|(teilweise) geordneten Menge]] <math>(P, \leq)</math> die Menge <math>P</math> die Trägermenge, während <math>\leq \, \subseteq \, {P \times P}</math> die zugehörige [[Halbordnung]]srelation darstellt.<ref>{{Literatur |Autor=[[Bernhard Ganter]] |Titel=Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-37499-9 |Seiten=160 |DOI=10.1007/978-3-642-37500-2}}</ref>

In vielen Fällen wird die Struktur selbst mit demselben Buchstaben wie ihre Trägermenge bezeichnet, sofern keine Verwechslungsgefahr besteht.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematik|Tragermenge]]

Trägermenge - Versionsgeschichte

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