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Das '''totale Differential''' (auch '''vollständiges Differential''') ist im Gebiet der [[Differentialrechnung]] eine alternative Bezeichnung für das [[Differential (Mathematik)|Differential]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], insbesondere bei Funktionen mehrerer Variablen. Zu einer gegebenen [[Totale Differenzierbarkeit|total differenzierbaren]] Funktion <math>f\colon M\to \mathbb R </math> bezeichnet man mit <math>{\rm d}f</math> das totale Differential, zum Beispiel:

:<math>{\rm d}f=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\, {\rm d}x_i\,\,.</math>

Hierbei ist <math>M</math> eine offene [[Teilmenge]] des reellen [[Vektorraum|Vektorraums]] <math>\R^n</math> oder allgemeiner eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]. Zur Unterscheidung von totalen und partiellen Differentialen werden hier unterschiedliche Symbole benutzt: ein „nicht-kursives d“ beim totalen Differential und ein „kursives d“ (<math>\partial</math>) für die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]]. Zu beachten ist, dass im Folgenden immer die ''totale'' Differenzierbarkeit der Funktion vorausgesetzt wird, und nicht nur die Existenz der partiellen Ableitungen, durch die <math>{\rm d}f</math> in der obigen Formel dargestellt wird.

Traditionell, und noch heute oft in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften, versteht man unter einem Differential wie <math>\mathrm dx, \mathrm df, \dots</math> eine [[infinitesimal]]e Differenz.

Dagegen versteht man in der heutigen Mathematik unter einem totalen Differential eine [[Differentialform]] (genauer: eine [[1-Form]]).
Diese kann man entweder als rein formalen Ausdruck auffassen oder als lineare Abbildung. Das Differential <math>\mathrm df(x)</math> einer Funktion <math>f</math> im Punkt <math>x</math> ist dann die lineare Abbildung ([[Linearform]]), die jedem Vektor <math>v</math> die [[Richtungsableitung]] von <math>f</math> am Punkt <math>x</math> in Richtung von <math>v</math> zuordnet. Mit dieser Bedeutung wird das (totale) Differential auch '''totale Ableitung''' genannt. Mit dieser Bedeutung lässt sich der Begriff auch auf Abbildungen mit Werten im <math>\mathbb{R}^n</math>, in einem anderen Vektorraum oder in einer Mannigfaltigkeit verallgemeinern.

== Einfacher Fall ==
[[Datei:Totales Differential.png|hochkant=1.6|mini|Totales Differential im einfachen Fall]]

Für eine Funktion <math>(x,y) \mapsto f(x,y)</math> zweier [[Unabhängige Variable|unabhängiger Variablen]] <math>x,y</math> versteht man unter dem totalen Differential den Ausdruck<ref>[[Lothar Papula]]: ''Mathematik für Ingenieure.'' Band 2, 5. Auflage. 1990.</ref>

:<math>{\rm d} f = \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm{d} x + \frac{\partial f}{\partial y} \,\mathrm{d} y \,
.</math>

''Totales'' Differential heißt der Ausdruck, weil er die gesamte Information über die Ableitung enthält, während die ''partiellen'' Ableitungen nur Information über die Ableitung in Richtung der Koordinatenachsen enthalten.
Die Summanden <math>\tfrac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm{d} x</math> und <math>\tfrac{\partial f}{\partial y} \,\mathrm{d} y</math> werden gelegentlich auch ''partielle Differentiale'' genannt.<ref>Ilja N Bronstein, Konstantin A Semendjajew: ''Taschenbuch der Mathematik''. 7. überarb. und erg. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9</ref>

=== Anwendung (Verkettung) ===
Hängen <math>x</math> und <math>y</math> von einer Größe <math>t</math> ab (zum Beispiel wenn sie die Bahn eines Punktes in der Ebene in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math> beschreiben), sind also Funktionen <math>g\colon t \mapsto x</math> und <math>h\colon t \mapsto y</math> gegeben, so kann die Ableitung der zusammengesetzten Funktion
:<math>t \mapsto f(x,y) = f(g(t),h(t))</math>
wie folgt berechnet werden:

Die Ableitungen von <math>g</math> und <math>h</math> lassen sich schreiben als <math>\mathrm dx = g' \, \mathrm dt \Leftrightarrow g' = \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}</math> und <math>\mathrm dy = h' \, \mathrm dt \Leftrightarrow h' = \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}</math>.

Einsetzen in das totale Differential liefert:

:<math>\begin{align}
\mathrm df = \mathrm d f(g(t), h(t))
&= \frac{\partial f}{\partial x} \, g' \mathrm dt + \frac{\partial f}{\partial y} \, h' \mathrm dt\\
&= \left(\frac{\partial f}{\partial x} \, g' + \frac{\partial f}{\partial y} \, h' \right) \, \mathrm dt\\
&= \left(\frac{\partial f}{\partial x} \, \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \, \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} \right) \, \mathrm dt\\
&= \left(\frac{\partial f}{\partial x} \, \dot x + \frac{\partial f}{\partial y} \, \dot y \right) \, \mathrm dt.
\end{align}</math>

Die letzte Zeile ist die [[Differentialrechnung #Newton-Notation|in der Physik übliche Schreibweise]].

Division durch <math>\mathrm dt</math> liefert:

:<math>\begin{alignat}{2}
\frac{\mathrm df}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(g(t), h(t))
&= \frac{\partial f}{\partial x} \, g' &&+ \frac{\partial f}{\partial y} \, h'\\
&= \frac{\partial f}{\partial x} \, \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} &&+ \frac{\partial f}{\partial y} \, \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\\
&= \frac{\partial f}{\partial x} \, \dot x &&+ \frac{\partial f}{\partial y} \, \dot y.
\end{alignat}</math>

Mathematisch ist dies eine Anwendung der [[Mehrdimensionale Kettenregel|mehrdimensionalen Kettenregel]] (siehe unten).

=== Abweichender Gebrauch der Begriffe ''partielle'' und ''totale Ableitung'' in der Physik ===
In der Mechanik werden typischerweise Situationen behandelt, in denen die Funktion <math>f</math> nicht nur von den Ortskoordinaten <math>x</math> und <math>y</math> abhängt, sondern auch von der Zeit.
Wie oben wird der Fall betrachtet, dass <math>x = g(t)</math> und <math>y=h(t)</math> die Ortskoordinaten eines sich bewegenden Punktes sind.
In dieser Situation hängt die zusammengesetzte Funktion
:<math>t \mapsto f(t,g(t),h(t))</math>
in doppelter Weise von der Zeit <math>t</math> ab:
# Dadurch, dass <math>f</math> selbst in der ersten Variablen von <math>t</math> abhängt. Diese Zeitabhängigkeit nennt man ''explizit''.
# Dadurch, dass die Ortskoordinaten <math>x = g(t)</math> und <math>y=h(t)</math> von <math>t</math> abhängen. Diese Zeitabhängigkeit nennt man ''implizit''.
Man spricht nun von der ''partiellen Ableitung'' von <math>f</math> nach der Zeit, wenn man die partielle Ableitung der ersten Funktion meint, also

:<math>\frac{\partial f}{\partial t}(t,x,y)</math>

bei ''festen'' <math>x</math> und <math>y</math>.
Hier wird also nur die explizite Zeitabhängigkeit berücksichtigt.

Hingegen spricht man von der ''totalen Ableitung'' von <math>f</math> nach der Zeit, wenn man die Ableitung der zusammengesetzten Funktion meint, also

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(t, g(t), h(t)).</math>

Die beiden hängen wie folgt zusammen:

:<math>\begin{alignat}{2}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f({\color{Blue}t}, g(t), h(t))
&= {\color{Blue}\frac{\partial f}{\partial t}} + \frac{\partial f}{\partial x} \, g' &&+ \frac{\partial f}{\partial y} \, h'\\
&= {\color{Blue}\frac{\partial f}{\partial t}} + \frac{\partial f}{\partial x} \, \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} &&+ \frac{\partial f}{\partial y} \, \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\\
&= {\color{Blue}\frac{\partial f}{\partial t}} + \frac{\partial f}{\partial x} \, \dot x &&+ \frac{\partial f}{\partial y} \, \dot y
\end{alignat}</math>
Hier werden also die explizite und die implizite Zeitabhängigkeit berücksichtigt (Terme aus der expliziten Zeitabhängigkeit, die gegenüber dem allgemeinen Gebrauch der totalen [[Zeitableitung]] hinzugekommen sind, wurden hier blau markiert).

==== Beispiel aus der Fluidmechanik ====
Mit <math>T(t,x_1,x_2,x_3)</math> werde die Temperatur zur Zeit <math>t</math> am Ort <math>x = (x_1,x_2,x_3)</math> bezeichnet.

Die partielle Ableitung <math>\tfrac{\partial T}{\partial t}</math> beschreibt dann die zeitliche Temperaturänderung ''an einem festen Ort'' <math>(x_1,x_2,x_3)</math>.

Die Temperaturänderung, die ein ''sich mit der [[Strömungsmechanik|Strömung]] bewegendes Teilchen'' erfährt, hängt aber auch von der Ortsänderung ab. Die totale Ableitung der Temperatur lässt sich dann wie oben mit Hilfe des totalen Differentials beschreiben:

:<math>{\rm d} T = \frac{\partial T}{\partial t} \, \mathrm{d} t + \frac{\partial T}{\partial x_1} \,\mathrm{d} x_1 + \frac{\partial T}{\partial x_2} \,\mathrm{d} x_2 + \frac{\partial T}{\partial x_3} \,\mathrm{d} x_3</math>
bzw.

:<math>\frac{{\rm d} T}{\mathrm dt} = \frac{\partial T}{\partial t} + \frac{\partial T}{\partial x_1} \,\frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm dt} + \frac{\partial T}{\partial x_2} \,\frac{\mathrm{d} x_2}{\mathrm dt} + \frac{\partial T}{\partial x_3} \,\frac{\mathrm{d} x_3}{\mathrm dt}</math>

== Das totale Differential als lineare Abbildung ==
=== Reeller Vektorraum ===
Für den Fall, dass <math>M</math> eine offene Teilmenge des reellen [[Vektorraum]]s <math>\R^n</math> ist und <math>f</math> eine differenzierbare Funktion von <math>M</math> nach <math>\R</math>, ist zu jedem Punkt <math>p\in M</math> das totale Differential <math>{\rm d}f(p)\colon \R^n\to\R</math> eine [[lineare Abbildung]], die jedem Vektor <math>v = (v^1,\dots,v^n) \in\R^n</math> die [[Richtungsableitung]] in Richtung dieses Vektors zuordnet, also
:<math>
{\rm d}f({p})\colon \mathbb{R}^{n} \to\mathbb{R}\, , \ {v} \mapsto \partial_{v}f({p})=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f({p}+t{v})\right|_{t=0}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}({p})\, v^{i}</math>.

Da das totale Differential <math>{\rm d}f(p)</math> eine lineare Abbildung nach <math>\R</math> ist, also eine [[Linearform]], lässt es sich in folgender Form schreiben
:<math>{\rm d}f(p)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}(p)\,{\rm d}x^i</math>,
wobei <math>{\rm d}x^i\colon \R^n\to\R</math> die Linearform ist, die einem Vektor <math>v = (v^1,\dots,v^n)</math> seine <math>i</math>-te Komponente <math>v^i</math> zuordnet, das heißt <math>\mathrm{d}x^{i}(v)=\mathrm{d}x^{i}(v^1,\dots,v^n)=v^{i}</math> ([[duale Basis]]).

Unter Zuhilfenahme des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] lässt sich das totale Differential auch wie folgt schreiben:
:<math>[{\rm d}f(p)](v) = \nabla f(p) \cdot v = \operatorname{grad}(f) \cdot v</math>,
wobei auf der rechten Seite das [[Skalarprodukt]] steht.

=== Mannigfaltigkeit ===
{{Siehe auch|Tangentialraum#Die Totalableitung einer Abbildung|titel1=„Die Totalableitung einer Abbildung“ im Artikel Tangentialraum}}
Für den allgemeinen Fall ist zu jedem Punkt <math>p\in M</math> das totale Differential <math>{\rm d}f(p)\colon T_pM\to\R</math> eine lineare Abbildung, die jeder [[Tangentialraum|Tangentialrichtung]] <math>v\in T_pM</math> die [[Richtungsableitung]] in diese Richtung zuordnet. Ist <math>v = \dot\gamma(0)</math> der Tangentialvektor einer Kurve <math>\gamma</math> in <math>M</math> mit <math>\gamma(0) = p</math>, so ist
:<math>[{\rm d}f(p)](v) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(f\circ \gamma(t)\right)\Big|_{t=0}\ .</math>
Das totale Differential <math>{\rm d}f(p)</math> ist somit ein Element des [[Kotangentialraum]]s <math>T^*_pM</math> von <math>M</math> am Punkt <math>p</math>.

Für eine Darstellung von <math>{\rm d}f</math> in Koordinaten betrachte man eine Karte <math>y\colon U \to \R^n</math> einer Umgebung <math>U</math> des Punkts <math>p</math> mit <math>y(p)=0</math>. Mit <math>e_1, \dots, e_n</math> werde die [[Standardbasis]] des <math>\R^n</math> bezeichnet. Die <math>n</math> verschiedenen Kurven <math>\gamma_i(t):=y^{-1}(t\cdot e_i)</math> repräsentieren eine Basis <math>\dot\gamma_1(0),\dots,\dot\gamma_n(0)</math> des Tangentialraums <math>T_pM</math> und mittels
:<math>\frac{\partial f}{\partial y^i}(p)=
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(f\circ \gamma_i(t)\right)\Big|_{t=0} = \frac{\partial }{\partial x_i} (f \circ y^{-1})(0)</math>
erhält man die partiellen Ableitungen. Analog zum reellen Vektorraum gilt dann
:<math>{\rm d}f(p)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial y^i}(p)\,\mathrm{d}y^i</math>,
wobei <math>{\rm d}y^i\colon T_pM\to\R</math> das totale Differential der Funktion <math>y^i \colon U \to \R</math> ist, also das Element aus dem
Kotangentialraum <math>T_p^*M</math>, das dual zum Basisvektor <math>\dot\gamma_i(0)</math> ist.

Betrachtet man Tangentialvektoren <math>v \in T_p M</math> als [[Derivation (Mathematik)|Derivationen]], so gilt <math>[{\rm d}f(p)](v) = v(f)</math>.

=== Kettenregel ===
{{Hauptartikel|Mehrdimensionale Kettenregel}}
Ist <math>f \colon \R^n \to \R</math> eine differenzierbare Funktion und ist <math>g \colon \R \to \R^n</math>, <math>g(t) = (g_1(t), \dots, g_n(t))</math> ein differenzierbarer Weg (zum Beispiel die Beschreibung eines sich bewegenden Punktes), so gilt für die Ableitung der verketteten Funktion:
:<math>\begin{align}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(f \circ g)(t) &= [df(g(t))](g'(t)) = \nabla f(g(t)) \cdot g'(t) = \operatorname{grad}\,f(g(t)) \cdot g'(t) \\
&= \frac{\partial f}{\partial x_1}(g(t)) g_1'(t) + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(g(t)) g_n'(t)\end{align}</math>
Die analoge Aussage gilt für Mannigfaltigkeiten.

== Differential und lineare Approximation ==
Die Ableitung einer [[Totale Differenzierbarkeit|total differenzierbaren]] Funktion <math>f\colon \R^n \to \R</math> im Punkt <math>p \in \R^n</math> ist eine lineare Abbildung (Funktion), die die Funktion
:<math>h \mapsto f(p + h) - f(p)</math>
approximiert, also
:<math>f(p + h) - f(p) \approx \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)\, h_i\,,</math> mit  <math>h = (h_1, \dots, h_n),</math>
für kleine Änderungen <math>h_1, \dots, h_n</math>.

[[Datei:Dydx zh.svg|mini|hochkant=1.25|Differentiale als kleine Änderungen]]
In der modernen Mathematik bezeichnet man als (totales) Differential <math>\mathrm df(p)</math> von <math>f</math> im Punkt <math>p</math> gerade diese Funktion (siehe oben). Die Begriffe „totales Differential“ und „totale Ableitung“ sind somit gleichbedeutend.
Die Darstellung
:<math>\mathrm df(p) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)\, \mathrm dx_i</math>
ist also eine Gleichung zwischen Funktionen. Auch die Differentiale <math>\mathrm dx_i</math> sind Funktionen, nämlich die [[Koordinatenfunktion|Koordinatenfunktionen]], die dem Vektor <math>h = (h_1, \dots, h_n)</math> die <math>i</math>-te Komponente <math>h_i</math> zuordnen: <math>\mathrm dx_i (h) = h_i</math>. Die Approximierungseigenschaft schreibt sich somit als
:<math>f(p + h) - f(p) \approx [\mathrm df(p)](h).</math>

In der traditionellen, in vielen Naturwissenschaften verbreiteten Sichtweise stehen die Differentiale <math>\mathrm dx_i</math> für die kleinen Änderungen <math>h_i</math> selbst. Das totale Differential <math>\mathrm df</math> von <math>f</math> steht dann für den ''Wert'' der genannten linearen Abbildung, und die [[Approximationseigenschaft]] schreibt sich als
:<math>\Delta f = f(p + \mathrm dx) - f(p) \approx \mathrm df </math>
bzw:
:<math> f(p + \mathrm dx) \approx f(p) + \mathrm df </math>
Beispiele für diese Sichtweise zeigen das nebenstehende Bild und das Bild oben.

== Integrabilitätsbedingung ==
{{Siehe auch|Integrabilitätsbedingung}}
Jedes totale Differential <math>A = \mathrm{d}f</math> ist eine <math>1</math>-Form, das heißt <math>A</math> besitzt folgende Darstellung
:<math>A(p) = \sum_{i=1}^n a_i(p) \,\mathrm{d}x^i</math>,
man sagt, die <math>1</math>-Form ist [[Pfaffsche Form|exakt]].
Im Kalkül der [[Differentialform|Differentialformen]] wird die [[Cartan-Ableitung]] <math>\mathrm{d}A</math> als folgende <math>2</math>-Form beschrieben:
:<math>{\rm d}A(p) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n \left[\frac{\partial a_j}{\partial x_i}(p)-\frac{\partial a_i}{\partial x_j}(p)\right] \mathrm{d}x^i\wedge \mathrm{d}x^j</math>
Handelt es sich bei <math>A</math> tatsächlich um ein totales Differential <math>\mathrm{d}f</math> einer <math>C^2</math>-Funktion <math>f</math>, d. h. gilt
<math>a_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}</math>, so ist
:<math>{\rm d}A(p) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(p)-\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}(p)\right] \mathrm{d}x^i\wedge \mathrm{d}x^j = 0</math>
nach dem [[Satz von Schwarz]].

Lokal gilt auch immer die Umkehrung:
Erfüllt die 1-Form <math>A</math> die Bedingung <math>\mathrm{d}A = 0</math>, man sagt, <math>A</math> ist [[Pfaffsche Form|geschlossen]], so existiert zumindest in einer Umgebung jedes gegebenen Punktes eine [[Stammfunktion]] von <math>A</math>, d. h. eine differenzierbare Funktion <math>f</math>, so dass <math>A = \mathrm{d}f</math> ist. Aus dem [[Satz von Schwarz]] folgt, dass jede exakte Form geschlossen ist.

Man nennt die Bedingung <math>{\rm d}A = 0</math> deshalb auch ''Integrabilitätsbedingung''. Ausführlich formuliert lautet sie:
: Für alle Indizes <math>i, j</math> gilt   <math>\frac{\partial a_j}{\partial x_i}=\frac{\partial a_i}{\partial x_j}</math>,
bzw:
: Für alle Indizes <math>i, j</math> gilt   <math>\frac{\partial a_j}{\partial x_i}-\frac{\partial a_i}{\partial x_j}\equiv 0</math>,
was im Hinblick auf physikalische Anwendungen auch als ''verallgemeinerte Rotationsbedingung'' bezeichnet wird.

In vielen Fällen existiert dann sogar eine globale Stammfunktion und <math>A</math> ist tatsächlich ein totales Differential. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn der Definitionsbereich der Differentialform <math>A</math> der euklidische Raum <math>\R^n</math> ist, oder allgemeiner wenn er [[sternförmig]] oder [[einfach zusammenhängend]] ist.

Die Aussage, dass auf einer Mannigfaltigkeit <math>M</math> jede 1-Form, die die Integrabilitätsbedingung erfüllt, eine Stammfunktion besitzt (also ein totales Differential ist), ist äquivalent dazu, dass die erste [[De-Rham-Kohomologie]]-Gruppe <math>H_{\mathrm{dR}}^1(M)</math> trivial ist.

=== Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ===
Betrachtet man <math>M=\R</math> und eine beliebige <math>1</math>-Form <math>A=f {\rm d}x</math>. Dann gilt aus Dimensionsgründen immer <math>{\rm d}A=0</math> und die für <math>\R</math> gültige Integrabilitätsbedingung ist erfüllt. Somit gibt es eine Funktion <math>F,</math> die die Gleichung <math>{\rm d}F = f \,{\rm d}x</math> bzw. <math>F'=f</math> erfüllt. Dies ist gerade der [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]] für Funktionen einer Variablen.

== Verallgemeinerungen ==
Ganz analog (im Prinzip komponentenweise) lässt sich die totale Ableitung für vektorwertige Funktionen definieren. Als Verallgemeinerung für Abbildungen in eine differenzierbare Mannigfaltigkeit erhält man [[Pushforward]]s.

In der [[Funktionalanalysis]] kann man den Begriff der ''totalen Ableitung'' in naheliegender Weise für ''[[Fréchet-Ableitung]]en'' verallgemeinern, in der [[Variationsrechnung]] für die sog. ''[[Variationsableitung]]en''.

Neben dem exakten Differential gibt es ebenfalls [[inexaktes Differential|inexakte Differentiale]].

== Literatur ==
* Robert Denk, Reinhard Racke: ''Kompendium der Analysis, Band 1''. 1. Auflage, 2011.
* Otto Forster: ''Analysis 2''. 11. Auflage, 2017.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Differentialoperator]]

Totales Differential - Versionsgeschichte

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