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2025-09-01T17:27:55Z

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'''Total normale Räume''' sind im mathematischen Teilgebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] [[Normaler Raum|normale Räume]], in denen jede offene Menge eine Zusatzeigenschaft hat. Diese Räume wurden 1953 von [[Clifford Hugh Dowker]] eingeführt.<ref name="Dowker_Orig" />

== Definition ==
Ein normaler Raum heißt total normal, wenn jede offene Menge eine [[lokal endliche Überdeckung]] aus offenen [[Gδ-_und_Fσ-Mengen|Fσ-Mengen]] besitzt.<ref name="Dowker_Def" />

Diese recht technischen Bedingungen bedeuten im Einzelnen:
Jede offene Menge <math>U</math> des Raumes <math>X</math> ist eine Vereinigung <math>\textstyle U=\bigcup_{i\in I}U_i</math>, wobei Folgendes gilt:
* <math>I</math> ist eine [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]] und jedes <math>U_i\subset X</math> ist offen. (Übereckung durch offene Mengen)
* Jeder Punkt <math>x\in U</math> besitzt eine [[offene Umgebung]] <math>V</math>, so dass <math>V\cap U_i\not=\emptyset</math> nur für endlich viele Indizes gilt. (Lokale Endlichkeit der Überdeckung)
* Jede Menge <math>U_i</math> ist [[Abzählbare Menge|abzählbare]] Vereinigung abgeschlossener Mengen. (Fσ-Eigenschaft)

In normalen Räumen <math>X</math> ist die Fσ-Eigenschaft einer offenen Menge <math>U</math> äquivalent zur Existenz einer [[Stetige Funktion|stetigen Funktion]] <math>f\colon X\rightarrow [0,1]</math>, so dass <math>U=\{x\in X\mid f(x)\not=0\}</math>.
Ersetzt man die Fσ-Eigenschaft obiger Definition durch diese Äquivalenz, so erhält man eine alternative Definition.<ref name="Nagami_Def" />

== Beispiele ==
* [[Perfekt normal]]e Räume sind total normal, denn in solchen Räumen ist jede offene Menge schon eine Fσ-Menge.<ref name="Dowker_PerfektNormal" /><ref name="Nagami_PerfektNormal" /> Insbesondere sind also alle [[Metrischer Raum|metrischen Räume]] total normal.
* Erblich parakompakte Räume, das sind [[Parakompakter Raum|parakompakte]] [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räume]], deren sämtliche [[Teilraumtopologie|Teilräume]] ebenfalls parakompakt sind, sind total normal.<ref name="Dowker_Parakompakt" /><ref name="Nagami_Parakompakt" />
* Sei <math>X</math> eine [[überabzählbare Menge]], <math>Y=\mathcal{P}(X)</math> die Potenzmenge von <math>X</math> und <math>F=2^Y</math> die Menge aller Funktionen <math>Y\rightarrow \{0,1\}</math>.
: Auf <math>F</math> erklären wir nun eine Topologie. Für jedes <math>x\in X</math> sei <math>f_x\in F</math> die [[Indikatorfunktion]] der Menge <math>\{y\in Y\mid x\in y\}</math>, das heißt <math>f_x(y)=1</math> genau dann, wenn <math>x\in y</math>, und <math>F_0</math> sei die Menge aller Funktionen <math>f_x</math>, <math>x\in X</math>. Weiter sei <math>Y_0</math> die Menge der endlichen Teilmengen von <math>Y</math> und für jedes <math>f_x\in F_0</math> und <math>r\in Y_0</math> sei <math>(f_x:r):=\{f\in F\mid f(y)=f_x(y)\text{ für alle }y\in r\}</math>. Die Topologie auf <math>F</math> wird nun dadurch erklärt, dass zu jedem Element <math>f\in F</math> eine [[Umgebungsbasis]] angegeben wird. Für Elemente <math>f\in F\setminus F_0</math> sei <math>\{f\}</math> offen, insbesondere also eine Umgebungsbasis, und für alle <math>f=f_x\in F_0</math> nehme man <math>\{(f_x:r)\mid r\in Y_0\}</math> als Umgebungsbasis. Dieser auf [[R. H. Bing]] zurückgehende topologische Raum ist total normal, aber nicht perfekt normal.<ref name="Nagami_Bing" />

== Eigenschaften ==
* Total normale Räume sind [[vollständig normal]].<ref name="Dowker_VollständigNormal" /><ref name="Nagami_VollständigNormal" />
* Teilräume total normaler Räume sind wieder total normal.<ref name="Dowker_Subspace" /><ref name="Nagami_Subspace" />
Total normale Räume zeigen bezüglich der [[Induktive Dimension|großen induktiven Dimension]] <math>\operatorname{Ind}</math> das erwartete Verhalten, sie erfüllen den Teilmengensatz und den Summensatz.<ref name="Dowker_Dimension" /><ref name="Nagami_Dimension" />, das heißt
* Ist <math>X</math> total normal und <math>Y\subset X</math>, so gilt <math>\operatorname{Ind}(Y)\le \operatorname{Ind}(X)</math>.
* Ist <math>X</math> total normal und <math>(Y_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Überdeckung aus abgeschlossenen Mengen, so gilt <math>\mathrm{Ind}(X)\le \sup_{n\in \N}\mathrm{Ind}(Y_n)</math>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=C. H. Dowker
|Herausgeber=M. Katĕtov, P. Simon
|Titel=Inductive Dimension of Completely Normal Spaces (in The Mathematical Legacy of Eduard Čech)
|Verlag=Birkhäuser
|Ort=Basel, Boston, Berlin
|ISBN=978-3-0348-7526-4
|DOI=10.1007/978-3-0348-7524-0
|Datum=1993
|Seiten=165-177
|Sprache=en}}
* {{Literatur
|Autor=K. Nagami
|Titel=Dimension Theory
|Verlag=Academic Press Inc
|Ort=New York, London
|ISBN=0-1251-3650-1
|Datum=1970
|Fundstelle=Kap 1.7 Totally Normal Spaces
|Sprache=en}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Dowker_Orig">
{{Literatur
|Autor=C. H. Dowker
|Titel=Inductive Dimension of Completely Normal Spaces
|Sammelwerk=The Quarterly Journal of Mathematics
|Band=4
|Nummer=1
|Datum=1953
|DOI=10.1093/qmath/4.1.267
|Seiten=267–281
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Dowker_Def">
Dowker, Definition auf Seite 170
</ref>
<ref name="Nagami_Def">
Nagami, Definition 7.1 auf Seite 42
</ref>
<ref name="Dowker_PerfektNormal">
Dowker, 4.1 auf Seite 170
</ref>
<ref name="Nagami_PerfektNormal">
Nagami, Satz 7.2 auf Seite 42
</ref>
<ref name="Dowker_Parakompakt">
Dowker, 4.2 auf Seite 170
</ref>
<ref name="Nagami_Parakompakt">
Nagami, Satz 7.3 auf Seite 42
</ref>
<ref name="Dowker_VollständigNormal">
Dowker, 4.6 auf Seite 173
</ref>
<ref name="Nagami_VollständigNormal">
Nagami, Satz 7.4 auf Seite 42
</ref>
<ref name="Dowker_Subspace">
Dowker, 4.7 auf Seite 173
</ref>
<ref name="Nagami_Subspace">
Nagami, Satz 7.5 auf Seite 43
</ref>
<ref name="Nagami_Bing">
Nagami, Beispiel 2.3 auf Seite 7 und Bemerkung 7.6 auf Seite 43
</ref>
<ref name="Dowker_Dimension">
Nagami, Abschnitt 5, Seite 173
</ref>
<ref name="Nagami_Dimension">
Nagami, Satz 11.5 auf Seite 61
</ref>
</references>

{{Navigationsleiste Topologie}}

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]

Total normaler Raum - Versionsgeschichte

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