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[[Datei:TorusKnot3D.png|mini|Ein Torusknoten]]
Ein '''Torusknoten''' ist in der [[Knotentheorie]] ein Knoten, welcher auf einem (unverknoteten) [[Torus]] im dreidimensionalen Raum gezeichnet werden kann.

== Parametrisierung ==
Ein Torusknoten wird durch zwei ganzzahlige, teilerfremde Parameter bestimmt (''p'' und ''q''), die angeben, wie oft der Knoten den Torus ''außenrum'' und ''durch das Loch'' umrundet. Eine [[Parameterdarstellung]] eines Torusknotens mit Parametern ''p'' und ''q'' ist:
:<math>x(t) = (2+\cos pt)\cos qt, \qquad y(t)=(2+\cos pt )\sin qt, \qquad z(t)=\sin pt.</math>
Die Kurve liegt überschneidungsfrei auf dem Torus, der in [[Zylinderkoordinaten]] durch <math>(r-2)^2 + z^2 = 1</math> definiert werden kann.<ref>[https://mathworld.wolfram.com/TorusKnot.html ''Torus Knot'' (en)] auf [[MathWorld]]. Aufgerufen am 22. Mai 2012.</ref>
Damit man hier wirklich einen Torusknoten erhält, müssen <math>p</math> und <math>q</math> teilerfremd sein, anderenfalls erhält man eine [[Verschlingung]] mit <math>\operatorname{ggT}(p,q)</math> Komponenten.

== Eigenschaften ==
Der einfachste nicht-triviale Torusknoten ist die [[Kleeblattschlinge]]. Ein Torusknoten ist genau dann trivial, wenn ''p'' = ±1 oder ''q'' = ±1. Jeder (nicht-triviale) Torusknoten ist chiral, das heißt, er ist nicht in sein Spiegelbild deformierbar.

Das [[Knotenkomplement|Komplement]] eines Torusknotens ist eine [[Seifert-Faserung]]. Insbesondere sind Torusknoten keine [[Hyperbolischer Knoten|hyperbolischen Knoten]].

Torusknoten entstehen in der [[Singularitätentheorie]] als Schnitt der komplexen [[Hyperfläche]]
:<math>z^p+w^q=0</math>
mit der Einheitssphäre <math>S^3\subset \Complex^2</math>.<ref>[https://scienceblogs.de/mathlog/2010/06/25/post-3/ Torusknoten und Singularitäten komplexer Hyperflächen]</ref>

Das Komplement des Torusknotens ist ein Faserbündel über dem Kreis mit Monodromie endlicher Ordnung. Wenn der Knoten als Schnitt der Einheitssphäre mit der Hyperfläche <math>z^p+w^q=0</math> gegeben ist, kann man die Faserung <math>p:S^3-K\rightarrow S^1</math> durch <math>p(z,w)=\frac{z^p+w^q}{\parallel z^p+w^q\parallel}</math> definieren.

== Invarianten ==

Die [[Kreuzungszahl (Knotentheorie)|Kreuzungszahl]] eines <math>(p,q)</math>-Torusknotens mit <math>p,q>0</math> ist
:<math>c = \min((p-1)q, (q-1)p).</math>
Das minimale [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] einer [[Seifertfläche]] eines Torusknotens mit <math>p,q>0</math> ist
:<math>g = \frac{1}{2}(p-1)(q-1).</math>
Das [[Alexander-Polynom]] eines Torusknotens ist
:<math>\frac{(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^p-1)(t^q-1)}.</math>
Das [[Jones-Polynom]] eines (rechtshändigen) Torusknotens ist
:<math>t^{(p-1)(q-1)/2}\frac{1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^2}.</math>

== Weblinks ==
{{commonscat|Torus knots and links}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Knoten und Verschlingungen]]

Torusknoten - Versionsgeschichte

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