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2026-04-28T14:49:31Z

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{{Begriffsklärungshinweis}}
[[Datei:Torus.svg|mini|Torus]]
[[Datei:Torus cycles001.svg|mini|Die Menge der Punkte mit dem Abstand <math>r</math> von der [[Kreis]]linie mit Radius <math>R</math> bilden einen Rotationstorus.]]
Ein '''Torus''' ([[Plural]] ''Tori'', von {{laS|torus}})<ref>{{Georges-1913-Latein |Lemma=torus |BK-Nummer=1 |Band=2 |Spalte=3158 |SpalteBis=3159 |zenoID=20002697009}}</ref><ref>Es gibt einige andere heute nicht mehr gebräuchliche historische Verwendungen des Begriffs ''Torus:'' {{Herder-1854 |Lemma=Torus |Band=5 |Seite=500 |zenoID=2000354558X}} {{Pierer-1857 |Lemma=Torus |Band=17 |Seite=707 |zenoID=20011122501}} {{Meyers-1905 |Lemma=Torus |Band=19 |Seite=631 |zenoID=20007594860}} {{Brockhaus-1911 |Lemma=Torus |Band=2 |Seite=851 |zenoID=20001626183}} {{Britannica 1911 |Lemma=Torus |Band=27 |Seite=79}}</ref> ist ein [[mathematisches Objekt]] aus der [[Geometrie]] und der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]. Er ist eine wulstartig geformte [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] mit einem Loch, ähnlich der Gestalt eines [[Rettungsring]]s, [[Fahrradschlauch]]s oder [[Donut]]s. Auch ein [[O-Ring]] ({{frS|Joint torique}}, wörtlich: torische Dichtung) hat die Form eines Torus.

Beispiele für im [[dreidimensional]]en [[Raum (Mathematik)|Raum]] eingebettete Tori sind die Rotationstori. Rotationstori sind [[Rotationsfläche]]n, die man erhält, indem man einen [[Kreis]] um eine Achse rotieren lässt, die in der Kreisebene liegt und den Kreis nicht schneidet. Falls man nicht nur die Kreislinie, sondern die gesamte [[Kreisfläche]] rotieren lässt, erhält man einen [[Volltorus]].

Anders ausgedrückt wird ein Rotationstorus aus derjenigen [[Menge (Mathematik)|Menge]] an [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] gebildet, die von einer [[Kreis]]linie mit Radius <math>R</math> den festen Abstand <math>r</math> mit <math>r<R</math> haben.

[[Datei:Torus from rectangle.gif|mini|Man erhält den Torus durch Verkleben gegenüberliegender Seiten eines Zylinders.]]
Ein Torus kann auch durch Identifizieren der Seiten eines Parallelogramms konstruiert werden. Dabei wird die rechte Kante des [[Parallelogramm]]s mit seiner linken Kante und die obere mit der unteren Kante verheftet. Diese [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] benutzen auch viele Computerspiele: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

Beide Konstruktionen sind Spezialfälle der allgemeinen mathematischen Definition, die einen Torus als das [[Topologisches Produkt|topologische Produkt]] zweier Kreise definiert. Dieser Begriff spielt in zahlreichen Gebieten der [[Mathematik]] eine Rolle, neben [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und [[Differentialgeometrie]] ist er unter anderem in der [[Fourier-Analysis]], der Theorie [[Dynamisches System|dynamischer Systeme]] ([[Invariante (Mathematik)|invariante]] Tori in der [[Himmelsmechanik]]), der [[Funktionentheorie]] und der Theorie [[Elliptische Kurve|elliptischer Kurven]] von Bedeutung.

Rotationstori liefern eine konkrete [[rotationssymmetrisch]]e Realisierung dieser Fläche im [[dreidimensional]]en [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]. Von besonderer Wichtigkeit für viele Anwendungen in theoretischer [[Mathematik]] und [[Physik]] sind sogenannte flache Tori und ihre Einbettung in den [[vierdimensional]]en [[Raum (Mathematik)|Raum]]. Diese haben die [[Krümmung]] null und die maximal mögliche [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]].

Der Torus ist eine [[zweidimensional]]e [[Fläche (Mathematik)|Fläche]]. Allgemeiner betrachtet man in der [[Mathematik]] auch den <math>n</math>-Torus, eine den zweidimensionalen Torus verallgemeinernde <math>n</math>-dimensionale [[Mannigfaltigkeit]]. Davon abweichend finden sich in der deutschsprachigen Literatur gelegentlich auch die Bezeichnungen Doppeltorus, Tripeltorus etc. für Flächen mit zwei, drei und mehr Löchern.

== Volumen ==
Das [[Volumen]] des Volltorus, der vom Torus ummantelt wird, lässt sich als [[Volumenintegral]] über die [[Funktionaldeterminante|Jacobi-Determinante]] (die [[Jacobi-Matrix|Determinante der Funktionalmatrix]]) berechnen. Die [[Jacobi-Matrix]] zur Parametrisierung des Torus lässt sich wie folgt angeben:

: <math>J_f = \frac{\partial \left(x,y,z \right)}{\partial \left(r, t, p \right)} =
\begin{pmatrix}
\partial_r x & \partial_t x & \partial_p x \\
\partial_r y & \partial_t y & \partial_p y \\
\partial_r z & \partial_t z & \partial_p z \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\cos(t) \cos(p) & - R \sin(t) - r \sin(t) \cos(p) & - r \cos(t) \sin(p) \\
\sin(t) \cos(p) & R \cos(t) + r \cos(t) \cos(p) & - r \sin(t) \sin(p) \\
\sin(p) & 0 & r \cos(p)
\end{pmatrix}
</math>

Daraus folgt:

: <math>\det (J_f) = r \cdot \left(r \cos(p) + R\right)</math>

Die [[Funktionaldeterminante]] ist hier also gleich der [[Norm (Mathematik)|Norm]] des Flächennormalenvektors.

: <math>V = \int_{V} \mathrm dV = \int_{\Gamma} \det (J_f) \ \mathrm d\Gamma = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} \left(Rr+r^2\cos(p)\right) \ \mathrm dr \ \mathrm dp \ \mathrm dt = 2\pi^2 r^2 R</math>

Man erhält also für das Volumen des Volltorus <math>V = 2\pi^2 r^2 R</math>.

Die [[Formel]] für das [[Volumen]] lässt sich so interpretieren, dass die [[Kreisfläche]] <math>A_r = \pi r^2</math> mit dem [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] <math>U_R = 2\pi R</math> [[Multiplizieren|multipliziert]] wird (siehe [[Rotationskörper#Zweite Regel|Zweite Guldinsche Regel]]). Dies kann man zum Verständnis in Analogie zum [[Zylinder (Geometrie)|Zylindervolumen]] <math>V_\text{zyl} = \pi r^2 l</math> setzen. Mit dem [[Flächeninhalt]] der Oberfläche verhält es sich genauso, hier werden die Umfänge <math>U_r = 2\pi r</math> und <math>U_R = 2\pi R</math> miteinander multipliziert (siehe [[Rotationskörper#Erste Regel|Erste Guldinsche Regel]]). Dies steht ebenfalls in Analogie zur [[Zylinder (Geometrie)|Zylinderoberfläche]] <math>O_\text{zyl} = 2\pi r l</math>.

Betrachtet man nur den inneren Teil des Torus, der von der <math>z</math>-Achse einen [[Abstand]] kleiner gleich <math>R</math> hat, ergibt sich das [[Volumen]]

: <math>\int_{0}^{2\pi}\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{3\pi}{2}}\int_{0}^{r} \left(Rr + r^2\cos(p)\right) \ \mathrm dr \ \mathrm dp \ \mathrm dt = \pi r^2 \left(\pi R - \tfrac{4r}{3}\right)</math>

Der äußere Teil des Torus, der von der <math>z</math>-Achse einen [[Abstand]] größer gleich <math>R</math> hat, hat das [[Volumen]]

: <math>\int_{0}^{2\pi}\int_{\tfrac{3\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{r} \left(Rr + r^2\cos(p)\right) \ \mathrm dr \ \mathrm dp \ \mathrm dt = \pi r^2 \left(\pi R + \tfrac{4r}{3}\right)</math>

== Oberfläche ==
Die Oberfläche des Torus mit der obigen [[Parameterdarstellung]] ist
: <math>A_O = 4\pi^2 r R</math>
Diese [[Formel]] lässt sich entweder mit der [[Rotationskörper#Erste Regel|Ersten Guldinschen Regel]] herleiten aus
: <math>A_O = 2\pi r \cdot 2\pi R</math>
oder mit Hilfe des [[Oberflächenintegral]]s
: <math>A_O = \iint \mathrm dA = \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} r(R + r \cos(p)) \ \mathrm dp \ \mathrm dt</math>
berechnen. Dabei ist <math>\mathrm dA = r(R + r \cos(p)) \ \mathrm dp \ \mathrm dt</math> das [[Funktionaldeterminante|Oberflächenelement]] des Torus in der obigen [[Parameterdarstellung]].

Der Torus [[Mannigfaltigkeit mit Rand|berandet]] einen 3-dimensionalen [[Volltorus]]. Das [[Volltorus#Volumen des Volltorus|Volumen des Volltorus]] beträgt <math>V = 2\pi^2 r^2 R</math> (siehe [[Rotationskörper#Zweite Regel|Zweiten Guldinschen Regel]]).

Betrachtet man nur den inneren Teil des Torus, der von der <math>z</math>-Achse einen [[Abstand]] kleiner gleich <math>R</math> hat, ergibt sich die Oberfläche

: <math>\int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{3\pi}{2}} r(R + r \cos(p)) \ \mathrm dp \ \mathrm dt = 2\pi r \left(\pi R - 2r\right)</math>

Der äußere Teil des Torus, der von der <math>z</math>-Achse einen [[Abstand]] größer gleich <math>R</math> hat, hat die Oberfläche

: <math>\int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=\tfrac{3\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} r(R + r \cos(p)) \ \mathrm dp \ \mathrm dt = 2\pi r \left(\pi R + 2r\right)</math>

== Torus als Rotationsfläche ==
[[Datei:Torus 3d.png|rechts|rahmenlos|400px]]
[[Datei:Half Torus, Radial Cut.stl|mini|200px|Ein radial …]]
[[Datei:Half Torus, Diagonal Cut.stl|mini|200px|… und ein entlang der Kreislinie mit Radius <math>R</math> aufgeschnittener Torus in 3D]]
Ein Rotationstorus ist eine [[Rotationsfläche]], die durch [[Drehung|Rotation]] eines [[Kreis]]es um eine in der Kreisebene liegende und den Kreis nicht schneidende [[Rotationsachse]] erzeugt wird.<ref>Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew: ''Taschenbuch der Mathematik.'' Harri Deutsch Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 253.</ref><ref>[[Ulrich Graf (Mathematiker)|Ulrich Graf]], [[Martin Barner]]: ''Darstellende Geometrie.'' Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 202, 209.</ref><ref>C. Leopold: ''Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung.'' Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 123, 129.</ref> Ein Rotationstorus kann als [[Menge (Mathematik)|Menge]] der [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] beschrieben werden, die von einer Kreislinie mit Radius <math>R</math> den festen [[Abstand]] <math>r</math> haben, wobei <math>r<R</math> ist. In kartesischen [[Koordinatensystem|Koordinaten]] <math>x,y,z</math> mit der {{nowrap|<math>z</math>-Achse}} als Rotationsachse und den [[Mittelpunkt]]en des rotierenden Kreises in der {{nowrap|<math>xy</math>-Ebene}} wird er durch die Gleichung: <math>\left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right)^2+z^2 = r^2</math>

beschrieben. Durch Beseitigen der Wurzel ergibt sich die Gleichung 4. Grades
: <math>\left(x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2\right)^2 = 4R^2\left(x^2+y^2\right).</math>

Man kann in der Torusoberfläche eine toroidale [[Koordinatensystem|Koordinate]] <math>t</math> und eine dazu senkrechte poloidale Koordinate <math>p</math> einführen. Man denkt sich den Torus als durch einen [[Kreis]] entstanden, der um eine in der Kreisebene liegende Achse rotiert wird. Den Radius des ursprünglichen Kreises nennen wir <math>r</math>, dieser Kreis bildet auch gleichzeitig eine [[Koordinatenlinie]] von <math>p</math>. Den Abstand des [[Kreismittelpunkt]]s von der Achse nennen wir <math>R,</math> die Koordinatenlinien von <math>t</math> sind Kreise um die [[Drehachse]]. Beide Koordinaten sind Winkel und laufen von <math>0</math> bis <math>2\pi</math>.

=== Parametrisierung ===
Die Umrechnung von Toruskoordinaten in [[kartesische Koordinaten]] erfolgt so:

: <math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = R \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (R + r \cdot \cos(p)) \cos(t) \\ (R + r \cdot \cos(p)) \sin(t) \\ r \cdot \sin(p) \end{pmatrix}</math>

Toruskoordinaten sind in der Kernfusionstechnologie von Bedeutung, siehe [[Kernfusionsreaktor#Magnetfeld|Kernfusionsreaktor]].

=== Ebene Schnitte ===
# Schnitte mit [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]], die ''die [[Rotationsachse]] enthalten'', sind Kreispaare.
# Schnitte mit Ebenen, die ''zur Rotationsachse senkrecht sind'', sind Kreispaare oder ein [[Kreis]] oder leer.
# Eine ''zur Rotationsachse parallele Ebene'' schneidet aus einem Torus eine [[spirische Kurve]] aus. In Sonderfällen kann dies eine [[Cassinische Kurve]] sein.
# Eine ''geneigte Ebene, die zwei Erzeugerkreise berührt'', schneidet [[Villarceau-Kreise]] aus.

=== Tori in der Darstellenden Geometrie ===
In der [[Darstellende Geometrie|Darstellenden Geometrie]] verwendet man Teile eines Torus zur Konstruktion von Übergangsflächen zwischen [[Zylinder (Geometrie)|Zylindern]]. Die Darstellung eines Torus durch seinen Umriss findet man in [[Umrisskonstruktion]]en.

== Allgemeine Definition ==
[[Datei:torus cycles.svg|mini|Der 2-dimensionale Torus als Produkt zweier Kreise]]
Mit <math>\mathbb{S}^1</math> werde der [[Kreis]] (die [[Topologische Sphäre|1-Sphäre]]) bezeichnet. Der <math>n</math>-Torus ist dann definiert durch
: <math>\mathbb{T}^n := \underbrace{\mathbb{S}^1 \times \cdots \times \mathbb{S}^1}_{n\ \text{mal}}</math>,

wobei <math>\times</math> das [[Produkttopologie|Produkt topologischer Räume]] ist. Die im vorhergehenden Abschnitt beschriebene [[Rotationsfläche]] ist ein 2-Torus. Der 2-Torus wird meist einfach Torus genannt.<ref>John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics 218.'') Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 8.</ref>

== Topologische Eigenschaften ==
=== Struktur einer Mannigfaltigkeit ===
Der <math>n</math>-Torus ist eine [[topologische Mannigfaltigkeit]]. Dies folgt aus der Tatsache, dass der <math>n</math>-Torus das [[Topologisches Produkt|topologische Produkt]] aus <math>n</math> 1-[[Sphäre (Mathematik)|Sphären]] ist und die 1-Sphäre selbst eine topologische Mannigfaltigkeit ist. Die 1-Sphäre ist zusätzlich auch eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] und, da das [[Kartesisches Produkt|Produkt]] differenzierbarer Mannigfaltigkeiten wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ergibt, ist der <math>n</math>-Torus ebenfalls eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.<ref>John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics 218.'') Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 21.</ref> Die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] von <math>\mathbb{T}^n</math> ist gleich <math>n</math>.

=== Topologische Eigenschaften ===
Ebenfalls direkt aus der Definition folgt, dass der <math>n</math>-Torus [[Kompakter Raum|kompakt]] ist. Außerdem ist er [[Wegzusammenhängender Raum|wegzusammenhängend]]. Im Gegensatz zur <math>n</math>-Sphäre ist der <math>n</math>-Torus für <math>n > 1</math> nicht [[Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]].

Die [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]] <math>q \colon \R^n \to \mathbb{T}^n</math>, definiert durch <math>(x_j)_j \mapsto (\exp(2 \pi \mathrm{i} x_j))_j</math>, ist die [[universelle Überlagerung]] des <math>n</math>-Torus.<ref>Tammo tom Dieck: ''Topologie.'' de Gruyter, Berlin 2000, ISBN 3-11-016236-9, S. 52.</ref>

=== Lie-Gruppe ===
Die 1-[[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]], aufgefasst als [[Kreisgruppe]], ist außerdem eine [[Lie-Gruppe]]. Da das [[Direktes Produkt|Produkt]] mehrerer Lie-Gruppen mit der komponentenweisen [[Multiplikation]] wieder eine Lie-Gruppe ist, ist auch der <math>n</math>-Torus eine Lie-Gruppe.<ref>John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics 218.'') Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 39.</ref>

== Eingebettete Tori ==
=== Flache Tori ===
[[Datei:FLSCFLZ3 Flach Schlauch Flach Zylinder.jpg|mini|Modell eines flachen Torus: Das Papier muss nur gebogen, nicht gestreckt werden.]]

Da die Kreislinie <math>\mathbb{S}^1</math> offensichtlich in den <math>\R^2</math> [[Einbettung (Mathematik)|eingebettet]] werden kann, kann der {{nowrap|<math>n</math>-Torus}} <math>\mathbb{T}^n := \mathbb{S}^1 \times \cdots \times \mathbb{S}^1 \subset \R^{2n}</math> als [[Teilmenge]] des [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] <math>\R^{2n}</math> aufgefasst werden. Man betrachtet auf <math>\mathbb{T}^n</math> die [[riemannsche Metrik]] <math>g</math>, die durch die [[euklidische Metrik]] des Raums <math>\R^{2n}</math> auf dem {{nowrap|<math>n</math>-Torus}} induziert wird. Diese [[Metrik (Mathematik)|Metrik]] <math>g</math> ist [[Flache Metrik|flach]], das heißt, der {{nowrap|<math>n</math>-Torus}} ist lokal [[Isometrie (Riemannsche Geometrie)|isometrisch]] zu einer [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] des <math>\R^n</math>.<ref>John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics 218.'') Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 289.</ref> Insbesondere ist daher seine [[Schnittkrümmung]] überall konstant null. Da der {{nowrap|<math>n</math>-Torus}} kompakt und somit auch [[Geodätisch vollständige Mannigfaltigkeit|vollständig]] ist, ist er eine [[flache Mannigfaltigkeit]]. Man spricht daher auch von einem flachen {{nowrap|<math>n</math>-Torus.}} Ein flacher {{nowrap|2-Torus}} <math>\mathbb{T}^2 = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1</math> kann nicht längentreu auf einen Rotationstorus im <math>\R^{3}</math> abgebildet werden, denn die Schnittkrümmung des Rotationstorus ist nicht überall null wie beim flachen {{nowrap|2-Torus.}}

Es gibt neben der oben beschriebenen noch weitere flache [[Metrik (Mathematik)|Metriken]] auf dem Torus. Flache {{nowrap|2-Tori}} können beschrieben werden durch ein [[Parallelogramm]], dessen gegenüberliegende Seiten zusammengeklebt werden. Äquivalent dazu können flache Tori als topologische [[Faktorgruppe]]n <math>\mathbb R^2/(\mathbb Z\cdot v+\mathbb Z\cdot w)</math> für zwei [[Linear unabhängig|linear unabhängige]] [[Vektor]]en <math>v, w\in\mathbb R^2</math> beschrieben werden. Im Spezialfall <math>v=(1,0)</math> und <math>w=(0,1)</math> erhält man den [[Quotient]]en <math>\mathbb R^2/\mathbb Z^2\cong(\mathbb R/\mathbb Z)^2</math>.

[[Elliptische Kurve]]n über den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] lassen sich mittels der Weierstraßschen Parametrisierung als <math>\Complex/L</math> für ein [[Gitter (Mathematik)|Gitter]] <math>L\subset \Complex</math> darstellen und sind dadurch (mit einer [[Translationsinvarianz|translationsinvarianten]] [[Metrik (Mathematik)|Metrik]]) Beispiele für flache Tori. Der [[Modulraum]] der [[Elliptische Kurve|elliptischen Kurven]] oder äquivalent der flachen {{nowrap|2-Tori}} ist die sogenannte [[Modulkurve]].

=== Tori im dreidimensionalen Raum ===
Eine 2-mal differenzierbare Einbettung des Torus in den [[dreidimensional]]en [[Raum (Mathematik)|Raum]] kann nicht flach sein, weil die lokalen [[Extremwert|Extrema]] Punkte positiver [[Krümmung]] sein müssen. Nach dem [[Einbettungssatz von Nash]] gibt es jedoch [[fraktal]]e (nur 1-mal [[Differenzierbarkeit|differenzierbare]]) Einbettungen des flachen Torus in den dreidimensionalen [[Raum (Mathematik)|Raum]]. Diese können auch numerisch konstruiert werden.<ref>V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, B. Thibert: {{Webarchiv |url=http://math.univ-lyon1.fr/~borrelli/Hevea/PNAS_version_soumise.pdf |text=''Flat tori in three-dimensional space and convex integration.'' |format=PDF |wayback=20120701000000}} In: ''Proc. Natl. Acad. Sci. USA'', 2012, 109, no. 19, S. 7218–7223; abgerufen am 7. Juli 2022.</ref><ref>[http://www2.cnrs.fr/presse/communique/2583.htm ''Mathématiques: première image d’un tore plat en 3D''.] [[Centre national de la recherche scientifique|CNRS]], Pressemitteilung, 20. April 2012, abgerufen am 7. Juli 2022.</ref>

Ein Rotationstorus ist ein im <math>\R^3</math> eingebetteter 2-Torus, der als [[Menge (Mathematik)|Menge]] der [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] beschrieben werden kann, die von einer Kreislinie mit [[Radius]] <math>R</math> den festen [[Abstand]] <math>r</math> haben, wobei <math>r<R</math> ist.

=== Clifford-Tori ===
Ein Clifford-Torus ist ein spezieller in <math>S^3\subset \R^4</math> eingebetteter Torus. Nach der Identifizierung <math>\R^4 = \Complex^2</math> und <math>S^3 = \left\{(z,w)\in\Complex^2\colon |z|^2+|w|^2=1\right\}</math> lässt sich der Standard-Cliffordtorus beschreiben als
: <math>T := \left\{(z,w)\in\Complex^2\colon |z| = |w| =\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\subset S^3</math>.
Weiters werden die Bilder von <math>T</math> unter Isometrien der Standard-Metrik <math>A\in O(3) = \operatorname{Isom}(S^3)</math> als Clifford-Tori bezeichnet.

Mittels [[Stereographische Projektion|stereographischer Projektion]] kann man Clifford-Tori auch als in den <math>\R^3</math> eingebettete Tori auffassen.

Ein Clifford-Torus ist eine [[Minimalfläche]] bzgl. der [[Standardmetrik]] auf der <math>S^3</math>. Die von [[Simon Brendle|Brendle]] bewiesene [[H. Blaine Lawson|Lawson]]-Vermutung besagt, dass jeder als Minimalfläche in die <math>S^3</math> eingebettete Torus ein Clifford-Torus ist.

== Konstruktion aus einem Quadrat oder Würfel ==
=== Konstruktion zweidimensionaler Tori aus einem Quadrat oder Parallelogramm ===
[[Datei:TorusAsSquare.svg|mini|Den Torus erhält man aus einem Quadrat durch Verkleben gegenüberliegender Seiten.]]
[[Datei:VIDITO-2 vierdimensionaler Torus.gif|mini|189px|Eigenschaften des 3-Torus]]
Im Gegensatz zur Oberfläche einer [[Kugel]] kann der Torus ohne [[Isolierte Singularität|Singularitäten]] auf einer ebenen, [[rechteck]]igen [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] abgebildet werden.

Dabei wird die rechte Kante des [[Rechteck]]s oder [[Quadrat (Geometrie)|Quadrats]] mit seiner linken Kante verheftet und seine untere Kante wird mit seiner oberen Kante verheftet. Diese Konstruktion funktioniert auch mit einem beliebigen [[Parallelogramm]]. Diese [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] besitzen auch viele Computerspiele, zum Beispiel [[Asteroids]] oder [[Pac-Man]]: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

=== Konstruktion höherdimensionaler Tori aus einem Würfel oder Parallelepiped ===
Beim [[dreidimensional]]en Torus oder 3-Torus handelt es sich um einen [[Quader]] oder [[Würfel (Geometrie)|Würfel]], dessen sechs gegenüberliegende Flächen paarweise miteinander verheftet sind.

Beim [[vierdimensional]]en Torus oder 4-Torus handelt es sich um einen [[Tesserakt]], dessen acht gegenüberliegende [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] paarweise miteinander verheftet sind.

Allgemein ist der <math>n</math>-dimensionale Torus ein <math>n</math>-dimensionaler Würfel <math>[0,1]^n</math>, dessen gegenüberliegende <math>(n-1)</math>-[[Hyperwürfel]] paarweise miteinander identifiziert sind. Man kann ihn auch als <math>\mathbb R^n/\mathbb Z^n</math> darstellen.

Auch hier kann man statt eines <math>n</math>-dimensionalen [[Würfel (Geometrie)|Würfels]] ein beliebiges <math>n</math>-dimensionales [[Parallelepiped]] verwenden, um durch Identifizieren der Seiten einen <math>n</math>-dimensionalen Torus zu konstruieren.

[[Datei:WUERFEL6 Verheftungen des Tesseraktes zum 4-Torus.png]]

== Sieben-Farben-Satz ==
{{Mehrere Bilder
| align = right

| Bild1 = Projection color torus.png
| Untertitel1 = Die Oberfläche eines Torus kann so in 7 Gebiete aufgeteilt werden, dass sich jeweils zwei Gebiete berühren. Um diese Landkarte so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Gebiete dieselbe Farbe bekommen, sind daher 7 Farben nötig.
| Breite1 = 480

| Bild2 = Torus 7color animated.gif
| Untertitel2 = Animation eines Torus. Die Oberfläche ist in 7 Gebiete mit verschiedenen Farben aufgeteilt.
| Breite2 =

}}

Der Sieben-Farben-Satz für den Torus besagt, dass 7 Farben immer ausreichen, eine beliebige Landkarte auf der Oberfläche eines Torus so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Länder die gleiche Farbe bekommen.

Das bedeutet, dass jeder [[Graph (Graphentheorie)|Graph]], der in den Torus eingebettet werden kann, eine [[chromatische Zahl]] von höchstens 7 hat (siehe [[Knotenfärbung]]). Weil der [[Vollständiger Graph|vollständige Graph]] <math>K_7</math> in den Torus eingebettet werden kann, ist die chromatische Zahl gleich 7.<ref>{{MathWorld|id=TorusColoring|title=Torus Coloring}}</ref><ref>Chelsey Poettker: [https://www.siue.edu/~aweyhau/teaching/seniorprojects/poettker_final.pdf ''Topology and the Four Color Theorem''.] (PDF; 400 kB) Southern Illinois University Edwardsville, 4. Mai 2010; abgerufen am 7. Juli 2022.</ref>

In der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] oder auf einer [[Kugeloberfläche]] reichen weniger Farben. Der [[Vier-Farben-Satz]] besagt, dass vier Farben immer ausreichen, eine beliebige Landkarte in der [[Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Länder die gleiche Farbe bekommen.<ref>{{MathWorld|id=Four-ColorTheorem|title=Four-Color Theorem}}</ref><ref>Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour, Robin Thomas: [https://people.math.gatech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html ''The Four Color Theorem.''] Georgia Institute of Technology, 13. November 1995; abgerufen am 7. Juli 2022.</ref>

== Algebraischer Torus ==
In der Theorie [[Algebraische Gruppe|algebraischer Gruppen]] wird ''Torus'' in einem anderen Sinn verwendet. Dort ist damit eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] gemeint, die [[Isomorphismus|isomorph]] zu einem endlichen [[Direktes Produkt|Produkt]] von Kopien der [[Multiplikative Gruppe|multiplikativen Gruppe]] eines [[Körper (Algebra)|Körpers]] ist. Zur Abgrenzung spricht man dann von einem ''algebraischen Torus'' im Gegensatz zu einem ''topologischen Torus.''

So ist zum Beispiel in der torischen [[Geometrie]], dem Studium [[Torische Varietät|torischer Varietäten]], ein ''Torus'' üblicherweise ein ''algebraischer Torus.''<ref>Oda: ''Lectures on Torus Embeddings and Applications.'' 1978, ''1.1 Algebraic tori.''</ref>

== Anwendungsbeispiele ==
[[Datei:01 Rotationstorus-grün.gif|mini|hochkant=1.1|Horntorus, z. B. eine Figur der Würfelverdoppelung, zur Verdeutlichung ist der Horntorus dargestellt als eine Aneinanderreihung gleicher Kreise, Animation mit 15 s Pause.]]

* Ein [[Rettungsring]] mit dem [[Außendurchmesser]] 76 [[Zentimeter]] und dem [[Innendurchmesser]] 44 Zentimeter hat die Form eines Torus. Er hat also den festen [[Abstand]] <math>r = (76 \ \mathrm{cm} - 44 \ \mathrm{cm}) / 4 = 8 \ \mathrm{cm}</math> von einer Kreislinie mit dem [[Radius]] <math>R = (76 \ \mathrm{cm} + 44 \ \mathrm{cm}) / 4 = 30 \ \mathrm{cm}</math>.

: Daraus ergeben sich das [[Volumen]] und die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]]:

: '''Volumen:''' <math>V = 2 \cdot \pi^2 \cdot r^2 \cdot R = 2 \cdot \pi^2 \cdot (8 \ \mathrm{cm})^2 \cdot 30 \ \mathrm{cm} \approx 37899 \ \mathrm{cm^3} = 37{,}899 \ \mathrm{dm^3} = 0{,}037899 \ \mathrm{m^3}</math>

: '''Oberfläche:''' <math>A_O = 4 \cdot \pi^2 \cdot r \cdot R = 4 \cdot \pi^2 \cdot 8 \ \mathrm{cm} \cdot 30 \ \mathrm{cm} \approx 9475 \ \mathrm{cm^2} = 94{,}75 \ \mathrm{dm^2} = 0{,}9475 \ \mathrm{m^2} </math>

* Horntorus:<ref>{{MathWorld|id=HornTorus|title=Horn Torus}}</ref> Für die [[Würfelverdoppelung]] fand [[Archytas von Tarent]] eine nach ihm benannte Kurve. Dazu verwendete er neben einem halben Zylinder und einem Kegelausschnitt auch einen Horntorus. Darin ist der Abstand <math>R</math> des Kreismittelpunkts von der Achse (siehe Abschnitt [[#Torus als Rotationsfläche|Torus als Rotationsfläche]]) gleich dem Radius <math>r</math> des ursprünglichen Kreises.

== Siehe auch ==
* [[Punktierter Torus]]
* [[Torusknoten]]
* [[Stanford-Torus]]
* [[Torus-Antenne]]
* [[Spindeltorus]]
* [[Dupinsche Zyklide]]
* [[Spirische Kurve]]

== Literatur ==
* [[Marcel Berger]]: ''Geometry I.'' Translated from the 1977 French original by M. Cole and S. Levy. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-11658-5.
* [[Anatole Katok]], Vaughn Climenhaga: ''Lectures on surfaces. (Almost) everything you wanted to know about them.'' Student Mathematical Library, 46. American Mathematical Society, Providence RI / Mathematics Advanced Study Semesters, University Park PA 2008, ISBN 978-0-8218-4679-7.

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Torus}}
{{Commons|Torus}}
* {{MathWorld|id=Torus|title=Torus}}
* [https://mathcurve.com/surfaces/tore/tore.shtml Torus.] Mathcurve.
* [http://www.mathematische-basteleien.de/torus.htm Torus.] Mathematische Basteleien.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]
[[Kategorie:Lie-Gruppe]]
[[Kategorie:Kähler-Mannigfaltigkeit]]

Torus - Versionsgeschichte

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