imported>Ra-raisch: "to mean" ist ein Anglizismus.

2021-07-11T11:13:34Z

"to mean" ist ein Anglizismus.

Neue Seite

Der '''Torsionstensor''' ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der [[Differentialgeometrie]]. Eingeführt wurde dieses Tensorfeld von [[Élie Cartan]] in seinen Studien zur Geometrie und [[Gravitation]].<ref>Elie Cartan: ''On manifolds with an Affine Connection and the Theory of General Relativity'' (= ''Monographs and Textbooks in Physical Science'' 1). Bibliopolis, Neapol 1986, ISBN 88-7088-086-9 (Engl. transl. of French original 1922/23: ''Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée'').
</ref>

== Definition ==
Sei <math>(M,\nabla)</math> eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] zusammen mit einem [[Affiner Zusammenhang|affinen Zusammenhang]] <math>\nabla</math>. Der Torsionstensor <math>T</math> ist ein [[Tensorfeld]], das durch
:<math>T(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]</math>
definiert ist. Dabei sind <math>X,Y \in \Gamma(TM)</math> zwei [[Vektorfeld|Vektorfelder]] und <math>[\cdot,\cdot]</math> stellt die [[Lie-Ableitung|Lie-Klammer]] dar.<ref>John M. Lee: ''Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 68.</ref>

== Lokale Darstellung ==
Sei <math>e_1, \ldots , e_n</math> ein lokaler [[Vektorbündel#Rahmen|Rahmen]] des [[Tangentialbündel|Tangentialbündels]] <math>TM</math>. Das sind [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitte]] im Tangentialbündel, die in jedem [[Tangentialraum]] eine [[Vektorraumbasis]] bilden. Setzt man <math>X := e_i</math>, <math>Y := e_j</math> und <math>\gamma^k_{ij} e_k := [e_i,e_j]</math>, dann gilt für die Komponenten <math>T^k_{ij}</math> des Torsionstensors in lokalen Koordinaten
:<math> T^k{}_{ij} = \Gamma^k{}_{ij} - \Gamma^k{}_{ji}-\gamma^k{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots,n.</math>

Dabei bezeichnen die Symbole <math>\Gamma^k_{ij}</math> die [[Christoffel-Symbol|Christoffel-Symbole]]. Da es immer möglich ist, den lokalen Rahmen so zu wählen, dass die Lie-Klammer überall verschwindet, gilt in diesen Koordinaten für die Komponenten des Tensorfelds
:<math> T^k{}_{ij} = \Gamma^k{}_{ij} - \Gamma^k{}_{ji},\quad i,j,k=1,2,\ldots,n.</math>

== Eigenschaften ==
* Der Torsionstensor ist ein (2,1)-Tensorfeld, ist also insbesondere <math>C^\infty</math>-[[Lineare Abbildung|linear]] in seinen drei Argumenten.
* Der Torsionstensor ist schiefsymmetrisch, das heißt, es gilt <math>T(X,Y) = - T(Y,X)</math>.

== Symmetrischer Zusammenhang ==
Ein affiner Zusammenhang <math>\nabla</math> heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, wenn also
:<math>T(X,Y) = 0</math>
oder äquivalent
:<math>\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]</math>
gilt. Der wichtigste symmetrische Zusammenhang ist der [[Levi-Civita-Zusammenhang]], der zusätzlich noch [[Metrischer Zusammenhang|metrisch]] ist.

Für symmetrische Zusammenhänge kann eine Art Verallgemeinerung des [[Satz von Schwarz|Satzes von Schwarz]] für differenzierbare Kurven bewiesen werden. Sei <math>M</math> eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit symmetrischem Zusammenhang <math>\nabla</math> und <math>c \colon \left]- \epsilon , \epsilon \right[ \times \left]a,b\right[ \to M</math> eine glatte [[Homotopie]] von [[Glatte Kurve|glatten Kurven]], dann gilt
:<math> \nabla_\frac{\partial}{\partial s} \frac{\partial}{\partial t} c(s,t) = \nabla_\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial}{\partial s} c(s,t)\,.</math>
Einfach ausgedrückt kann im Fall eines symmetrischen Zusammenhangs also die Ableitung nach <math>s</math> mit der nach <math>t</math> vertauscht werden.<ref>John M. Lee: ''Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 97–98.</ref>

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Torsion tensor
| Autor =
| Url = http://eom.springer.de/T/t093340.htm
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Torsionstensor - Versionsgeschichte

imported>Ra-raisch: "to mean" ist ein Anglizismus.