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2025-05-19T08:22:29Z

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In der [[Mathematik]] ist ein '''topologischer Ring''' ein [[Ring (Algebra)|Ring]], welcher bezüglich der Addition eine [[topologische Gruppe]] ist und dessen Multiplikation in der gegebenen Topologie ebenfalls stetig ist. Ist ''R'' sogar ein [[Körper (Algebra)|Körper]] und ist auch die multiplikative Inversenbildung stetig, dann spricht man von einem '''topologischen Körper'''. Entsprechend kann man einen '''topologischen [[Schiefkörper]]''' definieren. Im Gegensatz zu den nichtkommutativen topologischen Ringen (wie den Endomorphismenringen s. u.) sind „echte“ topologische Schiefkörper von geringem Interesse. Wo in diesem Artikel nicht ausdrücklich darauf hingewiesen wird, gelten die über Körper gemachten Aussagen auch für Schiefkörper.

== Lokale Charakterisierung der Stetigkeit ==
Die Stetigkeit der Multiplikation bzw. der Inversenbildung kann man in einem Ring <math>R</math>, der bezüglich seiner Addition eine topologische Gruppe ist, allein mit [[Umgebung (Mathematik)|Nullumgebungen]] charakterisieren. Sei dazu <math>B(0)</math> eine [[Umgebungsbasis]] von 0: <br>
Die Linksmultiplikation mit einem festen Element <math>c</math> ist auf <math>R</math> genau dann stetig, wenn
:für jede Umgebung <math>U</math> in <math>B(0)</math> eine Umgebung <math>V</math> in <math>B(0)</math> existiert, so dass <math> c\cdot V\subseteq U</math> gilt.
Entsprechend lässt sich die Stetigkeit der Rechtsmultiplikation mit <math>c</math> charakterisieren. Im Fall eines kommutativen Ringes sind die beiden Bedingungen gleichwertig.
Ist die Links- und Rechtsmultiplikation mit jedem Element <math>c</math> stetig und gilt dann noch
:für alle <math>U</math> in <math>B(0)</math> existiert <math>V</math> in <math>B(0)</math>, so dass <math> V\cdot V\subseteq U</math> gilt,
dann ist die Multiplikation stetig und <math>R</math> ein topologischer Ring. <br>
Die Inversenbildung ist genau dann stetig im invertierbaren Element <math>x\in R^\times</math>, wenn zu jedem <math>U</math> in <math>B(0)</math> ein <math>V</math> in <math>B(0)</math> existiert, so dass die Inversen von <math>x+V</math> alle in <math>x^{-1}+U</math> liegen. Ist <math>R</math> also ein Körper und trifft dies für alle seine Elemente <math>x\neq 0</math> zu, dann ist <math>R</math> ein topologischer Körper.

== Eigenschaften. Vervollständigung ==

* Der [[Abschluss (Topologie)|Abschluss]] eines Unterringes (bzw. [[Ideal (Ringtheorie)|Linksideals]], Rechtsideals, zweiseitigen Ideals) ist wieder ein Unterring (Linksideal, Rechtsideal, zweiseitiges Ideal).
* Insbesondere ist der Abschluss <math>N</math> des Nullideals ein zweiseitiges Ideal. Der [[Faktorring]] <math>R/N</math> mit der [[Quotiententopologie]] ist [[Hausdorff-Raum|hausdorffsch]].
* Zu jedem topologischen Ring <math>R</math> gibt es einen im Wesentlichen eindeutig bestimmten [[Vollständiger Raum|vollständigen]] hausdorffschen topologischen Ring <math>\hat R</math> zusammen mit einem stetigen Ringhomomorphismus <math>R\to\hat R</math> mit [[Kern (Algebra)|Kern]] <math>N</math> und dichtem Bild. <math>\hat R</math> wird als ''Vervollständigung'' von <math>R</math> bezeichnet. Im Allgemeinen muss die Vervollständigung eines topologischen Körpers aber kein topologischer Körper mehr sein, sondern kann sogar [[Nullteiler]] besitzen.

== Beispiele ==
=== Topologische Körper ===
*Die Körper der rationalen, reellen und [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] sind topologische Körper bezüglich der üblichen Topologie (des durch die [[Betragsfunktion]] definierten [[metrischer Raum|metrischen Raumes]]).
*Etwas allgemeiner sind alle [[Bewertungstheorie|bewerteten Körper]] topologische Körper. Hierzu gehören wieder die rationalen Zahlen mit einer <math>p</math>-adischen Bewertung (<math>p</math> [[Primzahl]]). Bezüglich jeder <math>p</math>-adischen Bewertung kann <math>\mathbb Q</math> zu einem vollständigen metrischen Raum, wieder einem topologischen Körper, dem Körper der [[P-adische Zahl|<math>p</math>-adischen Zahlen]] komplettiert werden.
*Ein Beispiel für einen „echten“ topologischen ''Schief''körper ist der [[Quaternion]]enschiefkörper <math>\mathbb H</math>.

=== Endomorphismenringe ===
*Wichtige Beispiele für topologische Ringe liefern die Algebren <math>A</math> von stetigen linearen Selbstabbildungen <math>F</math> eines [[normierter Raum|normierten Vektorraumes]] <math>V</math> über einem Körper <math>K</math> mit <math>\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq\mathbb{C}</math>. Als Norm legt man hier die Abbildungsnorm zugrunde:
::<math> ||F||_A:=\sup_{x \in V,\, ||x||_V=1}\; ||Fx||_V </math>
* Hierzu gehören als einfachste Beispiele die vollen [[Matrizenring]]e <math>R=\mathcal{M}_{n\times n}(K)</math> der quadratischen Matrizen mit Einträgen aus <math>K</math>. Die Norm kann hier anstelle der Abbildungsnorm jede beliebige Norm auf <math>R</math> sein, da alle dieselbe Topologie induzieren.
Beachte: Die vollen Endomorphismenringe sind, von Trivialfällen abgesehen, nicht kommutativ und auch keine Schiefkörper. Häufig sind Unterringe von Interesse, die gelegentlich eine dieser Eigenschaften haben:
* Der Ring <math>D</math> der [[Diagonalmatrix|Diagonalmatrizen]] ist ein (für <math>n>1</math> echter) kommutativer Unterring von <math>\mathcal{M}_{n\times n}(K)</math> und damit ein topologischer Ring.
* Allgemein lassen sich alle endlichdimensionalen Algebren über einem bewerteten Körper als Matrixringe darstellen und so mit einer Topologie versehen, die mit ihren Verknüpfungen verträglich ist.

=== Funktionenräume ===
{{Siehe auch|Funktionenraum}}
;vollständige topologische Ringe in der [[Funktionalanalysis|Funktionalanalysis:]]
* Jede [[Banachalgebra]]. Ein besonders wichtiges Beispiel ist <math>C(T)</math>, die Menge der stetigen Funktionen auf einem [[kompakter Raum|kompakten]] topologischen Raum <math>T</math>.
;topologische Ringe in der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie:]]
*Die Menge der [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> ist ein topologischer Ring (sogar ein [[Integritätsring]]), die Topologie ist die Topologie der [[kompakte Konvergenz|kompakten Konvergenz]]. <br>Auf speziellen Gebieten in der komplexen Zahlenebene sind eindeutige Darstellungen der dort holomorphen Funktionen möglich:
* Ist <math>G</math> das Innere einer Kreisscheibe, dann besitzt jede auf <math>G</math> holomorphe Funktion eine eindeutige Darstellung als kompakt konvergente [[Potenzreihe]]. Umgekehrt sind die auf <math>G</math> kompakt konvergenten Potenzreihen holomorph auf <math>G</math>.
* Ist <math>G</math> eine (rechte) Halbebene der komplexen Zahlenebene (d. h. <math>G</math> besteht aus allen Zahlen <math>z</math> mit <math>Re(z)>\sigma</math> für eine feste reelle Zahl <math>\sigma</math>), dann existiert eine eindeutige Darstellung durch eine auf <math>G</math> kompakt konvergente [[Dirichletreihe]]. Auch hier trifft analog zu den Potenzreihen die Umkehrung zu.

== Weblinks ==

* [[nlab:topological+ring|topological ring]] and [[nlab:topological+field|topological field]] auf [[𝑛Lab|nLab]] ([[Englische Sprache|englisch]])

== Literatur ==
* Vladimir I. Arnautov, S. T. Glavatsky, Aleksandr V. Michalev: ''Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules'' (= ''Pure and Applied Mathematics.'' Bd. 197) Marcel Dekker Inc, New York NY u. a. 1996, ISBN 0-8247-9323-4.
* [[Nicolas Bourbaki]]: ''Éléments de mathématique. Topologie générale.'' Hermann, Paris 1971, Abschnitt III § 6.
* [[Seth Warner]]: ''Topological Rings'' (= ''North-Holland Mathematics Studies.'' Bd. 178). North-Holland, Amsterdam u. a. 1993, ISBN 0-444-89446-2.

Zu den Anwendungen in der Funktionalanalysis und Funktionentheorie kann jedes einführende Lehrbuch zu diesen Gebieten herangezogen werden. Siehe etwa [[Funktionalanalysis#Literatur|diese Literaturangaben]] zur Funktionalanalysis und [[Funktionentheorie#Literatur|diese]] zur Funktionentheorie.

[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Topologische Struktur]]
[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Topologischer Ring - Versionsgeschichte

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