imported>Christian1985: HC: Entferne Kategorie:Mathematischer Grundbegriff

2025-12-23T15:40:50Z

HC: Entferne Kategorie:Mathematischer Grundbegriff

Neue Seite

[[Datei:Topological space examples.svg|mini|Beispiele und Gegenbeispiele zu Topologien – die sechs Abbildungen stellen Teilmengen der [[Potenzmenge]] von {1,2,3} dar (der kleine Kreis links oben ist jeweils die leere Menge). Die ersten vier sind Topologien; im Beispiel unten links fehlt {2,3}, unten rechts {2} zur Topologie-Eigenschaft.]]

Die Untersuchung der '''topologischen Räume''' ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] der [[Mathematik]]. Durch die Einführung einer topologischen Struktur auf einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] lassen sich intuitive Konzepte wie „Nähe“ und „Streben gegen“ aus dem [[Anschauungsraum]] auf sehr viele und sehr allgemeine Strukturen übertragen und mit präziser Bedeutung versehen.

== Definition ==
Eine '''Topologie''' auf einer [[Grundmenge]] <math>X</math> ist ein [[Mengensystem]] <math>T</math>, bestehend aus Teilmengen von <math>X</math>, die ''[[offene Menge]]n'' genannt werden und die folgenden [[Axiom]]e erfüllen:<ref>{{Literatur|Autor=Horst Schubert|Titel=Topologie|Verlag=B. G. Teubner |Ort=Stuttgart|Datum=1975|Seiten=12}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=[[Stephen Willard]]|Titel=General Topology|Verlag=[[Addison-Wesley]]|Ort=Reading, Massachusetts u. a.|Datum=1970|Seiten=23}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Vladimir V. Fedorchuk |Datum=2012 |Titel=General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory |Ort=Deutschland |Hrsg=Springer Berlin Heidelberg |Seiten=5}}</ref>

* Die [[leere Menge]] <math>\emptyset</math> und <math>X</math> sind Elemente von <math>T</math>.
* Die [[Schnittmenge]] endlich vieler offener Mengen ist ein Element von <math>T</math>, das heißt für <math>U_1,\dots,U_n\in T</math> gilt
*:<math>U_{1}\cap \cdots \cap U_n\in T</math>.
* Die [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] beliebig vieler offener Mengen ist ein Element von <math>T</math>, das heißt für jede Familie <math>(U_{i})_{i\in J}\subseteq T</math> gilt
*:<math>\bigcup\limits_{i\in J} U_i\in T</math>.

Man nennt das Paar <math>(X,T)</math> einen '''topologischen Raum'''.

Es gibt mehrere unterschiedliche [[Axiomensysteme der Allgemeinen Topologie]], die alle zueinander äquivalent sind.<ref group="A">Angesichts der Tatsache, dass beliebige Vereinigungen offener Mengen wieder offen sind, kann man die Frage stellen, weshalb nicht auch beliebige Schnittmengen offener Mengen wieder offen sein sollen. Würde man das zweite Axiom derart fassen, so hätte das aber unerwünschte Konsequenzen. Unter anderem wäre dann (etwa ) <math>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\left(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}\right)=\{x\}</math>
eine offene Menge in <math>\mathbb{R}</math>, ausgestattet mit dieser Topologie. Da nun für jede Menge <math>A=\bigcup\limits_{x\in A}\{x\}</math> ist, wäre jede beliebige reelle Teilmenge als Vereinigung von offenen Mengen offen. Wenn indes jede Menge offen ist, so erweist sich nach Komplementbildung auch jede Menge als abgeschlossen. Es wären dann also alle reellen Teilmengen [[abgeschlossene offene Menge]]n und man hätte auf <math>\mathbb{R}</math> die [[diskrete Topologie]].</ref>

== Grundbegriffe ==
=== Sprechweise: Elemente sind Punkte, die Menge ist ein Raum ===
Aus dem [[Anschauungsraum]] hat sich die Bezeichnung „Punkt“<ref group="A">Damit verwandt ist das geometrische Konzept des [[Raumpunkt]]s.</ref> für ein Element der Grundmenge <math>X</math> und die Bezeichnung „(topologischer) Raum“ für die Grundmenge, die die „topologische Struktur“ trägt, durchgesetzt. Formal korrekt ist ein topologischer Raum aber das Paar <math>(X,T)</math>, welches aus der strukturtragenden Menge <math>X</math> und dem strukturdefinierenden Teilmengensystem <math>T</math> (der „Topologie“) besteht. Ist indes der Kontext klar, so spricht man lediglich von dem topologischer Raum <math>X</math>, ohne die Topologie <math>T</math> zu erwähnen.

=== Dual: abgeschlossen ===
Eine Teilmenge des topologischen Raums <math>X</math>, deren [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] eine offene Menge ist, heißt ''abgeschlossen''. Wenn man die oben formulierte Definition [[Dualität (Mathematik)|dualisiert]] und das Wort „offen“ durch „abgeschlossen“ ersetzt (sowie Schnitt und Vereinigung vertauscht), ergibt sich eine gleichwertige Definition des Begriffs „topologischer Raum“ über dessen System abgeschlossener Mengen.

=== Umgebungen ===
In einem topologischen Raum hat jeder Punkt <math>x</math> einen [[Filter (Mathematik)|Filter]] <math>U(x)</math> von [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]]. Damit lässt sich der intuitive Begriff von „Nähe“ mathematisch fassen. Auch dieser Begriff kann einer Definition des Topologischen Raums zugrunde gelegt werden.

=== Vergleich von Topologien: gröber und feiner ===
{{Hauptartikel|Gröbere und feinere Topologien}}
Auf einer festen Menge <math>X</math> kann man gewisse Topologien <math>T</math> und <math>S</math> miteinander vergleichen:
Man nennt eine Topologie <math>T</math> ''feiner'' als eine Topologie <math>S</math>, wenn <math>S\subseteq T</math> ist, wenn also jede in <math>S</math> offene Menge auch in <math>T</math> offen ist. <math>S</math> heißt dann ''gröber'' als <math>T</math>. Sind die beiden Topologien verschieden, sagt man auch, <math>T</math> sei ''echt feiner'' als <math>S</math>, und <math>S</math> sei ''echt gröber'' als <math>T</math>.

Es gibt im Allgemeinen auf <math>X</math> auch Topologien <math>T</math> und <math>S</math>, die sich nicht in diesem Sinn vergleichen lassen. Für sie existiert eine eindeutige ''gemeinsame Verfeinerung'', das ist die gröbste Topologie auf <math>X</math>, die beide Topologien umfasst. Dual zu dieser gemeinsamen Verfeinerung ist die durch die Schnittmenge <math>S\cap T</math> gegebene Topologie. Sie ist die feinste Topologie, die in beiden Topologien enthalten ist. Durch die Relation „ist feiner als“ werden die Topologien auf einer Menge zu einem [[Verband (Mathematik)|Verband]].

Diese Sprechweise ist kompatibel mit der „feiner“-Ordnung der Umgebungssysteme als Filter: Ist <math>x</math> ein fester Punkt des Raums, dann ist der von der feineren Topologie <math>T</math> erzeugte Umgebungsfilter <math>V(x)</math> feiner als der von der gröberen Topologie <math>S</math> erzeugte <math>U(x)</math>.

=== Morphismen: Stetige Abbildungen ===
Wie bei jeder mathematischen Struktur gibt es auch bei den topologischen Räumen [[Verträglichkeit (Mathematik)|strukturerhaltende Abbildungen]] ([[Morphismus|Morphismen]]). Hier sind es die [[Stetige Abbildung|stetigen Abbildungen]]: Eine Abbildung
<math> f\colon (X,S)\to (Y,T) </math> ist ''(global) stetig'', wenn das Urbild jeder offenen Teilmenge <math>O</math> von <math>Y</math> eine offene Menge in <math>X</math> ist, formal: <math>O\in T \implies f^{-1}(O)\in S</math>.

Die [[Isomorphismus|Isomorphismen]] heißen hier [[Homöomorphismus|Homöomorphismen]], dies sind [[Bijektion|bijektive]] stetige Abbildungen, deren [[Umkehrfunktion|Umkehrung]] ebenfalls stetig ist.
Strukturell gleichartige (isomorphe) topologische Räume nennt man homöomorph.

== Beispiele ==
[[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|mini|Topologische Räume in Bezug zu anderen ''Nähe'' definierenden Strukturen]]
* Auf jeder Grundmenge <math>X</math> existieren als triviale Beispiele von Topologien:
*# Die [[Triviale Topologie|triviale oder indiskrete Topologie]], die nur die leere Menge und die Grundmenge enthält. Sie ist die gröbste Topologie auf <math>X</math>.
*# Die [[diskrete Topologie]], die alle Teilmengen enthält. Sie ist die feinste Topologie auf <math>X</math>.
* Auf einer unendlichen Menge <math>M</math> (z. B. der Menge <math>\mathbb{N}</math> der natürlichen Zahlen) kann man die [[kofinite Topologie]] einführen: Offen ist die leere Menge sowie jede Teilmenge von <math>M</math>, deren [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] nur endlich viele Elemente enthält.
* Jede [[Ordnungsrelation|streng totalgeordnete Menge]] kann man in natürlicher Weise mit ihrer [[Ordnungstopologie]] versehen.
* Die offenen Kugeln in einem [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] erzeugen (als [[Basis (Topologie)|Basis]]) eine Topologie, die von der Metrik induzierte Topologie.
** Spezielle metrische Räume sind die [[Normierter Raum|normierten Räume]], hier wird die Metrik und damit die natürliche Topologie ([[Normtopologie]]) von der [[Norm (Mathematik)|Norm]] induziert.
* Einige konkrete topologische Räume mit speziell konstruierten Eigenschaften tragen die Namen ihrer Entdecker, z. B. [[Arens-Fort-Raum]], [[Cantor-Raum]], [[Hilbertwürfel]], [[Michael-Gerade]], [[Niemytzki-Raum]], [[Sorgenfrey-Ebene]], [[Tichonow-Planke]] etc.

== Erzeugung topologischer Räume ==
* Man kann ein beliebiges System <math>S</math> von Teilmengen einer Menge <math>X</math> zu einer Topologie auf <math>X</math> erweitern, indem man fordert, dass (mindestens) alle Mengen aus <math>S</math> offen sind. Damit wird <math>S</math> zur [[Subbasis]] einer Topologie auf <math>X</math>.
* Jeder Teilmenge <math>Y</math> eines topologischen Raums <math>X</math> kann eine [[Unterraumtopologie]] zugeordnet werden. Dabei sind die offenen Mengen gerade die Schnitte der in <math>X</math> offenen Mengen mit der Teilmenge <math>Y</math>.
* Bei jeder Familie von topologischen Räumen kann das mengentheoretische Produkt der Grundmengen mit der [[Produkttopologie]] versehen werden:
** Bei endlichen Produkten bilden die Produkte der offenen Mengen aus den Faktorräumen eine [[Basis (Topologie)|Basis]] dieser Topologie.
** Bei unendlichen Produkten bilden diejenigen Produkte von offenen Mengen aus den Faktorräumen eine Basis, bei denen alle bis auf endlich viele Faktoren jeweils den ganzen betreffenden Raum umfassen.
** Wählt man in einem unendlichen Produkt als Basis die kartesischen Produkte von offenen Mengen aus den Faktorräumen, dann erhält man die Box-Topologie auf dem Produkt. Diese ist (i. A. echt) feiner als die Produkttopologie.
* Eine Verallgemeinerung der Beispiele Unterraum- und Produkttopologie ist die Konstruktion einer [[Initialtopologie]]. Hier wird die Topologie auf einer Menge <math>X</math> durch die Forderung definiert, dass bestimmte Abbildungen aus <math>X</math> in andere topologische Räume stetig sein sollen. Die Initialtopologie ist die gröbste Topologie auf <math>X</math> mit dieser Eigenschaft.
* Eine [[Quotiententopologie]] entsteht, indem man in einem topologischen Raum <math>X</math> gewisse Punkte miteinander verklebt (identifiziert). Formal geschieht dies durch eine [[Äquivalenzrelation]], die Punkte des Quotientenraums sind also Klassen von Punkten aus <math>X</math>.
* Eine Verallgemeinerung des Beispiels Quotiententopologie ist die Konstruktion einer [[Finaltopologie]]. Hier wird die Topologie auf einer Menge <math>X</math> durch die Forderung definiert, dass bestimmte Abbildungen aus anderen topologischen Räumen nach <math>X</math> stetig sein sollen. Die Finaltopologie ist die feinste Topologie auf <math>X</math> mit dieser Eigenschaft.

== Literatur ==
* [[Gerhard Preuß (Mathematiker)|Gerhard Preuß]]: ''Allgemeine Topologie''. 2. korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1975, ISBN 3-540-07427-9, (''Hochschultext'').
* [[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]: ''Topologie. Eine Einführung.'' 4. Auflage. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, (''Mathematische Leitfäden'').
* [[Klaus Jänich]]: ''Topologie.'' 6. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1999, ISBN 3-540-65361-9, (''Springer-Lehrbuch'').
* Charles E. Aull, Robert Lowen (Hrsg.): ''Handbook of the History of General Topology''. Band 3. Kluwer Academic, Dordrecht 2001, ISBN 0-7923-6970-X.
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie.'' 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, (''Springer-Lehrbuch'').
* René Bartsch: ''Allgemeine Topologie I''. Oldenbourg, München u. a. 2007, ISBN 978-3-486-58158-4.
* {{Literatur
|Autor=[[Stephen Willard]]
|Titel=General Topology
|Reihe=Addison-Wesley Series in Mathematics
|Verlag=[[Addison-Wesley]]
|Ort=Reading, Massachusetts u. a.
|Datum=1970
|ISBN=0-201-08707-3}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4137586-5}}

[[Kategorie:Topologischer Raum| ]]

Topologischer Raum - Versionsgeschichte

imported>Christian1985: HC: Entferne Kategorie:Mathematischer Grundbegriff