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2023-11-11T12:42:27Z

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Ein '''topologischer Nullteiler''' ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der [[Banachalgebra|Banachalgebren]]. Unter Ausnutzung der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] wird der [[Algebra|algebraische]] Begriff des [[Nullteiler]]s verallgemeinert.

== Definition ==
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra über dem Körper der komplexen Zahlen. Ein von 0 verschiedenes Element <math>x\in A</math> heißt ''linker topologischer Nullteiler'', falls es eine Folge <math>(x_n)_n</math> in <math>A</math> gibt mit:
# <math>\|x_n\|=1</math> für alle <math>n</math>,
# <math>x\cdot x_n \xrightarrow{n\to \infty} 0 </math>.

Ein ''rechter topologischer Nullteiler'' wird analog definiert, wobei im letzten Punkt natürlich <math>x_n \cdot x \xrightarrow{n\to \infty} 0 </math> zu schreiben ist.

Ein ''beidseitiger'' oder ''zweiseitiger topologischer Nullteiler'' ist ein linker und gleichzeitig rechter topologischer Nullteiler.<ref>Wiesław Żelazko: ''Banach Algebras'', Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14: Topological Divisors of Zero</ref><ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Complete Normed Algebras''. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.12</ref>

In kommutativen Banachalgebren fallen diese drei Begriffe zusammen und man spricht einfach von ''topologischen Nullteilern''. Manche Autoren lassen auch 0 als topologischen Nullteiler zu; hier liegt also die gleiche uneinheitliche Situation wie bei den algebraischen Nullteilern vor.

== Beispiele ==
* Linke (rechte, zweiseitige) Nullteiler sind linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler; man kann in diesem Fall eine konstante Folge <math>(x_n)_n</math> wählen.

[[Datei:TopologischerNullteiler.PNG|mini|150px|right|Skizze zu den verwendeten Funktionen]]

* In der [[Funktionenraum|Funktionenalgebra]] <math>C([0,1])</math> der [[Stetige Funktion|stetigen]] Funktionen auf dem Einheitsintervall [0,1] mit der [[Supremumsnorm]] ist <math>x=\mathrm{id}_{[0,1]}</math> ein topologischer Nullteiler, der kein Nullteiler ist. <math>x</math> ist kein Nullteiler, denn ist <math>xy=0</math>, so muss <math>y(t)=0</math> zunächst für <math>0< t \le 1</math> gelten, da <math>x</math> auf <math>]0,1]</math> nicht 0 ist. Die Stetigkeit von <math>y</math> liefert dann für alle <math>t\in [0,1]</math> die Eigenschaft <math>y(t)=0</math> und damit muss <math>y=0</math> (also die [[Nullfunktion]] auf <math>C([0,1])</math>) sein und <math>x</math> ist kein [[Nullteiler]].

: Um zu sehen, dass <math>x</math> ein topologischer Nullteiler ist, betrachte die Funktionen

:<math>x_n(t)=\begin{cases} 1-nt & \mbox{wenn } 0\le t \le \frac{1}{n} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}</math>

: Dann ist <math>\|x_n\|=1</math>, <math>\|x\cdot x_n\| = \frac{1}{4n} \rightarrow 0</math> und damit <math>x</math> als topologischer Nullteiler nachgewiesen.

* Ist <math>A</math> eine Banachalgebra mit Einselement 1, <math>x\in A</math> kein Vielfaches des Einselements und <math>\lambda</math> aus dem [[Rand (Topologie)|topologischen Rand]] des [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrums]] von <math>x</math>, so ist <math>x-\lambda\cdot 1</math> ein topologischer Nullteiler. Daraus ergibt sich mit dem [[Satz von Gelfand-Mazur]] folgende auf [[Wiesław Żelazko|W. Żelasko]] zurückgehende Aussage: Entweder ist <math>A</math> isomorph zu <math>\Complex</math> oder <math>A</math> hat topologische Nullteiler.<ref>Wiesław Żelazko: ''Banach Algebras'', Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.4</ref>

== Permanent singuläre Elemente ==
Ein Element einer Banachalgebra <math>A</math> heißt bekanntlich ''singulär'', wenn es nicht invertierbar ist. Ein Element heißt ''permanent singulär'', falls es keine Banachalgebra <math>\tilde{A}</math> gibt mit <math>A\subset \tilde{A}</math> (bzw. <math>A</math> ist [[Isometrie|isometrisch]] in <math>\tilde{A}</math> eingebettet), so dass es in <math>\tilde{A}</math> invertierbar ist. Es gilt folgender von [[Richard Friederich Arens|R. Arens]] bewiesener Satz<ref>Wiesław Żelazko: ''Banach Algebras'', Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.7</ref>:

* Ein Element einer kommutativen <math>\Complex</math>-Banachalgebra ist genau dann permanent singulär, wenn es ein topologischer Nullteiler ist.

== Nullteiler ==
Man kann jeden topologischen Nullteiler einer Banachalgebra als echten (algebraischen) Nullteiler einer umfassenden Banachalgebra realisieren. Genauer gilt<ref>Wiesław Żelazko: ''Banach Algebras'', Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.8</ref>:

* Zu jeder Banachalgebra <math>A</math> gibt es eine Banachalgebra <math>\tilde{A}</math>, so dass folgendes gilt:
# <math>A</math> ist isometrisch isomorph zu einer Unterbanachalgebra von <math>\tilde{A}</math>.
# Jeder linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler von <math>A</math> ist ein linker (rechter, zweiseitiger) Nullteiler in <math>\tilde{A}</math>.

Zur Konstruktion von <math>\tilde{A}</math> sei <math>\overline{A}</math> die Algebra aller beschränkten Folgen in <math>A</math>. Für <math>(x_n)_n \in \overline{A}</math> sei <math>|(x_n)_n|:= \limsup_{n\to \infty}\|x_n\|</math>. Dann ist <math>N:=\{(x_n)_n\in \overline{A};\, |(x_n)_n|=0\}</math> ein [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] in <math>\overline{A}</math> und der [[Faktorring|Quotient]] <math>\tilde{A}=\overline{A}/N</math> ist mit der durch <math>|\cdot |</math> induzierten [[Quotientennorm]] eine Banachalgebra. Mittels konstanter Folgen kann man <math>A</math> isometrisch isomorph in <math>\tilde{A}</math> einbetten. Ist nun <math>x\in A</math> ein linker topologischer Nullteiler, so gibt es definitionsgemäß eine Folge <math>(x_n)_n</math> in <math>A</math> mit <math>\limsup_{n\to\infty}\|x\cdot x_n\| = 0</math>. Daher ist <math>x</math>, aufgefasst als Element in <math>\tilde{A}</math>, ein linker Nullteiler.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Topologischer Nullteiler - Versionsgeschichte

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