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2019-12-07T07:13:31Z

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Eine '''topologische Algebra''' ist eine mathematische Struktur. Es handelt sich um eine [[Algebra über einem Körper| Algebra]], in der Regel über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> der reellen oder komplexen Zahlen, die eine [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] trägt, so dass die algebraischen Operationen, das heißt die Addition, die Multiplikation und die [[skalare Multiplikation]] [[Stetige Funktion|stetig]] sind. Derartige Algebren, deren prominenteste Vertreter [[Banachalgebra|Banachalgebren]] sind, werden in der [[Funktionalanalysis]] untersucht.

== Definition ==
Eine '''topologische <math>\mathbb{K}</math>-Algebra''' ist eine <math>\mathbb{K}</math>-Algebra <math>A</math>, so dass die Abbildungen
* <math> A\times A \rightarrow A,\, (a,b)\mapsto a+ b</math>
* <math> A\times A \rightarrow A,\, (a,b)\mapsto a\cdot b</math>
* <math> \mathbb{K}\times A \rightarrow A,\, (\lambda,a)\mapsto \lambda a</math>
stetig sind. <math>A</math> ist damit ein [[topologischer Vektorraum]], auf dem eine stetige Multiplikation definiert ist.

== Wichtige Klassen ==
=== Banachalgebren ===
{{Hauptartikel|Banachalgebra}}
Die bekanntesten Beispiele sind [[Normierte Algebra|normierte Algebren]], speziell [[Banachalgebra|Banachalgebren]]. Insbesondere für letztere wurde eine umfangreiche Theorie entwickelt. Wichtige Spezialfälle sind [[C*-Algebra|C*-Algebren]], insbesondere [[Von-Neumann-Algebra|Von-Neumann-Algebren]], und Gruppenalgebren <math>L^1(G)</math> in der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analyse]].

=== Fréchet-Algebren ===
Hierbei handelt es sich um Algebren, die bezüglich einer Folge <math>(p_n)_n</math> [[Submultiplikativität|submultiplikativer]] [[Halbnorm]]en einen [[Fréchet-Raum]] bilden. Die Submultiplikativität der Halbnormen sichert die Stetigkeit der Multiplikation.

Die <math>\Complex</math>-Algebra <math>C(X)</math> aller stetigen Funktionen <math>X\rightarrow \Complex</math> auf einem [[Separabler Raum|separablen]], [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakten Hausdorffraums]] <math>X</math> wird zu einer Fréchet-Algebra, wenn die Topologie durch die [[Halbnorm]]en
:<math>\textstyle p_n(f):=\sup_{x\in K_n}|f(x)|</math>
definiert, wobei <math>K_n</math> eine Folge kompakter Mengen <math>K_n\subset X</math> ist, für die <math>K_n</math> im [[Innerer Punkt|Inneren]] von <math>K_{n+1}</math> liegt und die <math>\textstyle X = \bigcup_{n\in \N}K_n</math> erfüllen. <math>C(X)</math> trägt dann die Topologie der [[Kompakte Konvergenz|kompakten Konvergenz]] und wird deshalb auch mit <math>C_c(X)</math> bezeichnet.

Ist speziell <math>X\subset \Complex^n</math> eine offene Menge, so bildet die Algebra <math>H(X)</math> der [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] eine Unter-Fréchet-Algebra von <math>C_c(X)</math>.
Diese Algebren sind nicht [[Normierbarer Raum|normierbar]], also insbesondere keine Banachalgebren, sie spielen in der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher]] eine Rolle.

=== LMC-Algebren ===
Eine LMC-Algebra, oder auch lokal multiplikativ-konvexe Algebra, ist eine Algebra mit einer [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen]] Topologie, die von einer Familie submultiplikativer Halbnormen definiert wird.
Die Submultiplikativität sichert die Stetigkeit der Multiplikation.
Die vollständigen LMC-Algebren nennt man auch ''Arens-Michael-Algebren'', sie können mittels der [[Arens-Michael-Zerlegung]] untersucht werden.

Sei <math>X</math> ein [[topologischer Raum]] und <math>C(X)</math> die <math>\mathbb{K}</math>-Algebra der stetigen Funktionen <math>X\rightarrow \mathbb{K}</math> mit der Topologie der punktweisen Konvergenz.
Diese wird von der Familie der submultiplikativen Halbnormen <math>p_x(f):=|f(x)|</math>, wobei <math>x\in X</math>, definiert.
Ist <math>X</math> [[Überabzählbarkeit|überabzählbar]], so ist <math>C(X)</math> keine Fréchet-Algebra.

=== Lokalkonvexe Algebren ===
Eine topologische Algebra heißt lokalkonvexe Algebra, wenn ihre Topologie lokalkonvex ist. Definitionsgemäß sind LMC-Algebren lokalkonvex, aber die Topologie einer lokalkonvexen Algebra wird nicht zwingend von einer Familie submultiplikativer Halbnormen erzeugt.

Als Beispiel betrachten wir die Algebra <math>\Complex(t)</math>, den [[Quotientenkörper]] des [[Polynomring]]s <math>\Complex[t]</math>. Wir definieren für <math>n\ge 1</math> Funktionen
:<math>w_n:\Z\rightarrow \R^+,\, w_n(k) = \begin{cases}
(1-k)^{n(1-k)} & \text{falls }k\le -1\\
1 & \text{falls } k=0\\
(1+k)^{-(k+1)/n} & \text{falls } k \ge 1
\end{cases}</math>
Jedes Element <math>f \in \Complex(t)</math> kann als Funktion einer komplexen Variablen aufgefasst werden und hat als solche eine [[Laurent-Entwicklung]] <math>\textstyle f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kt^k</math>. Definiere nun die Halbnorm <math>p_n</math> auf <math>\Complex(t)</math> durch
:<math>\textstyle p_n(f) := \sum_{k=-\infty}^\infty|a_k|w_n(k),\quad \mbox{falls}\quad f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kt^k</math>.
Man kann zeigen, dass <math>\Complex(t)</math> mit den Halbnormen <math>(p_n)_n</math> eine lokalkonvexe Algebra ist, die keine LMC-Algebra ist.

== Eigenschaften ==
Wichtige Eigenschaften von Banachalgebren übertragen sich nicht auf allgemeinere Klassen. So ist die automatische Stetigkeit von Homomorphismen von der Algebra in den Grundkörper, die bei Banachalgebren gegeben ist, bei Fréchet-Algebren ein offenes Problem. Andere typische Eigenschaften von Banachalgebren sind in allgemeineren Situationen zusätzlich zu fordern. Das führt dann zu weiteren Klassen von Algebren.

=== Q-Algebren ===
Eine topologische Algebra <math>A</math> mit [[Einselement]] heißt ''Q-Algebra'', wenn die Menge <math>A^{-1}</math> der invertierbaren Elemente offen ist. Eine topologische Algebra mit Einselement ist genau dann eine Q-Algebra, wenn das Innere von <math>A^{-1}</math> nicht leer ist. Das Spektrum eines Elements <math>a</math> einer Q-Algebra, das heißt die Menge <math>\{\lambda \in \Complex;\, \lambda\cdot 1 -a \notin A^{-1}\} \subset \Complex</math>, ist [[kompakter Raum|kompakt]].

Jede Banachalgebra ist eine Q-Algebra, die Fréchet-Algebra <math>C_c(\R)</math> ist keine Q-Algebra.

=== Algebren mit stetigen Inversen ===
Ist in einer topologischen Algebra <math>A</math> mit Einselement die Abbildung <math>A^{-1}\rightarrow A^{-1},\, x\rightarrow x^{-1}</math> stetig, so sagt man, <math>A</math> sei eine Algebra mit stetigen Inversen.
Das obige Beispiel <math>\Complex(t)</math> einer lokalkonvexen Algebra hat keine stetigen Inversen. Man kann mittels der [[Arens-Michael-Zerlegung]] zeigen, dass LMC-Algebren stetige Inversen haben.

== Literatur ==
* Edward Beckenstein, Lawrence Narici, Charles Suffel: ''Topological algebras'', North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0724-9

[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]
[[Kategorie:Topologische Struktur]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Topologische Algebra - Versionsgeschichte

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