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2019-12-18T15:08:32Z

Der Satz von Banach-Steinhaus

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'''Tonnelierte Räume''' sind spezielle [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe]] [[Vektorraum|Vektorräume]], in denen der [[Satz von Banach-Steinhaus]] gilt. Diese Räume lassen sich durch ihre [[Nullumgebungsbasis|Nullumgebungsbasen]] charakterisieren.

== Motivation ==
Eine '''Tonne''' ist eine Teilmenge T eines lokalkonvexen K-Vektorraums E mit folgenden drei Eigenschaften
* T ist [[absolutkonvexe Menge|absolutkonvex]], d. h. für <math>x, y \in T</math> und <math>\lambda, \mu \in K</math> mit <math>|\lambda|+|\mu| \le 1</math> gilt <math>\lambda x + \mu y \in T</math>.
* T ist [[abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] auf E.
* T ist [[absorbierende Menge|absorbierend]], d. h. zu jedem <math>x \in E</math> gibt es ein <math>\lambda \in K</math> mit <math>x \in \lambda T</math>.

Leicht zeigt man, dass jeder lokalkonvexe Raum eine [[Nullumgebungsbasis]] aus Tonnen besitzt. Ist umgekehrt jede Tonne eine Nullumgebung, so nennt man den Raum '''tonneliert'''. Diese Bezeichnung geht auf [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] zurück (französisch tonnelé, englisch barrelled).

== Beispiele ==
* Jeder [[Fréchet-Raum]] (insbesondere also jeder [[Banachraum]]) ist tonneliert. Ist nämlich T eine Tonne im Fréchet-Raum E, so gilt <math>E = \bigcup_{n \in {\mathbb N}} nT</math>, da T absorbierend ist. Weil T abgeschlossen ist, folgt aus dem [[Satz von Baire]], dass ein nT und damit T einen [[innerer Punkt|inneren Punkt]] hat. Aus der Absolutkonvexheit von T ergibt sich nun leicht, dass T eine Nullumgebung ist.

* Ist E ein Fréchet-Raum ungleich {0}, so ist <math>\prod_{r\in{\mathbb R}}E</math> mit der [[Produkttopologie]] ein Beispiel für einen tonnelierten Raum, der nicht Fréchet-Raum ist.

== Vererbungseigenschaften ==
[[Faktorraum|Quotientenräume]] nach abgeschlossenen Teilräumen, [[Produkttopologie|Produkträume]] und [[induktiver Limes|induktive Limiten]] tonnelierter Räume sind wieder tonneliert.

Die Tonneliertheit vererbt sich im Allgemeinen '''nicht''' auf abgeschlossene [[Untervektorraum|Unterräume]] oder [[Limes (Kategorientheorie)|projektive Limiten]].

== Der Satz von Banach-Steinhaus ==
Eine Menge B in einem lokalkonvexen Raum E heißt bekanntlich [[Beschränktheit#Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen|beschränkt]], wenn sie von jeder Nullumgebung absorbiert wird, d. h. zu jeder Nullumgebung U von E gibt es ein <math>\lambda > 0</math> mit <math>B\subset \lambda U</math>. Eine Familie <math>(T_\alpha)_{\alpha \in I}</math> [[Beschränkter Operator|stetiger]] [[linearer Operator]]en zwischen lokalkonvexen Vektorräumen E und F heißt [[gleichgradige Stetigkeit|gleichgradig stetig]], wenn es zu jeder Nullumgebung V in F eine Nullumgebung U in E gibt, so dass <math>T_\alpha (U)\subset V</math> für alle <math>\alpha\in I</math>. Der folgende Satz kennzeichnet die tonnelierten Räume als diejenigen, in denen der [[Satz von Banach-Steinhaus]] gilt:

Für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:
* E ist ein tonnelierter Raum.
* Ist F ein weiterer lokalkonvexer Raum und <math>(T_\alpha)_{\alpha \in I}</math> eine Familie [[Beschränkter Operator|stetiger]] [[linearer Operator]]en <math>E\rightarrow F</math>, die punktweise beschränkt ist (d. h. für jedes <math>x\in E</math> ist <math>\{T_\alpha(x); \alpha\in I\}</math> beschränkt), so ist <math>(T_\alpha)_{\alpha \in I}</math> gleichgradig stetig.

== Beziehung zur Reflexivität ==
Ist E ein lokalkonvexer Vektorraum, so definiert jede beschränkte Menge B in E eine [[Halbnorm]] <math>P_B</math> auf dem [[Dualraum]] <math>E\,'</math>, indem man <math>p_B(f):= \sup\{|f(x)|; x\in B\}</math> setzt. Versehen mit der Menge der Halbnormen <math>p_B</math>, wobei B die beschränkten Mengen von E durchläuft, wird <math>E\,'</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum, den man dann mit <math>E_b'</math> bezeichnet. Dies verallgemeinert die Dualraumbildung bei [[normierter Raum|normierten Räumen]]. Wie dort hat man eine natürliche Einbettung <math>J:E\rightarrow (E_b')_b', (J(x))(f):= f(x)</math>, und wie üblich identifiziert man E mit J(E), so dass E als Unterraum des Biduals <math>(E_b')_b'</math> aufgefasst werden kann. Ist J [[Surjektivität|surjektiv]], so nennt man E ''halbreflexiv''. Dann stimmen E und <math>(E_b')_b'</math> zwar als Mengen überein, aber im Allgemeinen sind die lokalkonvexen Topologien auf E und dem Bidual <math>(E_b')_b'</math> verschieden. Stimmen auch die Topologien überein, so nennt man E ''reflexiv''. Die Tonneliertheit ist genau die Eigenschaft, die einem halbreflexiven Raum zur Reflexivität fehlt, denn es gilt:

Für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:
* E ist reflexiv.
* E ist halbreflexiv und tonneliert.

== Quasitonnelierte Räume ==
Man nennt eine Menge T in einem lokalkonvexen Raum ''bornivor'', wenn sie jede beschränkte Menge absorbiert, d. h. wenn es zu jeder beschränkten Menge B ein <math>\lambda \in K</math> mit <math>B \subset \lambda T</math> gibt. (Zur Wortherkunft vergleiche [[Fleischfresser|carnivor]] oder [[Pflanzenfresser|herbivor]].)

Ein Raum heißt '''quasitonneliert''', wenn jede bornivore Tonne eine Nullumgebung ist.
Offensichtlich handelt es sich um eine Abschwächung der Tonneliertheit. [[Bornologischer Raum|Bornologische Räume]] sind quasitonneliert. Folgenvollständige quasitonnelierte Räume sind bereits tonneliert, wie aus dem [[Satz von Banach-Mackey]] folgt.

Die Quasitonneliertheit ist bei obiger Charakterisierung der Reflexivität ausreichend, denn für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:
* E ist reflexiv
* E ist halbreflexiv und tonneliert.
* E ist halbreflexiv und quasitonneliert.

== Quellen ==
* Klaus Floret, [[Joseph Wloka]]: ''Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume'' (= ''Lecture Notes in Mathematics.'' Bd. 56, {{ISSN|0075-8434}}). Springer, Berlin u. a. 1968, {{doi|10.1007/BFb0098549}}.
* Reinhold Meise, Dietmar Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'' (= ''Vieweg-Studium'' 62 ''Aufbaukurs Mathematik''). Vieweg, Braunschweig u. a. 1992, ISBN 3-528-07262-8.

[[Kategorie:Lokalkonvexer Raum]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Tonnelierter Raum - Versionsgeschichte

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