imported>NerdOnTour: Beispielmatrix geändert. Vorher waren die Einträge einfach die Zahlen 1 bis 8. Das halte ich nicht für ein gelungenes Beispiel. (Man könnte sonst darauf kommen, dass eine Toeplitz-Matrix stets aufeinanderfolgende Einträge haben muss.)

2023-09-17T12:33:42Z

Beispielmatrix geändert. Vorher waren die Einträge einfach die Zahlen 1 bis 8. Das halte ich nicht für ein gelungenes Beispiel. (Man könnte sonst darauf kommen, dass eine Toeplitz-Matrix stets aufeinanderfolgende Einträge haben muss.)

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[[Datei:Matrix pattern qtl1.svg|miniatur|hochkant=0.75|Besetzungsmuster einer Toeplitz-Matrix der Größe 5×5]]
'''Toeplitz-Matrizen''' sind (endliche oder unendliche) [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit einer speziellen Struktur. Sie sind nach [[Otto Toeplitz]] benannt, der ihre algebraischen und funktionalanalytischen Eigenschaften in dem 1911 erschienenen Artikel ''Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen'' untersuchte.<ref>{{Literatur |Autor=Otto Toeplitz |Titel=Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen: I. Teil: Theorie der L-Formen |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]] |Band=70 |Nummer=3 |Datum=1911-09 |ISSN=0025-5831 |DOI=10.1007/BF01564502 |Seiten=351–376 |Online=http://link.springer.com/10.1007/BF01564502 |Abruf=2022-11-16}}</ref>

== Definition ==
Eine Matrix <math>A = (a_{ij})</math> wird Toeplitz-Matrix genannt, wenn die Einträge <math>a_{ij}</math> nur von der Differenz <math>i-j</math> der Indizes abhängen. Die [[Hauptdiagonale|Haupt-]] und [[Nebendiagonale]]n der Matrix sind also konstant. Eine endliche Toeplitz-Matrix mit <math>m</math> Zeilen und <math>n</math> Spalten ist somit durch die <math>m+n-1</math> Einträge am linken und oberen Rand (also die erste Zeile und erste Spalte) vollständig bestimmt.

== Beispiel ==
Hier ein Beispiel einer <math>4\times 5</math>-Toeplitz-Matrix:

:<math>M =
\begin{pmatrix}
4 & 8 & 10 & 7 & 8 \\
3 & 4 & 8 & 10 & 7 \\
-2 & 3 & 4 & 8 & 10 \\
1 & -2 & 3 & 4 & 8 \\
\end{pmatrix}
</math>

== Eigenschaften ==
Quadratische Toeplitz-Matrizen sind [[Persymmetrische Matrix|persymmetrisch]], das heißt, ihre Einträge ändern sich nicht, wenn sie an der [[Gegendiagonale]] der Matrix gespiegelt werden. [[Symmetrische Matrix|Symmetrische]] Toeplitz-Matrizen sind sowohl [[Bisymmetrische Matrix|bisymmetrisch]] als auch [[Zentralsymmetrische Matrix|zentralsymmetrisch]]. Gilt bei einer quadratischen Toeplitz-Matrix <math>a_{ij}=0 </math> für alle <math>|i-j| > 1</math>, so spricht man von einer [[Tridiagonal-Toeplitz-Matrix]]. Die [[Eigenwert]]e und [[Eigenvektor]]en von Tridiagonal-Toeplitz-Matrizen lassen sich explizit angeben. Eine [[Blockmatrix]], deren Blöcke eine Toeplitz-Struktur aufweisen, heißt [[Block-Toeplitz-Matrix]].

== Anwendung ==
Für große [[Lineares Gleichungssystem|lineare Gleichungssysteme]] <math>Ax=b</math>, bei denen <math>A</math> eine Toeplitz-Matrix ist, gibt es besonders effiziente Lösungsverfahren. Dabei werden häufig unendlich große Toeplitz-Matrizen durch ihre Erzeugungsfunktion beschrieben. Sofern diese [[Fourier-Transformation|Fourier-transformierbar]] sind, können die Operationen [[Matrizenmultiplikation]] und [[Inverse Matrix|Matrixinversion]] auf einfache [[Multiplikation]]en bzw. [[Division (Mathematik)|Divisionen]] zurückgeführt werden. Umgekehrt nutzt man die Eigenschaften von Toeplitz-Matrizen auch bei der [[Schnelle Fourier-Transformation|schnellen Fourier-Transformation]].

== Siehe auch ==
* [[Hankel-Matrix]], eine Matrix, deren Einträge in den von rechts oben nach links unten verlaufenden Diagonalen konstant sind.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Albrecht Böttcher, Bernd Silbermann |Titel=Introduction to Large Truncated Toeplitz Matrices |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Jahr=1999 |Sprache=en |Reihe=Universitext |ISBN=978-1-4612-7139-0 |DOI=10.1007/978-1-4612-1426-7}}
* {{EoM|Titel=Toeplitz matrix|Autor=I. I. Volkov|Url=http://eom.springer.de/T/t092950.htm}}

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Matrix]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Toeplitz-Matrix - Versionsgeschichte

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