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2024-12-09T18:58:50Z

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Die '''Toeplitz-Algebra''' ist eine im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]] untersuchte [[C*-Algebra]], die eng mit [[Toeplitz-Operator]]en zusammenhängt.

== Definition ==
Sei <math>S\colon \ell^2 \rightarrow \ell^2</math> der [[Shiftoperator|unilaterale Shiftoperator]] auf dem [[Hilbertraum]] <math>\ell^2</math> mit der kanonischen [[Orthonormalbasis]] <math>e_n = (0,\ldots,0,1,0,\ldots), \, n=0,1,2,\ldots</math>, wobei die 1 an der <math>n</math>-ten Stelle steht. <math>S</math> ist als [[Stetige Funktion|stetiger]], [[linearer Operator]] durch die Bedingungen <math>Se_n=e_{n+1}</math> festgelegt.

Die '''Toeplitz-Algebra''' <math>\mathcal{T}</math> ist definiert als die von <math>S</math> erzeugte C*-Algebra.<ref name="Laustsen" />

== Bemerkungen ==
* Da <math>S</math> kein [[normaler Operator]] ist, ist <math>\mathcal{T}</math> nicht kommutativ.

* <math>\mathcal{T}</math> enthält die eindimensionale [[Orthogonalprojektion]] <math>\langle \cdot, e_0\rangle e_0 = 1_{\ell^2}-SS^*</math>, also einen [[Kompakter Operator|kompakten Operator]]. Man kann zeigen, dass <math>\mathcal{T}</math> [[Irreduzible Darstellung|irreduzibel]] auf <math>\ell^2</math> operiert und daher die Menge <math>\mathcal{K}(\ell^2)</math> aller kompakten Operatoren auf <math>\ell^2</math> enthalten muss. Insbesondere ist <math>\mathcal{K}(\ell^2)</math> ein [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenes]], [[zweiseitiges Ideal]] in <math>\mathcal{T}</math>.

== Toeplitz-Operatoren ==
Nimmt man statt des Folgenraums <math>\ell^2</math> mit der kanonischen Orthonormalbasis den [[Hardy-Raum]] <math>H^2</math> mit der Orthonormalbasis <math>e_n: \mathbb{T}=\{z\in \Complex \mid |z|=1\}\rightarrow \Complex</math>, <math>z\mapsto z^n</math>, <math>n=0,1,2,\ldots</math>, so ist der Shiftoperator nichts anderes als die Multiplikation mit <math>z</math>, denn <math>z\cdot z^n=z^{n+1}</math>.

Für eine [[wesentlich beschränkt]]e, [[messbare Funktion]] <math>f\colon \mathbb{T}\rightarrow \Complex</math> wird die [[Dilatation und Kompression|Kompression]] des Multiplikationsoperators <math>L^2(\mathbb{T})\rightarrow L^2(\mathbb{T}), \varphi \mapsto f\cdot \varphi</math> auf den Unterraum <math>H^2</math> mit <math>T_f</math> bezeichnet, solche Operatoren heißen [[Toeplitz-Operator]]en. Damit ist der Shiftoperator der Toeplitz-Operator <math>T_{\mathrm{id}_{\mathbb{T}}}</math>. Die davon erzeugte C*-Algebra ist mittels der [[Unitäre Abbildung|unitären Abbildung]] <math>\ell^2\rightarrow H^2</math>, die die angegebenen Orthonormalbasen aufeinander abbildet, unitär äquivalent zu <math>\mathcal{T}</math>, sie wird daher ebenfalls als die Toeplitz-Algebra <math>\mathcal{T}</math> angesprochen. Man erhält folgende Gleichung

:<math>\mathcal{T} = \{T_f+K \mid f\in C(\mathbb{T}), K\in \mathcal{K}(H^2)\}</math>.<ref name="DavidsonV1" />

Dabei ist <math> C(\mathbb{T})</math> die [[Funktionenraum|Funktionenalgebra]] der [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] <math>\mathbb{T}\rightarrow \Complex</math>. Das Symbol <math>f</math> des Toeplitz-Operators ist dabei eindeutig bestimmt. Man erhält folgende [[kurze exakte Sequenz]]

: <math>\{0\} \rightarrow \mathcal{K}(H^2) \, \xrightarrow[]{\quad\subset\quad} \, \mathcal{T} \, \xrightarrow[]{T_f+K \to f}\, C(\mathbb{T}) \rightarrow \{0\}</math><ref name="DavidsonV1" /><ref name="Khalkhali" />

von C*-Algebren und *-Homomorphismen. Da <math>C(\mathbb{T})</math> als kommutative C*-Algebra [[Liminale C*-Algebra|liminal]] ist, ergibt sich aus dieser Sequenz, dass die Toeplitz-Algebra [[Postliminale C*-Algebra|postliminal]], aber nicht liminal ist.

== Satz von Coburn ==
Der Satz von Coburn kennzeichnet die Toeplitz-Algebra als eine C*-Algebren, die von einer echten Isometrie, das heißt einem Element <math>V</math> mit <math>V^*V=1, VV^*\not= 1</math>, erzeugt wird:

* Ist <math>\mathcal{A}</math> eine C*-Algebra, die von einer echten Isometrie <math>V</math> erzeugt wird, so gibt es genau einen *-Isomorphismus <math>\varphi\colon \mathcal{T} \rightarrow \mathcal{A}</math> mit <math>\varphi(S)=V</math>.<ref name="Coburn" /><ref name="DavidsonV2" />

Für den Beweis ist es wesentlich, dass die Isometrie echt ist. Ist die Isometrie <math>V</math> nicht echt, also unitär, so ist die von <math>V</math> erzeugte C*-Algebra kommutativ und kann daher nicht isomorph zu <math>\mathcal{T}</math> sein.

== K-Gruppen ==
Die [[K-Theorie von Banachalgebren|K-Theorie]] für die Toepolitz-Algebra <math>\mathcal{T}</math> sieht wie folgt aus. <math>K_0(\mathcal{T}) \cong \Z</math> und ein [[Erzeugendensystem|erzeugendes Element]] ist durch die [[Äquivalenzklasse]] einer eindimensionalen Orthogonalprojektion gegeben. Die <math>K_1</math>-Gruppe verschwindet, das heißt <math>K_1(\mathcal{T})\cong \{0\}</math>.<ref name="Laustsen" />

== Verallgemeinerung ==
Bei [[Nikolai Kapitonowitsch Nikolski|Nikolski]] findet sich eine etwas allgemeinere Definition.<ref name="Nikolski" />
Dort ist die Toeplitz-Algebra die Unteralgebra von <math>L(H^2)</math>, die von allen Toeplitz-Operatoren erzeugt wird.
Der Autor räumt ein, dass diese Algebra für Untersuchungen zu groß sei, auch wenn sie nicht mit <math>L(H^2)</math>, der Algebra aller stetigen, linearen Operatoren auf <math>H^2</math>, zusammenfällt.
Ist <math>X\subset L^\infty(\mathbb{T})</math> eine abgeschlossene Unteralgebra, so sei <math>\mathrm{alg} \mathcal{T}_X</math> die von <math>\{T_f\mid f\in X\}</math> erzeugte abgeschlossene Unteralgebra von <math>L(H^2)</math>.
Die allgemeinere Toeplitz-Algebra im Sinne Nikolskis ist damit gleich <math>\mathrm{alg}\mathcal{T}_{L^\infty(\mathbb{T})}</math>, die oben in diesem Artikel betrachtete Toeplitz-Algebra <math>\mathcal{T}</math> ist gleich. <math>\mathrm{alg}\mathcal{T}_{C(\mathbb{T})}</math>.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="DavidsonV1">
{{Literatur
|Autor=[[Kenneth R. Davidson]]
|Hrsg=American Mathematical Society
|Titel=C*-Algebras by Examples
|Reihe=Fields Institute Monographs
|Datum=1996
|ISBN=0-8218-0599-1
|Kapitel=Kapitel V.1 ''Toeplitz Operators''
|Seiten=132-136
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="DavidsonV2">
{{Literatur
|Autor=Kenneth R. Davidson
|Hrsg=American Mathematical Society
|Titel=C*-Algebras by Examples
|Reihe=Fields Institute Monographs
|Datum=1996
|ISBN=0-8218-0599-1
|Kapitel=Kapitel V.2 ''Isometries''
|Seiten=136-137
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Coburn">
{{Literatur
|Autor=L. A. Coburn
|Hrsg=American Mathematical Society
|Titel=The C*-Algebra of an isometry
|Sammelwerk=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]
|Band=73
|Datum=1967
|Seiten=722-726
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Nikolski">
{{Literatur
|Autor=[[Nikolai Kapitonowitsch Nikolski]]
|Titel=Toeplitz Matrices and Operators
|Reihe=Cambridge studies in mathematics
|BandReihe=182
|Verlag=Cambridge University Press
|Datum=2020
|ISBN=978-1-107-19850-0
|Fundstelle=Definitions 3.1.2
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Khalkhali">
{{Literatur
|Autor=Masoud Khalkhali
|Titel=Basic Noncommutative Geometry
|Reihe=EMS Series of Lectures in Mathematics
|BandReihe=10
|Verlag=EMS Press
|Datum=2009
|ISBN=978-3-03719-128-6
|Seiten=183
|Fundstelle=Gleichung (4.23)
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Laustsen">
{{Literatur
|Autor=N. Laustsen M. Rørdam, F. Larsen
|Hrsg=Cambridge University Press
|Titel=An Introduction to K-Theory for C*-Algebras
|Datum=2000
|ISBN=0-521-78334-8
|Seiten=167-169
|Fundstelle=Example 9.4.4 (The Toeplitz algebra)
|Sprache=en}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Toeplitz-Algebra - Versionsgeschichte

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