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2025-05-04T16:55:31Z

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Das '''Toda-Gitter''', benannt nach [[Morikazu Toda]], ist ein einfaches Modell eines [[eindimensional]]en [[Kristall]]s in der [[Festkörperphysik]]. Es modelliert eine [[lineare Kette]] von [[Teilchen]], in der nur nächste Nachbarn miteinander wechselwirken, durch die zugehörige [[Bewegungsgleichung]]:

:<math> \begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} p(n,t) &= e^{-\left(q(n,t) - q(n-1,t)\right)} - e^{-\left(q(n+1,t) - q(n,t)\right)}\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} q(n,t) &= p(n,t).
\end{align} </math>

Dabei ist
* <math>p(n,t)</math> der [[Impuls]] des <math>n</math>-ten Teilchens (die [[Masse (Physik)|Masse]] ist hierbei normiert zu <math>m = 1</math>)
* <math>q(n,t)</math> die [[Auslenkung]] des Teilchens aus der [[Ruhelage]].

Das Toda-[[Gitter]] ist ein Beispiel eines vollständig [[integrables System|integrablen Systems]] mit [[Soliton]]en<nowiki/>lösungen. Um das zu sehen, verwendet man [[Hermann Flaschka|Flaschka]]-Variablen

:<math> \begin{align}
a(n,t) &= \frac{1}{2} \cdot {\rm e}^{-\left(q(n+1,t) - q(n,t)\right)/2}\\
b(n,t) &= -\frac{1}{2} \cdot p(n,t)
\end{align} </math>

in denen das Toda-Gitter gegeben ist durch:

:<math> \begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} a(n,t) &= a(n,t) \cdot \Big(b(n+1,t)-b(n,t)\Big)\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} b(n,t) &= 2 \cdot \Big(a(n,t)^2-a(n-1,t)^2\Big)
\end{align}</math>

Dann kann man nachrechnen, dass das Toda-Gitter äquivalent ist zur [[Lax-Gleichung]]:

:<math>\Leftrightarrow \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} L(t) = [P(t), L(t)]</math>

Hierbei bezeichnet <math>[P,L] = P L - L P</math> den [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] zweier [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] <math>L</math> und <math>P</math>. Diese, das [[Lax-Paar]], sind [[Linearer Operator|lineare Operatoren]] im [[Hilbertraum]] der quadratsummierbaren [[Folge (Mathematik)|Folgen]] <math>\ell^2(\mathbb{Z})</math>, die gegeben sind durch:

:<math> \begin{align}
L(t) f(n) &= a(n,t) f(n+1) + a(n,t) f(n-1) + b(n,t) f(n) \\
P(t) f(n) &= a(n,t) f(n+1) - a(n,t) f(n-1)
\end{align}</math>

Insbesondere kann das Toda-Gitter mithilfe der [[inverse Streutransformation|inversen Streutransformation]] (IST) für den [[Jacobi-Operator]] <math>L</math> gelöst werden. Das zentrale Ergebnis besagt, dass sich beliebige, genügend stark abfallende [[Anfangsbedingung]]en [[asymptotisch]] für große Zeiten <math>t</math> in eine Summe von Solitonen und einen abklingenden [[Dispersion (Physik)|dispersiven]] Anteil aufteilen.

== Literatur ==
* [[Gerald Teschl|G. Teschl]], Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Mathematical Surveys and Monographs 72, Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2 ([https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-jac/ freie Online-Version])
* M. Toda, Theory of Nonlinear Lattices, 2te Auflage, Springer, Berlin, 1989. ISBN 978-0387102245

== Weblinks ==
* E. W. Weisstein, [https://scienceworld.wolfram.com/physics/TodaLattice.html Toda Lattice] auf ScienceWorld
* G. Teschl, [https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-jac/toda.html The Toda Lattice]

{{Normdaten|TYP=s|GND=4139863-4}}

[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Gewöhnliche Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Dynamisches System]]

Toda-Gitter - Versionsgeschichte

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