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2026-03-02T11:06:02Z

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Das '''Tobit-Modell''' ist ein auf [[James Tobin]] zurückgehendes [[Ökonometrie|ökonometrisches Modell]] zur Analyse beschränkt abhängiger Variablen ([[zensierte Daten]]). Da die [[abhängige Variable]] nur auf einem bestimmten [[Zielmenge|Wertebereich]] existiert, sind normale [[Regressionsparameter]] nicht die bestmöglichen Schätzer, sodass die Schätzfunktion korrigiert werden muss. Diese Korrektur ist im Tobit-Modell implementiert.

== Modell ==
Mit dem Tobit-Modell wird der Zusammenhang zwischen einer nicht-negativen abhängigen Variable <math>y_i</math> und einer unabhängigen Variablen (oder einem Vektor) <math>x_i</math> beschrieben. Das Modell geht davon aus, dass es eine [[Latentes Variablenmodell|latente]] (d. h. nicht beobachtbare) Variable <math>y_i^*</math> gibt. Diese Variable ist linear abhängig von <math>x_i</math> über einen Parameter (oder Vektor) <math>\beta</math>, der wie bei einer [[Lineare Regression|linearen Regression]] den Zusammenhang zwischen der unabhängigen Variable (oder dem Vektor) <math>x_i</math> und der latenten Variablen <math>y_i^*</math> bestimmt.

Darüber hinaus gibt es einen [[Normalverteilung|normalverteilten]] [[Fehlerterm]] <math>u_i</math>, der die Zufallseinflüsse auf diesen Zusammenhang modelliert.

Die beobachtbare Variable <math>y_i</math> ist per Definition gleich der latenten Variablen, wenn diese größer als null ist; ansonsten ist sie null:

:<math> y_i = \begin{cases}
y_i^* & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* >0, \\
0 & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* \leq 0,
\end{cases}</math>

wobei <math>y_i^*</math> eine [[latente Variable]] darstellt:

:<math> y_i^* =
\beta x_i + u_i, \quad u_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)
</math>

== Parameterschätzung ==
Falls der wahre Parameter <math>\beta</math> über eine herkömmliche [[Regressionsanalyse|Regression]] der beobachteten Variable <math> y_i </math> auf <math> x_i </math> geschätzt wird, ist der resultierende [[Kleinste-Quadrate-Schätzer]] [[Konsistente Schätzfolge|nicht konsistent]] für <math>\beta</math>. Amemiya (1973) hat bewiesen, dass der Wahrscheinlichkeitsschätzer, der von Tobin für dieses Modell vorgeschlagen wurde, konsistent ist.

== Verallgemeinerung ==
Das Tobit-Modell ist ein Spezialfall eines ''trunkierten Regressionsmodells'', weil die latente Variable <math>y_i^*</math> nicht immer beobachtet werden kann, während die unabhängige Variable <math>x_i</math> beobachtbar ist. Eine verbreitete Variante des Tobit-Modells besteht darin, eine Variable auf einen von Null verschiedenen Wert <math> y_L</math> zu beschränken:

:<math> y_i = \begin{cases}
y_i^* & \mathrm{f\ddot{u}r} \quad y_i^* >y_L \\
0 & \mathrm{f\ddot{u}r} \quad y_i^* \leq y_L.
\end{cases}</math>

Ein anderes Beispiel betrifft die Beschränkung auf Werte über <math> y_U</math>.

:<math> y_i = \begin{cases}
y_i^* & \mathrm{f\ddot{u}r} \quad y_i^* <y_U \\
0 & \mathrm{f\ddot{u}r} \quad y_i^* \geq y_U.
\end{cases}</math>

Ein weiteres Modell resultiert, wenn <math> y_i </math> gleichzeitig von oben und von unten beschränkt wird.

:<math> y_i = \begin{cases}
y_i^* & \mathrm{f\ddot{u}r} \quad y_L<y_i^* <y_U \\
0 & \mathrm{f\ddot{u}r} \quad y_i^* \leq y_L \quad \text{oder} \quad y_i^* \geq y_U.
\end{cases}</math>

Solche Verallgemeinerungen werden typischerweise ebenfalls als Tobit-Modelle bezeichnet.
Je nachdem, wo und wann die Beschränkung erfolgt, resultieren weitere Varianten des Tobit-Modells. [[Takeshi Amemiya]] klassifiziert diese Varianten in fünf Kategorien (Tobit-Regression Typ 1–Tobit-Regression Typ 4), wobei die Tobit-Regression Typ 1 für das oben beschriebene Modell steht.<ref name="Amemiya 1985">{{Literatur |Autor=Takeshi Amemiya |Titel=Advanced Econometrics |Verlag=Harvard University Press |Ort=Cambridge |Datum=1985 |ISBN=0-674-00560-0 |Seiten=360 ff}}</ref> Schnedler liefert eine allgemeine Formel, um konsistente Wahrscheinlichkeitsschätzer für diese und andere Varianten des Tobit-Modells zu erzielen.<ref name="Schnedler 2005">Schnedler, Wendelin (2005). „Likelihood estimation for censored random vectors“. [[Econometric Reviews]] '''24''' (2), 195–217.</ref>

== Literatur ==
* Amemiya, Takeshi (1973). „Regression analysis when the dependent variable is truncated normal“. ''Econometrica'' '''41''' (6), 997–1016.
* Tobin, James (1958). „Estimation of relationships for limited dependent variables“. ''Econometrica'' '''26''' (1), 24–36.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ökonometrie]]
[[Kategorie:Regressionsmodell]]

Tobit-Modell - Versionsgeschichte

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