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2025-10-15T19:08:59Z

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Ein '''Tits-System''' (oft synonym auch '''BN-Paar''' genannt) wird in der [[Mathematik|mathematischen]] Disziplin der [[Gruppentheorie]] benutzt, um viele Resultate aus der Theorie der halbeinfachen [[Lie-Gruppe]]n, der [[Algebraische Gruppe|algebraischen Gruppen]] und der [[Gruppe vom Lie-Typ|endlichen Gruppen vom Lie-Typ]] einheitlich formulieren und beweisen zu können. Außerdem bilden die Tits-Systeme das algebraische Gegenstück zur Gebäude-Theorie. Der Begriff wurde von [[Jacques Tits]] eingeführt.

== Definition ==
Ein Tits-System besteht aus einem 4-Tupel <math>(G,B,N,S)</math>, wobei <math>G</math> eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] ist, <math>B</math> und <math>N</math> [[Untergruppe]]n von <math>G </math> sind und <math> S\subseteq N/(B\cap N)</math> eine Menge von [[Nebenklasse (Mathematik)|Nebenklassen]] von <math>B\cap N</math> in <math>N</math> ist, sodass folgende vier Axiome erfüllt sind:

:{|
|T 1: || Die Gruppe <math>G</math> wird von <math>B</math> und <math>N</math> erzeugt. Außerdem ist <math>H:=B\cap N</math> ein [[Normalteiler]] in <math>N</math>.
|-
|T 2: || Die [[Faktorgruppe]] <math>W:= N/H </math> wird von der Menge <math>S</math> erzeugt und es gilt <math>s^2=1</math> für alle <math> s\in S</math>.
|-
|T 3: || Für <math>s\in S </math> und <math>w\in W </math> gilt <math> sBw \subseteq BswB \cup BwB</math>.
|-
|T 4: || Für <math>s\in S </math> ist <math>sBs^{-1} </math> keine Teilmenge von <math> B</math>.
|}

Die Nummerierung T1 bis T4 stammt aus Tits' Originalarbeit.

== Beispiele ==

* Oft wird als Standardbeispiel die [[Allgemeine lineare Gruppe|Gruppe <math>G:=\mathrm{GL}(n,K)</math> der invertierbaren <math>n\times n </math>-Matrizen]] über einem Körper <Math>K</Math> angegeben. Hierbei ist <Math>B</Math> die Untergruppe der [[Dreiecksmatrix|oberen Dreiecksmatrizen]]. Für die Gruppe <Math>N</Math> nehmen wir alle Matrizen, die in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einen Eintrag ungleich Null haben. Die Gruppe <math>H:=B\cap N </math> wird dann genau zu der Gruppe der [[Diagonalmatrix|Diagonalmatrizen]] und <math>W=N/H </math> ist kanonisch isomorph zur [[symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe über <Math>n</Math> Elementen]]. Die Menge <Math>S</Math> besteht aus den Permutationen, die zwei benachbarte Elemente vertauschen.
* Sei allgemeiner <Math>G</Math> eine [[Reduktive Gruppe|reduktive]] [[algebraische Gruppe]] und <Math>B</Math> eine [[Borel-Untergruppe]], die einen maximalen Torus <Math>H</Math> enthält. Sei <Math>N</Math> der [[Normalisator]] von <Math>H</Math> in <Math>G</Math> und <Math>S</Math> ein minimales Erzeugendensystem von <Math>W:=N/H</Math>. Dann ist <Math>(G,B,N,S)</Math> ein Tits-System.
* Sei <Math>X</Math> eine Menge mit mindestens drei Elementen und <Math>G</Math> eine Untergruppe der [[Permutationsgruppe]] von <math>X</Math>, sodass <Math>G</Math> [[Gruppenoperation#Transitive und scharf transitive Operationen|zweifach transitiv]] auf <Math>X</Math> wirkt. Weiterhin seien zwei unterschiedliche Elemente <math>x,y\in X </math> gegeben. Dann sei <Math>B</Math> der [[Gruppenoperation#Stabilisator|Stabilisator]] von <Math>x</Math> in <Math>G</Math> und <Math>N</Math> sei definiert als die Gruppe, die die Menge <math> \{ x,y \}</math> als Menge fixiert, d. h. die Elemente <Math>x</Math> und <Math>y</Math> werden entweder beide fixiert oder vertauscht. Dann ergibt sich <math>H:= B \cap N</math> als punktweiser Stabilisator der Menge <math> \{x,y\}</math>. Die Faktorgruppe <Math>W:=N/H</math> hat Ordnung 2 und die Menge <Math>S</Math> besteht nur aus einem einzigen Element und dieses entspricht der Vertauschung von <Math>x</Math> und <Math>y</Math>.

== Anmerkungen ==
Man kann zeigen, dass die Menge <Math>S</Math> eindeutig festgelegt ist, wenn von einem Tits-System nur die Gruppen <Math>G,B,N</Math> gegeben sind. Da außerdem die Gruppe <Math>G</Math> von <Math>B</Math> und <Math>N</Math> erzeugt wird, steckt die gesamte Information über das Tits-System in den Gruppen <Math>B</Math> und <Math>N</Math>. Deswegen hat sich auch die Bezeichnung ''BN-Paar'' eingebürgert.

== Bruhat-Zerlegung ==
Ein wichtiges Resultat, das sich im allgemeinen Rahmen von Tits-Systemen beweisen lässt, ist die sogenannte Bruhat-Zerlegung: Wenn ein Tits-System <Math>(G,B,N,S)</Math> gegeben ist, dann gilt

<math>G=BNB = \bigcup_{n\in N} BnB = \bigcup_{w\in W} BwB</math>,

wobei <math>\textstyle \bigcup_{w\in W} BwB</math> eine disjunkte Vereinigung ist, das heißt <math>W</math> ist so gewählt, dass für <math>w\neq w'</math> die Mengen <Math>BwB</Math> und <Math>Bw'B</math> disjunkt sind.

== Anwendungen ==
Wenn bei einem Tits-System <Math>(G,B,N,S)</Math> noch die folgenden Zusatzeigenschaften erfüllt sind:
* <Math>B</Math> ist [[Auflösbare Gruppe|auflösbar]]
* Der Schnitt aller [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugate]] von <Math>B</Math> ist trivial
* Die Menge <Math>S</Math> lässt sich nicht in zwei disjunkte nichtkommutierende Teilmengen zerlegen
* <Math>G</Math> ist [[Perfekte Gruppe|perfekt]]
Dann ist die Gruppe <Math>G</Math> eine einfache Gruppe. Oft ist es sehr leicht, die ersten drei Eigenschaften nachzuprüfen und es bleibt nur noch die Perfektheit von <Math>G</Math> zu zeigen, was deutlich einfacher ist, als direkt zu zeigen, dass <Math>G</Math> eine einfache Gruppe ist.
Dieses Resultat benutzt man zum Beispiel bei der Klassifikation der [[Endliche einfache Gruppe|einfachen endlichen Gruppen]], um zu zeigen, dass die meisten [[Gruppe vom Lie-Typ|endlichen Gruppen vom Lie-Typ]] einfach sind.

== Zusammenhang mit Gebäudetheorie ==
Oft ist es hilfreich, Gruppen zu untersuchen, indem man sie auf interessanten geometrischen Objekten wirken lässt. Jedem Tits-System <Math>(G,B,N,S)</Math> lässt sich auf kanonische Art und Weise ein geometrisches Objekt zuordnen, genannt Gebäude, sodass <Math>G</Math> auf diesem Gebäude wirkt. Umgekehrt lässt sich auch jedem Gebäude ein Tits-System zuordnen, sodass die gruppentheoretische Theorie der Tits-Systeme in gewisser Art und Weise äquivalent zur geometrischen Theorie der Gebäude ist.

== Weblinks ==

* Jacques Tits: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002086905 ''Formes quadratiques, groupes orthogonaux et algèbres de Clifford.''] Inventiones Mathematicae 1968
* Mark Ronan [https://www.markronan.com/mathematics/buildings/ ''Buildings'']
[[Kategorie:Gruppentheorie]]

Tits-System - Versionsgeschichte

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