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[[Datei:TimoshenkoBeam.svg|mini|300px|Verformung eines Timoschenko-Balkens (blau) gegenüber derjenigen eines Euler-Bernoulli-Balkens (rot)]]
Die '''Timoschenko-Balken'''-Theorie erklärt als Teil der [[Balkentheorie]] das [[Schwingung]]sverhalten sowie die [[Durchbiegung]] [[Einspannung|eingespannter]] [[Balken]]. Die Theorie des Timoschenko-Balkens wurde von dem ukrainischen Wissenschaftler und Mechaniker [[Stepan Tymoschenko]] zu Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelt. Sie ist in weiten Teilen der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] wichtig, insbesondere bei Gebäuden, Brücken o. Ä., da hier ein Balken auch unter auftretenden Kräften seine Funktion weiterhin erfüllen soll; sein Verhalten muss also so genau wie möglich vorhergesagt werden.

Die Timoschenko-Balken-Theorie erweitert die klassische [[Bernoullische Annahmen|Euler-Bernoulli-Balkentheorie]] um eine zusätzliche räumliche Ableitung 2. Grades: in der [[Bewegungsgleichung]] wird neben der veränderten [[Flächenträgheitsmoment|Trägheit]] eines [[Verformung|verformten]] Balkens zusätzlich auch Schubverformung berücksichtigt.<ref>H. Bremer: ''Dynamik und Regelung mechanischer Systeme'', Teubner Stuttgart 1988, S. 63</ref>

Damit ist die [[Jakob I. Bernoulli|Bernoulli]]sche Annahme, dass der [[Querschnitt (Mechanik)|Querschnitt]] eines Balkens auch nach der Verformung senkrecht zur Balkenachse bleibt, nicht mehr erfüllt. Durch das Zulassen zusätzlicher (Schub)-Deformation verringert sich die [[Steifigkeit]] des Balkens. Dies hat höhere Deformationen und geringere [[Eigenfrequenz]]en zur Folge.

== Statischer Timoschenko-Balken ==
[[Datei:Plate theory.svg|mini|200px|Deformation eines Timoschenko-Balkens. Die Normale rotiert um <math>\theta_x = \varphi(x)</math>, welches sich von der Biegung <math>dw/dx</math> der Balkenachse unterscheidet.]]
In der statischen Timoschenko-Balken-Theorie werden die [[Durchbiegung]]en des Balkens angenommen als
:<math>u_x(x,y,z) = -z \cdot \varphi(x)</math>
:<math>u_y(x,y,z) = 0</math>
:<math>u_z(x,y) = w(x)</math>
wobei
* <math>(x,y,z)</math> die Koordinaten eines Punktes auf dem Balken (x: Längsrichtung; y: vorne / hinten; z: vertikal)
* <math>u_x, u_y, u_z</math> die Komponenten des [[Translation (Physik)|Verschiebungs]]<nowiki/>vektors in den drei Koordinatenrichtungen
* <math>\varphi</math> der [[Rotation (Physik)|Rotations]]<nowiki/>winkel der [[Normalenvektor|Normalen]] zur Balkenachse
* <math>w</math> die Verschiebung der Balkenachse in der <math>z</math>-Richtung darstellt.

Das statische Gleichgewicht ergibt sich als folgendes System gekoppelter [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlicher Differentialgleichungen]]:
:<math>
\begin{align}
& \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2} \left( E \cdot I \cdot \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x} \right) = q(x,t) \\
& \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} x} = \varphi - \frac{1}{\kappa \cdot A \cdot G} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( E \cdot I \cdot \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x} \right) = \varphi - \frac{Q}{\kappa \cdot A \cdot G}
\end{align}
</math>
Darin ist
* <math>E</math> der [[Elastizitätsmodul]] des Balken[[Werkstoff|materials]]
* <math>I</math> das [[Flächenträgheitsmoment]] des Balkens
* <math>q</math> die [[Streckenlast]] in z-Richtung
* <math>A</math> die [[Querschnittsfläche]] des Balkens
* <math>G</math> der [[Schubmodul]] des Balkenmaterials.
* <math>\kappa</math> der Timoshenko Schubkoeffizient der vom Querschnitt des Balkens abhängt. Normal gilt für einen rechteckigen Querschnitt <math>\kappa</math>=5/6.<ref>F. Gruttmann und W. Wagner: ''[https://www.ibs.kit.edu/download/Mit_2001-06.pdf Shear correction factors in Timoshenko’s beam theory for arbitrary shaped cross–sections]'' (S. 9), Computational Mechanics 7 2001, p199-207</ref>

Die Kombination der beiden Gleichungen ergibt die Gleichung für einen [[Homogenität|homogenen]] Balken <math>\left( \frac{\mathrm d E}{\mathrm d x} = \frac{\mathrm d G}{\mathrm d x} = 0 \right)</math> mit konstantem Querschnitt <math>\left( \frac{\mathrm d A}{\mathrm d x} = \frac{\mathrm d I}{\mathrm d x} = 0 \right)</math>:
:<math>E \cdot I \cdot \cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} = q(x) - \cfrac{E \cdot I}{\kappa \cdot A \cdot G} \cdot \cfrac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} x^2}</math>

== Euler-Bernoulli-Balken als Spezialfall des Timoschenko-Balkens ==
Die Timoschenko-Balken-Theorie kann in die [[Euler-Bernoulli-Balkentheorie]] überführt werden, wenn der letzte Term vernachlässigt wird. Dies ist zulässig für
:<math>\frac{E \cdot I}{\kappa \cdot A \cdot G \cdot L^2 } \ll 1</math>
mit der Länge <math>L</math> des Balkens.

Die Euler-Bernoulli-Balkentheorie kann also als Spezialfall der Timoschenko-Balken-Theorie für hohe [[Schubsteifigkeit]] angesehen werden.

== Literatur, Weblinks ==
*{{Literatur
| Autor=Christian Spura
| Titel=Technische Mechanik 2. Elastostatik
| Auflage=1.
| Verlag=Springer Vieweg
| Ort=Wiesbaden
| Jahr=2019
| ISBN=978-3-658-19978-4
}}
*{{Literatur
| Autor=Christian Spura
| Titel=Einführung in die Balkentheorie nach Timoshenko und Euler-Bernoulli.
| Verlag=Springer Vieweg
| Ort=Wiesbaden
| Jahr=2019
| ISBN=978-3-658-25215-1
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Baustatik]]
[[Kategorie:Balkentheorie]]

Timoschenko-Balken - Versionsgeschichte

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