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Die '''Tichonow-Planke''' ist ein im mathematischen Teilgebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] betrachteter spezieller [[topologischer Raum]], der wegen seiner unerwarteten Eigenschaften oft als Gegenbeispiel dient. Dieser Raum ist nach dem russischen Mathematiker [[Andrei Nikolajewitsch Tichonow|A. N. Tichonow]] benannt, der ihn 1930 konstruierte. Wegen der im Französischen verwendeten [[Transkription (Schreibung)|Transkription]] findet man auch den Namen '''Tychonoff-Planke.''' Zu seiner Konstruktion werden [[Ordinalzahl]]en verwendet.

== Definition ==
Es seien <math>\omega</math> und <math>\omega_1</math> die kleinste [[Unendliche Menge|unendliche]] bzw. [[Überabzählbarkeit|überabzählbare]] Ordinalzahl. Weiter seien <math>[0,\omega]</math> und <math>[0,\omega_1]</math> die Mengen aller Ordinalzahlen von 0 bis <math>\omega</math> bzw. <math>\omega_1</math>, versehen mit der [[Ordnungstopologie]]. Die Tichonow-Planke ist dann der Raum
:<math>T := ([0,\omega_1]\times [0,\omega]) \setminus \{(\omega_1,\omega)\}</math>
versehen mit der [[Teilraumtopologie]] der [[Produkttopologie]].

== Eigenschaften ==
* Die Tichonow-Planke ist als Unterraum des [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Hausdorffraum]]s ein [[vollständig regulärer Raum]].
* Die Tichonow-Planke ist ein [[lokalkompakter Raum]], da er durch Entfernung eines Punktes aus einem kompakten Raum entsteht.
* Man kann zeigen, dass <math>T</math> nicht [[Normaler Raum|normal]] ist; die beiden [[Disjunktheit|disjunkten]], [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] <math>\{(\omega_1,n);\,n\in \omega\}</math> und <math>\{(\alpha,\omega);\,\alpha \in \omega_1)\}</math> können nicht durch offene Mengen getrennt werden. <math>T</math> ist daher ein Beispiel für einen vollständig regulären, aber nicht normalen Raum.
* <math>T</math> ist Unterraum des kompakten und daher normalen Hausdorffraums <math> [0,\omega_1]\times [0,\omega]</math>. Wir haben daher ein Beispiel für einen nicht-normalen offenen Unterraum eines normalen Raums. Da alle Unterräume [[Vollständig normaler Raum|vollständig normaler Räume]] wieder normal sind, ist <math> [0,\omega_1]\times [0,\omega]</math> auch ein Beispiel für einen nicht vollständig normalen kompakten Raum.
* <math> [0,\omega_1]\times [0,\omega]</math> ist nicht [[Perfekt normaler Raum|perfekt normal]]. Man kann zeigen, dass es keine [[stetige Funktion]] <math>f\colon [0,\omega_1]\times [0,\omega] \rightarrow [0,1] </math> gibt mit <math>f^{-1}(\{1\}) = \{(0,0)\}</math> und <math>f^{-1}(\{0\}) = \{(\omega_1,\omega)\}</math>. Das liegt daran, dass [[Nullstellenmenge]]n stetiger, reellwertiger Funktionen stets <math> G_\delta</math>-Mengen sind, was aber auf <math>\{(\omega_1,\omega)\}</math> nicht zutrifft.

== Siehe auch ==
* [[Dieudonné-Planke]], eine feinere Topologie auf derselben Grundmenge

== Literatur ==
* [[Lynn Arthur Steen]], J. Arthur Seebach: ''Counterexamples in Topology.'' 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1978, ISBN 3-540-90312-7, Example 86, (Reprinted by: Dover Publications, New York NY 1995, ISBN 0-486-68735-X).
* [[Johann Cigler]], [[Hans-Christian Reichel]]: ''Topologie. Eine Grundvorlesung'' (= ''B.I-Hochschultaschenbücher.'' Bd. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, Absatz 4.5.
* [[Andrei Nikolajewitsch Tichonow|Andrei Tychonoff]]: ''Über die topologische Erweiterung von Räumen.'' In: ''[[Mathematische Annalen]].'' Bd. 102, 1930, S. 544–561, {{doi|10.1007/BF01782364}}, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0102 Göttinger Digitalisierungszentrum].

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Trennbarkeit]]

Tichonow-Planke - Versionsgeschichte

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