imported>Peter Gröbner: @Benutzer:Flozo: m. E. besser so

2025-06-11T18:03:45Z

Neue Seite

[[Datei:Thomae function (0,1).svg|mini|200x200px|Graph der thomaeschen Funktion auf (0,1)]]
Die '''thomaesche Funktion''', benannt nach dem deutschen Mathematiker [[Carl Johannes Thomae]] (1840–1921), ist eine [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktion]], die auf den [[Rationale Zahl|rationalen]] Zahlen [[Unstetigkeit|unstetig]] und auf den [[Irrationale Zahl|irrationalen]] stetig ist. Sie ist verwandt mit der [[Dirichlet-Funktion]] und hat wie diese keine praktische Bedeutung, sondern dient als Beispiel für [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] und weitere mathematische Themen.

Weitere Bezeichnungen in Anlehnung an den Graph sind '''Lineal-Funktion''',<ref>„… the so-called ‘ruler function’, a simple but provocative example that appeared in a work of Johannes Karl Thomae … The graph suggests the vertical markings on a ruler – hence the name.“ Zitiert nach William Dunham: ''The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue''. Princeton University Press, 2004, ISBN 978-0-691-09565-3, Chapter 10.</ref> '''Regentropfen-Funktion''', '''Popcorn-Funktion''' (nach [[Popcorn]] in der Pfanne) oder nach [[John Horton Conway]] '''Sterne über Babylon'''.

== Definition ==
Die thomaesche Funktion wird als [[Reelle Zahl|reellwertige]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \colon [0, 1] \rightarrow [0,1]</math> definiert durch:

: <math>f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{q}\ ,&\text{wenn } x=\frac{p}{q} \text{ mit teilerfremden nichtnegativen ganzen Zahlen } p,q,\\
0, &\text{andernfalls}.\end{array}\right.</math>

Die thomaesche Funktion ist ein einfaches Beispiel einer Funktion, deren Menge der Unstetigkeitsstellen kompliziert ist. Genauer gilt: <math>f</math> ist stetig auf allen irrationalen Zahlen in [0,1] und unstetig auf allen rationalen Zahlen dieses Intervalls.

Das kann, grob gesagt, folgendermaßen gezeigt werden: Falls <math>x</math> irrational ist und <math>y</math> nahe bei <math>x</math> liegt, so ist entweder <math>y</math> irrational oder <math>y</math> eine rationale Zahl mit großem Nenner. In beiden Fällen liegt <math>f(y)</math> nahe bei <math>f(x)=0</math>. Ist andererseits <math>x</math> rational und <math>(y_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von irrationalen Zahlen in <math>[0,1]</math>, die gegen <math>x</math> konvergiert, so ist <math>(f(y_n))_{n \in \mathbb{N}} = (0)_{n \in \mathbb{N}}</math>, was nicht gegen <math>f(x) \neq 0</math> konvergiert.

== Verwandte Fragestellung ==
Umgekehrt gibt es jedoch keine Funktion, die stetig auf den rationalen Zahlen und unstetig auf den irrationalen Zahlen ist, denn die Menge der Unstetigkeitsstellen ist stets eine [[F-sigma-Menge|<math>F_\sigma</math>-Menge]] ([[Satz von Young (Mengenlehre)|Satz von Young]]), während aus dem [[Satz von Baire|baireschen Kategoriensatz]] folgt, dass die Menge der irrationalen Zahlen keine <math>F_\sigma</math>-Menge ist.

== Unstetigkeitsstellenmengen ==
Mithilfe einer Variante der thomaeschen Funktion kann man zeigen, dass jede beliebige <math>F_\sigma</math>-Teilmenge <math>A</math> des <math>\mathbb{R}^d</math> auch tatsächlich als Unstetigkeitsstellenmenge einer Funktion <math>f_A\colon \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}</math> vorkommt. Ist nämlich <math>\textstyle A=\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n</math> eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen <math>F_n</math>, so setze man

: <math>f_A(x):=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n}\ ,&\text{falls } x \in A\cap\mathbb{Q}^d \text{ und } n \text{ minimal, so dass } x\in F_n,\\
-\frac{1}{n}\ ,&\text{falls } x\in A\setminus\mathbb{Q}^d \text{ und } n \text{ minimal, so dass}\ x\in F_n\ ,\\
0\ ,&\text{falls } x\notin A.\\\end{array}\right.</math>

Durch ein ähnliches Argument wie bei der thomaeschen Funktion sieht man, dass <math>A</math> die Menge der Unstetigkeitsstellen von <math>f_A</math> ist.

== Literatur ==
* J. Thomae: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN575586591?tify=%7B%22pages%22%3A%5B0%2C1%5D%2C%22view%22%3A%22thumbnails%22%7D Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale], Verlag von Louis Nebert, Halle a/S, 1875. (Die Funktion findet sich in §20 auf Seite 14.)
* Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert: ''Introduction to Real Analysis''. 3. Auflage. Wiley, 1999, ISBN 978-0-471-32148-4, Example 5.1.6 (h).
* Stephen Abbot: ''Understanding Analysis''. Springer-Verlag, Berlin 2001, ISBN 0-387-95060-5.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Thomaesche Funktion - Versionsgeschichte

imported>Peter Gröbner: @Benutzer:Flozo: m. E. besser so