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2020-05-11T20:05:57Z

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Die '''Thom-Vermutung''' ist in der [[Mathematik]] eine inzwischen bewiesene, auf [[René Thom]] zurückgehende Vermutung über [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] in der komplex-projektiven Ebene. Die Vermutung und ihre Verallgemeinerung auf [[symplektische Mannigfaltigkeit]]en waren eine wichtige Motivation bei der Entwicklung analytisch-topologischer Methoden wie den [[Seiberg-Witten-Invariante]]n.

== Hintergrund ==
Glatte [[algebraische Kurve]]n <math>C</math> in der [[Komplexe projektive Ebene|komplex-projektiven Ebene]] sind gegeben durch homogene Polynome. Sie sind komplex 1-dimensionale Mannigfaltigkeiten, also topologische [[Fläche (Mathematik)|Flächen]]. Das [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] einer durch ein Polynom vom Grad <math>d</math> gegebenen algebraischen Kurve berechnet sich nach der Formel
:<math>g = (d-1)(d-2)/2</math>.

== Vermutung ==
Die nach René Thom benannte Thom-Vermutung besagt: Wenn <math>\Sigma</math> eine in die komplex-projektive Ebene eingebettete differenzierbare Fläche ist, die dieselbe [[Homologieklasse]] repräsentiert wie eine durch ein homogenes Polynom vom Grad <math>d</math> gegebene glatte algebraische Kurve, dann erfüllt das Geschlecht <math>g</math> der Fläche <math>\Sigma</math> die Ungleichung

:<math>g \geq (d-1)(d-2)/2</math>.

Insbesondere ist jede algebraische Kurve <math>C</math> eine Fläche minimalen Geschlechts ([[Thurston-Norm]]-minimierende Fläche) in ihrer Homologieklasse.

Man sieht leicht, dass die 2. Homologie der komplex-projektiven Ebene isomorph zu den ganzen Zahlen <math>\mathbb Z</math> ist, glatte algebraische Kurven vom Geschlecht <math>d</math> entsprechen unter diesem Isomorphismus der Zahl <math>d\in\mathbb Z</math>. Die Thom-Vermutung berechnet also die Thurston-Norm (das minimale Geschlecht) für alle Homologieklassen in <math>H_2(\mathbb CP^2)</math>.

== Beweis ==

Wenige Wochen nachdem [[Edward Witten]] die Seiberg-Witten-Invarianten in die Mathematik eingeführt hatte, bewiesen [[Peter B. Kronheimer|Kronheimer]]–[[Tomasz Mrowka|Mrowka]] im Oktober 1994 die Thom-Vermutung mit Hilfe dieser neuen Invarianten.<ref> Kronheimer, P. B.; Mrowka, T. S.: The genus of embedded surfaces in the projective plane. Math. Res. Lett. 1 (1994), no. 6, 797–808</ref>

== Verallgemeinerung ==

Die [[Symplektische Geometrie|symplektische]] Thom-Vermutung besagt, dass symplektische Flächen in [[Symplektische Mannigfaltigkeit|symplektischen]] [[4-Mannigfaltigkeit]]en Flächen minimalen Geschlechts in ihrer Homologieklasse sind. Die Thom-Vermutung ist ein Spezialfall, weil die glatten algebraischen Kurven symplektische Untermannigfaltigkeiten bzgl. der kanonischen symplektischen Struktur auf der komplex-projektiven Ebene sind.

Die symplektische Thom-Vermutung wurde mit Hilfe von Seiberg-Witten-Invarianten durch [[John Morgan (Mathematiker)|Morgan]]–[[Zoltán Szabó (Mathematiker)|Szabó]]–[[Clifford Taubes|Taubes]] für symplektische Flächen nichtnegativer Selbstschnittzahl bewiesen.<ref>Morgan, J. W.; Szabó, Z.; Taubes, C. H.: A product formula for the Seiberg-Witten invariants and the generalized Thom conjecture. J. Differential Geom. 44 (1996), no. 4, 706–788</ref> Den allgemeinen Beweis für die symplektische Thom-Vermutung gaben schließlich [[Peter Ozsváth|Ozsváth]] und Szabó ebenfalls mit Hilfe von Seiberg-Witten-Invarianten.<ref>Ozsváth, P.; Szabó, Z.: The symplectic Thom conjecture. Ann. of Math. (2) 151 (2000), no. 1, 93–124</ref>

Es ist allerdings im Allgemeinen eine schwierige Frage, welche Homologieklassen einer symplektischen Mannigfaltigkeit sich durch symplektische Untermannigfaltigkeiten repräsentieren lassen.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Satz (Algebraische Geometrie)]]
[[Kategorie:Satz (Differentialtopologie)]]

Thom-Vermutung - Versionsgeschichte

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