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2026-02-21T12:34:39Z

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Der '''Thom-Raum''' oder '''Thom-Komplex''', benannt nach [[René Thom]], ist in der [[algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] und [[Differentialtopologie]] ein einem [[Vektorbündel]] zugeordneter topologischer Raum.

== Konstruktion des Thom-Raums ==
Ein k-dimensionales reelles Vektorbündel <math>E</math> über einem [[parakompakt]]en Raum <math>B</math> sei durch

:<math>p \colon E \to B </math>

gegeben. Dann ist für jeden Punkt <math>b</math> der Basis <math>B</math> die Faser <math>F_b</math> des Vektorbündels ein k-dimensionaler reeller Vektorraum. Ein zugehöriges [[Sphärenbündel]] <math>\operatorname{Sph}(E) \to B</math> kann durch separate [[Einpunktkompaktifizierung]] jeder Faser gebildet werden. Aus dem Bündel <math>\operatorname{Sph}(E)</math> erhält man den ''Thom-Komplex'' <math>T(E)</math> indem alle neu hinzugefügten Punkte mit dem Punkt <math>\infty</math> identifiziert werden, dem ''Basispunkt'' von <math>T(E)</math>.

== Thom-Isomorphismus ==
Die Bedeutung des Thom-Raums ergibt sich aus dem Satz über den Thom-Isomorphismus aus der Theorie der [[Faserbündel]] (hier mittels <math>\Z_2</math>-[[Kohomologie]] formuliert, um Komplikationen aus [[Orientierung (Mathematik)|Orientierbarkeitsfragen]] zu vermeiden).

Mit <math>p \colon E \to B </math> wird wie im vorigen Abschnitt ein reelles Vektorbündel bezeichnet. Dann gibt es einen Isomorphismus, den ''Thom-Isomorphismus''
:<math>\Phi \colon {H}^i(B; \mathbf{Z}_2) \to \tilde{H}^{i+k}(T(E); \mathbf{Z}_2)</math>,
für alle <math>i\ge 0</math>, wobei die rechte Seite die [[reduzierte Kohomologie]] ist.

Der Isomorphismus lässt sich geometrisch als ''Integration über die Fasern'' interpretieren. Im Spezialfall eines trivialen Bündels ist <math>T(E)=S^kB_+</math> die <math>k</math>-fache [[Einhängung]] der Basis und der Thom-Isomorphismus folgt aus dem [[Einhängungs-Isomorphismus]] <math>\tilde{H}^i(B)=H^{i+1}(SB)</math>. Der Thom-Isomorphismus gilt auch für [[verallgemeinerte Kohomologietheorie]]n.

Der Satz wurde von [[René Thom]] in seiner Dissertation 1952 bewiesen.

== Thom-Klasse ==
Thom gab auch eine explizite Konstruktion des Thom-Isomorphismus. Dieser bildet das neutrale Element von <math>H^*(B)</math> auf eine Klasse <math>U</math> in der <math>k</math>-ten Kohomologiegruppe des Thom-Raumes ab, die ''Thom-Klasse''. Damit kann man für eine Kohomologieklasse <math>b</math> in der Kohomologie des Basisraums den Isomorphismus über den Rückzug der Bündel-Projektion und das kohomologische [[Cup-Produkt]] berechnen:
:<math>\Phi(b) = p^*(b) \smile U.</math>

Thom zeigte in seiner Arbeit von 1954 weiter, dass die Thom-Klasse, die [[Charakteristische Klasse|Stiefel-Whitney-Klasse]]n und die Steenrod-Operationen miteinander verbunden sind. Weiter zeigte er, dass die [[Kobordismus|Kobordismen]]gruppen als Homotopiegruppen bestimmter Räume <math>MSO(n)</math> berechnet werden können, die selbst als Thom-Räume konstruiert werden können. Sie bilden im Sinne der Homotopietheorie ein Spektrum <math>MSO</math>, genannt ''Thom-Spektrum''. Das war ein wichtiger Schritt zur modernen stabilen Homotopietheorie.

Falls [[Steenrod-Operation]]en definiert werden können, kann man mit ihnen und dem Thom-Isomorphismus Stiefel-Whitney-Klassen konstruieren. Nach Definition sind die Steenrod-Operationen (mod 2) natürliche Transformationen
:<math>Sq^i \colon H^m(-; \mathbf{Z}_2) \to H^{m+i}(-; \mathbf{Z}_2)</math>,
definiert für alle natürlichen Zahlen <math>m</math>. Falls <math>i=m</math> ist, stimmt ''Sq<sup>i</sup>'' mit dem Quadrat des Cup überein. Die <math>i</math>-ten Stiefel-Whitney-Klassen <math>w_i(p)</math> des Vektorbündels <math>p\colon E\to B</math> sind dann gegeben durch:
:<math>w_i(p) = \Phi^{-1}(Sq^i(\Phi(1))) = \Phi^{-1}(Sq^i(U)).\,</math>

== Siehe auch ==

* [[Orthogonales Thom-Spektrum]]
* [[Unitäres Thom-Spektrum]]
* [[Symplektisches Thom-Spektrum]]

== Literatur ==
* [[J. Peter May|J. P. May]]: ''A Concise Course in Algebraic Topology.'' University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1999, ISBN 0-226-51182-0, S. 183–198 (''Chicago Lectures in Mathematics Series'').
* [[Dennis Sullivan]]: ''René Thom's Work on Geometric Homology and Bordism.'' In: ''Bulletin of the American Mathematical Society.'' 41, 2004, S. 341–350, [http://www.ams.org/bull/2004-41-03/S0273-0979-04-01026-2/home.html online ].
* [[René Thom]]: ''Espaces fibrés en sphères et carrés de Steenrod.'' In: ''Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure.'' Sér. 3, 69, 1952, S. 109–182, [http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_1952_3_69__109_0 online].
* René Thom, ''Quelques propriétés globales des variétés differentiables.'' In: ''Commentarii Mathematici Helvetici.'' 28, 1954, S. 17–86, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=213271 online].

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Algebraische Topologie]]
[[Kategorie:Differentialtopologie]]
[[Kategorie:Kompaktifizierung]]

Thom-Raum - Versionsgeschichte

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