2003:CD:274E:6C00:5604:A6FF:FE7F:F584 am 23. Juli 2023 um 15:24 Uhr

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Der '''Theil-Index''' gehört zu der Klasse der [[Ungleichverteilungsmaß]]e und wurde von dem Ökonometriker [[Henri Theil]] entwickelt. Er dient der [[statistisch]]en Beschreibung von [[Einkommensverteilung|Einkommens-]] und [[Vermögensverteilung]]en.

Der Theil-Index kann zur Beschreibung der Ungleichheit innerhalb und zwischen Gruppen zerlegt werden. Diese Zerlegbarkeit ist ein wichtiger Unterschied zu dem [[Gini-Koeffizient]], einem populäreren Ungleichheitsmaß.<ref>{{Literatur |Autor=Paul D. Allison |Titel=Measures of Inequality |Sammelwerk=American Sociological Review |Band=63 |Nummer=6 |Datum=1978-12 |Seiten=877}}</ref>

== Definition ==
Für <math>n</math> Personen mit Einkommen <math>y_1, \dots, y_n</math> ist das Durchschnittseinkommen <math>\mu= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i </math>
und es werden Theil-Indizes <math>T_L, T_T, T_S</math> unter der Konvention <math>0 \cdot \ln{0} = 0</math> wie folgt definiert:

:<math>
T_T=T_{\alpha=1}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\mu} \cdot \ln{\frac{y_i}{\mu}} \right)
</math>

:<math>
T_L=T_{\alpha=0}=MLD=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( \ln{\frac{\mu}{y_i}} \right)
</math>

:<math>
T_S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left[\frac{1}{2}\left(\frac{y_i}{\mu} - 1\right)\ln(y_i) \right]
</math>

MLD steht hierbei für ''mean log deviation''.
Es gelten dabei die Beziehungen

:<math>T_L(y)=T_T\left(\frac{1}{y}\right)</math>

:<math>T_S=\frac{T_T+T_L}{2}</math>

:<math>0\leq T_L</math>

:<math>T_L=0 \quad \Leftrightarrow \quad T_T=0\quad \Leftrightarrow \quad T_S=0 \quad \Leftrightarrow \quad y_i=\mu \quad \text{für alle } i</math>

:<math>T_T=\ln(n)\quad \Leftrightarrow \quad y_i=n\mu \quad \text{für ein } i</math>

:<math>T_S(y)=T_S\left(\frac{1}{y}\right)</math>

== Beziehungen/Ableitungen ==

[[Claude Shannon]] entwickelte sein Entropie-Maß aus der [[Wahrscheinlichkeit]] des Auftretens eines Ereignisses.
Theil leitete seinen Index daraus ab. Der Theil-Index kann als die Wahrscheinlichkeit verstanden werden, mit der ein von einer Bevölkerung entnommener Euro von einem bestimmten Individuum stammt. Das ist das Gleiche wie der erste Ausdruck: Der Anteil eines Individuums am Gesamteinkommen.

Ist <math>S</math> das Shannons-Maß, so gilt

:<math>
T=\ln(N)-S
</math>.

<math>e^T</math> ist ein Gleichverteilungsmaß, mit dazugehörigem [[Ungleichverteilungsmaß]] <math>\left(1-e^T\right)</math>.

== Zerlegbarkeit ==
Der Theil-Index aggregiert die gewichtete Summe der Ungleichheiten von Untergruppen. So kann damit zum Beispiel die [[Vermögensverteilung in Deutschland|Ungleichverteilung in Deutschland]] aus den Ungleichverteilungen in den Ländern berechnet werden.

Wenn die Bevölkerung in <math>m</math> Untergruppen aufgeteilt werden kann und <math>s_k</math> der Einkommensanteil einer Untergruppe <math>k</math> am Gesamteinkommen ist, dann beschreibt <math>T_k</math> die Ungleichverteilung in der Untergruppe und <math>\overline{x}_k</math> ist das durchschnittliche Einkommen der Untergruppe <math>k</math>. Der Theil-Index <math>T_k</math> ist dann

:<math>
T = \sum_{k=1}^m s_k T_k + \sum_{k=1}^m s_k \ln{\frac{\overline{x}_k}{\overline{x}}}
</math>.

So beschrieben, ist der Theil-Index <math>T_k</math> dann der „Beitrag“ der Untergruppe zur Ungleichverteilung in der gesamten Gruppe.

== Literatur ==
* Henri Theil: ''The Information Approach to Demand Analysis.'' In: ''[[Econometrica]].'' Vol. 33, Nr. 1, Januar 1965, {{ISSN|0012-9682}}, S. 67–87 ({{JSTOR|1911889}})

== Weblinks ==
* Pedro Conceição, Pedro Ferreira: [https://www.researchgate.net/publication/228279075_A_Young_Person%27s_Guide_to_the_Theil_Index_Suggestive_Intuitive_Interpretations_and_Exploring_Analytical_Applications ''The Young Person’s Guide to the Theil Index: Suggesting Intuitive Interpretations and Exploring Analytical Applications.''] (PDF; 1,4 MB). UTIP Working Paper Number 14, Februar 2000.
* [http://utip.lbj.utexas.edu/tutorials.html ''University of Texas Inequality Project.''] Tutorials mit Schwerpunkt auf dem Theil Index (englisch).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Volkswirtschaftliche Kennzahl]]
[[Kategorie:Einkommen]]
[[Kategorie:Ökonometrie]]
[[Kategorie:Makroökonomie]]

Theil-Index - Versionsgeschichte

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