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2025-06-17T12:38:09Z

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{{Infobox Polyeder
|Name=Tetraederstumpf
|Bild=Truncatedtetrahedron.svg
|Bildtext= Tetraederstumpf ([[:Datei:Truncatedtetrahedron.gif|Animation]])
|Flächen= 8
|Flächentyp= 4 × [[Datei:Polig 03.svg|20px]]; 4 × [[Datei:Polig 06.svg|20px]]
|Ecken= 12
|Eckentyp= 12 × {3.6.6}
|Kanten= 18
|Symmetriegruppe= [[Tetraedergruppe]] <math>T_d</math>
|Schläfli= t{3,3}
|Dual= [[Triakistetraeder]]
|Netz=Truncated tetrahedron flat.svg
|Netztext=Faltvorlage
}}
[[Datei:Truncated tetrahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Tetraederstumpfs]]
Der '''Tetraederstumpf''' (''abgestumpftes Tetraeder'' oder '''Friauf-Polyeder''') ist ein [[Polyeder]] ''(Vielflächner),'' das zu den [[Archimedische Körper|archimedischen Körpern]] zählt und durch Abstumpfung der Ecken eines [[Tetraeder]]s entsteht. Anstatt der vier Ecken des Tetraeders befinden sich nun dort vier gleichseitige [[Dreieck]]e, die dreieckigen Flächen des Tetraeders werden zu regelmäßigen [[Sechseck]]en. Die Friauf-Polyeder sind nach dem Physiker und Chemiker James Byron Friauf (1896–1972) benannt.

Für den Tetraederstumpf gilt die Besonderheit, dass sämtliche Verbindungslinien zwischen den Mittelpunkten angrenzender Flächen gleich lang sind: sie haben alle die Länge ''a'' und formen drei gleich große Tetraeder, die einen vierten gleicher Größe vollständig umschließen.

Der zum Tetraederstumpf [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] ist das [[Triakistetraeder]].

== Formeln ==
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Tetraederstumpfs mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math>V = \frac{23}{12}\,a^3 \sqrt{2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math>A_O = 7\,a^2\sqrt{3} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Umkugel]]radius'''
| <math>R = \frac{a}{4} \sqrt{22} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math>r = \frac{3}{4}\,a\,\sqrt{2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. Flächenwinkel  ([[Sechseck|Hexagon]]–Hexagon)  ≈ 70° 31′ 44″'''
| <math> \cos \, \alpha_1 = \frac{1}{3} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Flächenwinkel  (Hexagon–[[Dreieck|Trigon]])  ≈ 109° 28′ 16″'''
| <math> \cos \, \alpha_2 = -\frac{1}{3} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Ecken[[raumwinkel]]  ≈ 0,6082 π'''
| <math> \cos \, \Omega = -\frac{1}{3} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,77541'''
| <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {2\,116 \,\pi}} {14 \sqrt{3}} </math>
|}

== Kartesische Koordinaten ==
Die [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] der Eckpunkte können lauten, bei Mittelpunkt im Ursprung:
: (±3, ±1, ±1),
: (±1, ±3, ±1),
: (±1, ±1, ±3),
wobei von diesen 24 Koordinaten jene 12 auszuwählen sind, die eine ungerade Zahl an Pluszeichen (1 oder 3) und damit eine gerade an Minuszeichen (2 oder 0) haben, oder umgekehrt.

== Friauf-Polyeder ==
Der Name '''Friauf-Polyeder''' für den Tetraederstumpf geht zurück auf den Chemiker [[James B. Friauf]], der dieses Polyeder als Grundlage des Aufbaus von MgZn2 beschrieb.<ref>{{Webarchiv |url=http://laves.mpie.de/laves_phases.html |wayback=20100619130859 |text=mpie.de Max-Planck-Institut für Eisenforschung}}</ref><ref>[http://resolver.caltech.edu/CaltechETD:etd-11112004-102634 resolver.caltech.edu]</ref> Das Friauf-Polyeder ist ein typisches [[Koordinationspolyeder]] mit der [[Koordinationszahl]] 12 in [[Intermetallische Verbindung|intermetallischen Verbindungen]] wie den [[Laves-Phase]]n. In MgNi2 beispielsweise wird das [[Magnesium]] von 12 [[Nickel]]atomen in Form eines Friauf-Polyeders umgeben. Die nächsten vier benachbarten Magnesiumatome umgeben das zentrale Magnesiumatom des Friauf-Polyeders in Form eines Tetraeders und befinden sich genau über den Sechsecken, sie werden auch als ''Kappen'' bezeichnet. Für dieses vierfach überkappte Friauf-Polyeder ergibt sich somit eine Koordinationszahl von 12 + 4 = 16.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Truncated tetrahedron|Tetraederstumpf}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|TruncatedTetrahedron|Abgestumpftes Tetraeder}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Archimedische Körper}}

[[Kategorie:Archimedischer Körper]]

Tetraederstumpf - Versionsgeschichte

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