imported>Dorschleber: /* z-Statistik */

2023-07-10T16:54:28Z

z-Statistik

Neue Seite

Eine '''Teststatistik''', auch '''Prüfgröße''',<ref name="Tschirk67" /> '''Testgröße'''<ref name="Bosch178" />, '''Testprüfgröße''' oder '''Prüffunktion''' genannt, ist eine spezielle [[reellwertige Funktion]] in der [[Testtheorie (Statistik)|Testtheorie]], einem Teilgebiet der [[mathematische Statistik|mathematischen Statistik]]. Teststatistiken werden als Hilfsfunktionen bei der Definition von [[Statistischer Test|statistischen Tests]] verwendet. So wird beispielsweise bei einem [[Hypothesentest]] die [[Nullhypothese]] abgelehnt, wenn die Teststatistik über oder unter einem vorher festgelegten Zahlenwert liegt.

== Definition ==
Gegeben sei eine Funktion
:<math> T \colon \mathcal X \to \R \;,</math>
die auf dem [[Stichprobenraum]] <math>\mathcal X</math>, der Menge aller möglichen Stichprobenwerte einer [[Stichprobenvariable]]n <math> X</math>, definiert ist,
sowie ein [[statistischer Test]]
:<math> \varphi \colon \mathcal X \to [0,1] </math>,
der durch
:<math> \varphi(X)=\begin{cases} 1 & \text{ falls } \quad T(X) > k \\ 0 & \text{ falls } \quad T(X) \leq k \end{cases} </math>
definiert ist.

Hierbei ist <math>k</math> eine feste Zahl, die auch der [[Kritischer Wert (Statistik)|kritische Wert]] genannt wird. Dann wird die Zufallsvariable <math> T </math> eine Teststatistik genannt.<ref>{{Literatur |Titel=Testtheorie |Autor= |Hrsg=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

Die Definition gilt ebenso für [[randomisierter Test|randomisierte Tests]] sowie Varianten der obigen Definition des Tests. Dazu gehört unter anderem das Vertauschen oder Abändern von Ungleichheitszeichen und Vertauschen von null und eins.

== Beispiele ==
=== z-Statistik ===
{{Hauptartikel|Standardisierung (Statistik)}}
Unter Verwendung der Abkürzung
:<math>\overline X = \frac 1n \left(X_1+X_2+ \ldots + X_n \right)</math>
für das [[Stichprobenmittel]] ist eine typische Teststatistik auf <math>\mathcal X =\R^n</math> gegeben durch die [[Standardisierung (Statistik)|z-Statistik]]
:<math>T(X)= \sqrt{n} \cdot \frac{\overline X - \mu}{\sigma}</math>

Hierbei ist <math>\sigma</math> eine positive Zahl und <math>\mu</math> eine beliebige reelle Zahl. Diese Teststatistik findet beispielsweise bei den [[Gauß-Test]]s Anwendung. Dabei wird ausgenutzt, dass die Teststatistik [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]] ist, d. h. <math>T \sim \mathcal N(0,1)</math>, wenn die [[Stichprobenvariable]]n <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math> normalverteilt sind mit [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma^2</math>.<ref name="Rüschendorf195" />

=== t-Statistik ===
{{Hauptartikel|t-Statistik}}

Bezeichnet man mit
:<math> V^*(X)= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\overline X )^2</math>

die [[korrigierte Stichprobenvarianz]], so ist eine weitere wichtige Teststatistik auf <math> \mathcal X =\R^n </math> gegeben durch
:<math> T(X)= \sqrt n \cdot \frac{\overline X-\mu}{\sqrt{V^*(X)}} </math>.

Hierbei ist wieder <math> \mu </math> eine beliebige reelle Zahl. Diese Teststatistik findet bei dem [[Einstichproben-t-Test]] Anwendung. Dabei wird ähnlich zum obigen Beispiel ausgenutzt, dass wenn die Stichprobenvariablen normalverteilt sind mit Varianz <math> \sigma^2 </math> und Mittelwert <math> \mu </math>, die Teststatistik [[Studentsche t-Verteilung|t-verteilt]] ist mit <math>(n-1)</math> [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]]. Es gilt dann <math> T \sim \mathbf t_{n-1} </math>.<ref name="Georgii 282" />

=== Chi-Quadrat-Summe ===
Eine dritte wichtige Teststatistik ist
:<math> T(X):= \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2</math>

Dabei ist <math> \mu \in \R </math> und <math> \sigma > 0 </math>. Sie wird beispielsweise beim [[Chi-Quadrat-Test]] für die Varianz verwendet. Dabei wird genutzt, dass <math> T </math> [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilt]] ist, wenn die Stichprobenvariablen normalverteilt sind mit Erwartungswert <math> \mu </math> und Varianz <math> \sigma^2 </math>.<ref name="Rüschendorf195" />

== Vorteile ==
Betrachtet man einen Test <math> \varphi </math> und bezeichnet mit <math> \operatorname E_{\vartheta} </math> die Bildung des Erwartungswertes bezüglich einer Wahrscheinlichkeitsverteilung <math> P_\vartheta </math>, so treten in der Testtheorie häufig Ausdrücke der Form
:<math> \operatorname E_{\vartheta_0}(\varphi) </math> oder <math>1- \operatorname E_{\vartheta_1}(\varphi) </math>

auf. Dabei entspricht der erste Ausdruck dem [[Fehler 1. und 2. Art#Fehler 1. Art|Fehler 1. Art]] und der zweite dem [[Fehler 1. und 2. Art#Fehler 2. Art|Fehler 2. Art]], wenn <math> \vartheta_0 </math> in der [[Nullhypothese]] ist und <math> \vartheta_1 </math> in der Alternative. Im Allgemeinen sind solche Ausdrücke schwer zu berechnen, da der Test <math> \varphi </math> selbst wenig Struktur besitzt.

Geht man nun von einem [[nichtrandomisierter Test|nichtrandomisierten Test]] <math> \varphi </math> aus (der [[randomisierter Test|randomisierte Fall]] folgt mit leichten Anpassungen), so lässt sich der Test schreiben als
:<math> \varphi(X)=\mathbf 1_{A}(X) </math>.

Hierbei ist <math> A </math> der [[Ablehnbereich]] des Tests und <math> \mathbf 1_A(X) </math> die [[Indikatorfunktion]] auf der Menge <math> A </math>. Mit dieser Schreibweise folgt dann insbesondere
:<math> \operatorname E_\vartheta(\varphi)=P_\vartheta(A) </math>

(siehe auch [[Indikatorfunktion#Verwendung zur Berechnung von Erwartungswert, Varianz und Kovarianz|Verwendung zur Berechnung von Erwartungswert, Varianz und Kovarianz]]).

Ist der Test nun durch eine Teststatistik <math> T </math> definiert, also beispielsweise durch
:<math> \varphi(X)=\begin{cases} 1 & \text{ falls }\quad T(X) > k \\ 0 & \text{ falls }\quad T(X) \leq k \end{cases} </math>,

so ist der Ablehnbereich von der Form
:<math> A= \{ X \in \mathcal X \mid T(X) > k \} </math>.

Damit reduziert sich aber die Bestimmung des Erwartungswertes des Tests zu
:<math> \operatorname E_\vartheta(\varphi)= P_\vartheta(A) =P_{\vartheta}( \{ X \in \mathcal X \mid T(X) > k \}) </math>.

Damit lässt sich der Erwartungswert des Tests direkt bestimmen, wenn die Verteilung der Teststatistik bekannt ist. Wie die drei obigen Beispiele zeigen ist dies bei vielen wichtigen Tests der Fall.

Die einfachere Berechnung des Erwartungswertes über die Verteilung der Teststatistik wird auf verschiedene Weisen verwendet. Einerseits bei [[Hypothesentest]]s vor der Datenauswertung, um den [[kritischer Wert (Statistik)|kritischen Wert]] <math> k </math> so anzupassen, dass der Test den gewünschten Fehler erster Art einhält. Andererseits bei [[Signifikanztest]]s nach der Datenauswertung zur Bestimmung des [[p-Wert]]es. Somit erleichtern Teststatistiken den Umgang und die Konstruktion von Tests.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Tschirk67" > {{Literatur |Autor=Wolfgang Tschirk |Titel=Statistik: Klassisch oder Bayes |TitelErg=Zwei Wege im Vergleich |Auflage=1. Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-54384-5 |Seiten=67|DOI=10.1007/978-3-642-54385-2}} </ref>
<ref name="Bosch178" > {{Literatur |Autor=Karl Bosch |Titel=Elementare Einführung in die angewandte Statistik |Auflage=8. |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2005|Seiten=178}} </ref>
<ref name="Rüschendorf195" > {{Literatur|Autor=Ludger Rüschendorf|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-41996-6|Seiten=195|DOI=10.1007/978-3-642-41997-3}}</ref>
<ref name="Georgii 282" > {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |Seiten=282|DOI=10.1515/9783110215274}}</ref>
</references>

[[Kategorie:Testtheorie]]

Teststatistik - Versionsgeschichte

imported>Dorschleber: /* z-Statistik */