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Als '''Testfunktionen''' bezeichnet man in der [[Mathematik]] gewisse Typen von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], die in der [[Distribution (Mathematik)|Distributionentheorie]] eine wesentliche Rolle spielen. Üblicherweise fasst man Testfunktionen eines bestimmten Typs zu einem [[Vektorraum]] zusammen. Die zugehörigen Distributionen sind dann lineare [[Funktional]]e auf diesen Vektorräumen. Ihr Name rührt daher, dass man die Distributionen (im Sinne linearer [[Abbildung (Mathematik)|Abbildungen]]) auf die Testfunktionen anwendet und dadurch ''testet''<ref>{{Literatur | Autor = Dirk Werner | Titel = Funktionalanalysis | Jahr = 2000 | Verlag = Springer-Verlag | Ort = Berlin| ISBN = 3-540-21381-3 | Seiten = 426 }}</ref>.

Es gibt verschiedene Arten von Testfunktionen. In der mathematischen Literatur werden häufig der Raum der [[Glatte Funktion|glatten Funktionen]] mit kompaktem Träger oder der [[Schwartz-Raum]] als Testfunktionenraum bezeichnet.

Testfunktionen spielen eine wichtige Rolle in der [[Funktionalanalysis]], etwa bei der Einführung des Begriffs der [[schwache Ableitung|schwachen Ableitung]], sowie in der Theorie der [[Differentialgleichung]]en. Ihre Ursprünge liegen in der [[Physik]] und den [[Ingenieurwissenschaften]] (mehr dazu im Artikel [[Distribution (Mathematik)]]).

== Glatte Funktionen mit kompaktem Träger ==
=== Definition ===
Eines der häufigsten Beispiele für einen Testfunktionenraum ist die Menge
:<math> C_c^{\infty}(\Omega) = \{ \phi \in C^{\infty}(\Omega) \,|\, \operatorname{supp}\,(\phi)\mathrm{~ist~kompakte~Teilmenge~von~} \Omega \}, </math>
[[Datei:Bump2D illustration.png|rechts|miniatur|Der Graph einer Testfunktion in zwei Variablen]]
[[Datei:Mollifier illustration.png|rechts|miniatur|Die Funktion <math>\phi_b</math> für b = 1]]
also der Raum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die einen [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Träger (Mathematik)|Träger]] haben, das heißt außerhalb einer kompakten Menge gleich null sind.

Um den Raum der Testfunktionen zu erhalten, wird auf diesem [[Funktionenraum]] noch eine [[Topologischer Raum|Topologie]] definiert. Diese Topologie erhält man aus einem Konvergenzbegriff, der auf diesem Raum definiert wird. Eine [[Funktionenfolge]]
<math> (\phi_j)_{j\in \mathbb{N}} </math>
mit
<math>\phi_j \in C_c^\infty(\Omega)</math>
konvergiert gegen <math>\ \phi</math>, wenn es ein Kompaktum
<math>K \subset \Omega</math>
gibt mit
<math>\operatorname{supp}(\phi) \subset K </math>,
<math>\operatorname{supp}(\phi_j) \subset K </math>
für alle <math>j</math> und
:<math>
\lim_{j \rightarrow \infty} \sup_{x\in K}
\left|
\frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha}
\left( \phi_j - \phi \right)(x)
\right| = 0
</math>
für alle [[Multiindex|Multiindizes]] <math>\alpha \in \N^n</math> gilt.

Der Raum <math>C_c^\infty(\Omega)</math>, zusammen mit diesem Konvergenzbegriff, wird in der Literatur häufig mit <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> notiert.

=== Beispiele ===
Ein Beispiel einer Testfunktion mit kompaktem Träger <math>[-b,b]</math> ist
:<math>\phi_{b}(x):=\begin{cases}\exp\frac{b^{2}}{x^{2}-b^{2}} & |x|<b\\0 & |x|\geq b.\end{cases}</math>

Ein weiteres Beispiel ist die Familie von <math>\mathcal C^\infty</math>-Funktionen mit Träger <math>[0,r]</math> (<math>r>0</math>)
:<math> g_r(x):= f(x)\cdot f(r-x), \text{ wobei } f(x):=\begin{cases}0 & x \le 0 \\ \exp \left( -\frac 1x \right) & x > 0\end{cases}</math>
[[Datei:Bump function.png|mini|Plots von <math>g_r</math>]]

=== Eigenschaften ===
Beliebige Ableitungen von <math>\phi \in C_c^{\infty}(\Omega)</math> liegen ebenfalls in <math>C_c^{\infty}(\Omega)</math>. Das liegt an der Eigenschaft <math>\phi \in C^{\infty}(\Omega)</math> und an der Tatsache, dass der Träger einer Funktion den Träger ihrer Ableitung enthält.

Sei <math>\Omega \subset \R^n</math> eine [[Offene Menge|offene Teilmenge]] von <math>\R^n</math>.
* Dann ist der Testfunktionenraum ein [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexer Vektorraum]], genauer ein [[(LF)-Raum]].
* Der Testfunktionenraum <math>\mathcal{D}(\Omega)</math> erfüllt die [[Satz von Heine-Borel|Heine-Borel-Eigenschaft]].
* Der Raum <math>\mathcal{D}(\R^n)</math> ist ein Unterraum des [[Schwartz-Raum]]s. Er liegt sogar [[Dichte Teilmenge|dicht]] im Schwartz-Raum und ist somit auch dicht in [[Lp-Raum|<math>L^p(\R^n)</math>]] für <math>1 \leq p < \infty</math>.<ref>{{Literatur | Autor = Man Wah Wong | Titel = An introduction to pseudo-differential operator | Jahr = 1999 | Verlag = World Scientific | Ort = River Edge, N.J. | ISBN = 978-981-02-3813-1 | Seiten = 10–11 }}</ref>

== Schwartz-Raum ==
{{Hauptartikel|Schwartz-Raum}}

Ein weiterer Raum, der häufig als Testfunktionenraum bezeichnet wird, ist der Raum der schnell fallenden Funktionen, auch bekannt als der ''Raum der schwartzschen Testfunktionen'' oder ''Schwartz-Raum''. Sein Dualraum heißt [[Temperierte Distribution|Raum der temperierten Distributionen]] und wird mit <math>\mathcal{S}'(\R^n)</math> notiert.

== Raum der glatten Funktionen ==
{{Hauptartikel|Glatte Funktion}}

Der Raum der glatten Funktionen auf <math>\R^n</math> zusammen mit ihrer [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Topologie]], die durch die Familie von [[Halbnorm]]en
:<math>
f \in C^\infty(D) \mapsto \sum_{|\alpha| = m} \sup_{x\in K} \left| \frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha} f(x) \right|
</math>
induziert wird, findet auch Anwendung als Testfunktionenraum. Dieser Raum wird mit <math>\mathcal{E}(\R^n)</math> notiert. Sein Dualraum <math>\mathcal{E}'(\R^n)</math> ist der Raum der [[Distribution mit kompaktem Träger|Distributionen mit kompaktem Träger]].<ref>[[Lars Hörmander]]: ''The Analysis of Linear Partial Differential Operators.'' Band 1: ''Distribution Theory and Fourier Analysis.'' Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 256), S. 44–45.</ref>

== Sobolev-Räume ==
{{Hauptartikel|Sobolev-Raum}}

Auch der Sobolev-Raum <math>H^k(\R^n)</math> für eine beliebige reelle Zahl <math>k>0</math> kann als Testfunktionenraum aufgefasst werden. Dieser Unterraum von <math>L^2(\R^n)</math> ist ebenfalls ein [[Hilbertraum]]. Bezüglich der [[Duale Paarung|dualen Paarung]] <math>\textstyle (u,v) := \int_{\R^n} u(x)\overline{v(x)} \mathrm{d} x</math> ist allerdings <math>H^{-k}(\R^n) \subset \mathcal{S}'(\R^n)</math> der entsprechende Distributionenraum.

== Der Satz von Riesz-Markov ==
Mit Hilfe des [[Darstellungssatz von Riesz-Markow|Darstellungssatzes von Riesz-Markow]] lässt sich der Dualraum des Raums der stetigen Funktionen auf einem kompakten Definitionsbereich <math>K</math> schreiben als
:<math>(C(K))^\prime\cong M(K),</math>
wobei <math>M(K)</math> der Raum der regulären Borelmaße ist. Die Isomorphie ist dadurch gegeben, dass ein Funktional <math>I:C(K)\rightarrow\Complex,</math> stets in der Form
:<math>I(f)=\int f(x) d\mu(x),\quad\mu\in M(K),</math>
geschrieben werden kann. Die Integralschreibweise legt nahe, dass es auch für diese beiden Räume möglich ist, Distributionentheorie zu betreiben.

== Allgemeinere Testfunktionenräume ==
Prinzipiell lässt sich das Konzept von Testfunktionen und Distributionen auf andere Beispiele übertragen, in denen man einen Funktionenraum und seinen [[Dualraum]] zur Verfügung hat. Der Grundgedanke besteht darin, dass man einen Vektorraum <math>\mathcal{D}</math> von Funktionen betrachtet. Da man häufig auf Begriffe wie [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] zurückgreifen möchte, sollte der Vektorraum ein [[topologischer Vektorraum]] oder besser noch ein [[lokalkonvexer Raum]] sein. Die Distributionen, die zu dem Raum <math>\mathcal{D}</math> gehören sind dann Elemente des [[Dualraum#Topologischer Dualraum|topologischen Dualraums]] <math>\mathcal{D}^\prime</math>.

Mit Hilfe der [[duale Paarung|dualen Paarung]] kann man das Anwenden einer Distribution <math>T\in\mathcal{D}^\prime</math> auf eine Testfunktion <math>f\in\mathcal{D}</math> in der Form
:<math>T(f)=\langle f,T\rangle</math>
schreiben. Die Notation erinnert stark an ein [[Skalarprodukt]], und in der Tat denkt man dabei häufig an das [[Quadratintegrierbar#Der Hilbertraum L2|<math>L^2</math>-Skalarprodukt]], so dass man (formal) auch
:<math>T(f)=\langle f,T\rangle=\int f(x)T(x)dx</math>
schreibt (beachte, dass <math>T</math> keine Funktion ist und das Integral daher nicht immer [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]] ist). Damit diese Interpretation einen Sinn ergibt, verlangt man in aller Regel, dass der Raum <math>\mathcal{D}</math> ein stetig eingebetteter Teilraum eines Vektorraums integrierbarer Funktionen ist, z. B. <math>L^1(\R^n),L^2(\R^n)</math> oder <math>L^1_{lok}(\R^n)</math>.

== Literatur ==
* Hui-Hsiung Kuo: ''White Noise Distribution Theory'', CRC Press, 1996, ISBN 0-8493-8077-4.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Distributionentheorie]]

Testfunktion - Versionsgeschichte

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