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Das '''Ternärsystem''', '''3-adische System''', auch '''Dreiersystem''' und selten '''triadisches System''' genannt, ist ein [[Stellenwertsystem]] zur Basis 3. Es kommt in drei Spielarten vor, als gewöhnliches Ternärsystem mit den Ziffern 0, 1 und 2 sowie als ''balanciertes Ternärsystem'' mit den Ziffern 0, 1 und −1; von eher theoretischem Interesse ist das [[Stellenwertsystem#Negative Basen|''negaternäre System'']] mit der negativen Basis −3 und den Ziffern 0, 1 und 2.

Eine ternäre Ziffer wird auch als '''Trit''' (in Analogie zum [[Bit]]) und entsprechende eine Gruppe aus sechs Trits als '''Tryte''' bezeichnet. Im Jahr [[1958]] wurde in der [[Sowjetunion]] der [[Ternärer Computer|ternäre Computer]] [[Setun]] entwickelt, der mit ternären Zahlen rechnete.<ref>[[Nikolai Petrowitsch Brussenzow|Nikolay Petrovich Brusentsov]], José Ramil Alvarez: [https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-642-22816-2_10.pdf ''Ternary Computers: The Setun and the Setun 70'']. In: J. Impagliazzo, E. Proydakov (Hrsg.): ''SoRuCom 2006, IFIP AICT 357''. IFIP International Federation for Information Processing 2011, S. 74–80 (abgerufen am 9. Mai 2016).</ref>

== Gewöhnlich ==
Eine Zahl wird im '''gewöhnlichen Ternärsystem''' durch eine Kombination der Ziffern 0, 1 und 2 dargestellt. Da Verwechslungen mit anderen Zahlendarstellungen, besonders mit dem [[Dezimalsystem]] auftreten können, wird eine Ternärzahl durch eine angehängte tiefgestellte 3 gekennzeichnet. Die einer Ternärzahl entsprechende Dezimalzahl kann wie im folgenden Beispiel errechnet werden:

:<math>
[112]_3 = 1 \cdot 3^2 + 1 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0 = [14]_{10}.
</math>
Löst man die [[Potenz (Mathematik)|Potenzen]] auf, dann sieht die Gleichung so aus:

:<math>
[112]_3 = 1 \cdot 9 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = [14]_{10}.
</math>

Die entsprechende, allgemeine Formel lautet

:<math>Z = \sum_{i=-n}^m z_i \cdot 3^i</math>.

Hierbei ist <math>z_i</math> die Ternärziffer an der Stelle <math>i</math> (also entweder 0, 1 oder 2), <math>n</math> die Anzahl der Nachkommastellen und <math>m</math> die Nummer der höchsten Stelle. <math>Z</math> ist dann das Ergebnis, also der Wert der Ternärzahl. Diese Formel ist das gleiche wie die erste und die zweite lineare Formel im Artikel, nur eben anders dargestellt.

Weitere Beispiele von Zahlen im Ternärsystem und ihrer Entsprechung im Dezimalsystem:
* 123 = 5
* 1123 = 14
* 1213 = 16

Man kann Zahlen im gewöhnlichen ternären System, wie Zahlen in anderen Stellenwertsystemen auch, zum Verständnis gut in einer Tabelle darstellen. Die Ziffer in einem Feld gibt an, wie oft die Zahl des Spaltennamens gezählt wird. Steht zum Beispiel in einem Feld der Spalte "3" eine "2", so muss man "2∙3" rechnen, bei "1" unter "27" einfach "1∙27". Am Ende zählt man alle Einzelergebnisse der Zwischenrechnungen ("2∙3", "1∙27") zusammen und erhält die dezimale Zahl. Nullen die links der ersten 1 oder 2 stehen (führende Nullen), werden in der üblichen Schreibweise (Spalte ''zusammengesetzte Ternärzahl'') nicht aufgeschrieben.

{| class="wikitable"
|+
! Zahl in Dezimal !! 27 (33) !! 9 (32) !! 3 (31) !! 1 (30) !! zusammengesetzte Ternärzahl
|-
| style="text-align:center;"| 32 || 1 || 0 || 1 || 2 || style="text-align:center;"| 1012
|-
| style="text-align:center;"| 46 || 1 || 2 || 0 || 1 || style="text-align:center;"|1201
|-
| style="text-align:center;"| 3 || 0 || 0 || 1 || 0 || style="text-align:center;"|10
|-
| style="text-align:center;"| 7 || 0 || 0 || 2 || 1 || style="text-align:center;"|21
|-
| style="text-align:center;"| 5 || 0 || 0 || 1 || 2 || style="text-align:center;"|12
|-
| style="text-align:center;"| 14 || 0 || 1 ||1 || 2 || style="text-align:center;"|112
|}

== Balanciert ==
Eine Zahl im '''balancierten Ternärsystem'''<ref>[[#Knuth1|Knuth]]</ref> wird durch eine Kombination der Ziffern 0, 1 und −1 dargestellt. Die Ziffer −1 wird in diesem Artikel durch 1 wiedergegeben, eine andere Wiedergabe ist der Buchstabe T, oder auch eine umgestülpte (um 180° gedrehte) Ziffer 1: "1"<ref name="setun">{{cite book|title=Programming|year=1963|location=Moscow|author=N.A.Krinitsky |editor=M.R.Shura-Bura|language=ru|chapter=Chapter 10. Program-controlled machine [[Setun]]}}</ref>. Falls Verwechslungen auftreten können, wird eine balancierte Ternärzahl durch ein angehängtes tiefgestelltes "3bal" gekennzeichnet.

Beispiele für Zahlen im balancierten Ternärsystem und ihrer Entsprechung im Dezimalsystem:
* 111 3bal = 5
* 110 3bal = 6

Im balancierten Ternärsystem braucht man kein [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]. Um zur negativen Zahl überzugehen, vertauscht man alle Ziffern 1 mit 1 und alle Ziffern 1 mit 1.

: 1113bal = −5

Das [[Vorzeichen (Zahl)#Vorzeichenfunktion|Vorzeichen]] <math>\sgn</math> einer Zahl ist dasjenige ihrer höchstwertigen ternären Ziffer:
: <math>\sgn</math>(1113bal) = 13bal = −1dez.

Auch hier kann man, wie für das gewöhnliche Ternärsystem gezeigt, die entsprechende Dezimalzahl ausrechnen:

: 110 3bal = 1·32 + (−1)·31 + 0·30 = 1·9 + (−1)·3 + 0·1 = 6dez.

Genau die Zahlen, die eine ganze Zahl plus 1/2 mal eine Potenz von 3 sind, haben ''zwei'' Darstellungen, so z. B.
: 0,{{Oberstrich|1}} 3bal = 1,{{Oberstrich|1}} 3bal = 1/2,
dabei bedeutet der Überstrich, dass die Gruppe der Ziffern darunter (die [[Periodische Folge|Periode]]) bis ins Unendliche zu wiederholen ist. Anders als bei den gewöhnlichen Stellenwertsystemen zur Basis <math>b</math>, bei denen genau die abbrechenden Darstellungen <math>\Z b^{\Z}\!\setminus\!\{0\}</math> zwei verschiedene Darstellungen haben, sind es hier die Brüche <math>(\Z \pm \tfrac12) 3^{\Z} = \Z 3^{\Z} \pm \tfrac12</math>, deren Darstellung allerdings nicht abbricht.

[[#Knuth1|Knuth]] hebt hervor, dass in balancierten Systemen das Runden und Abschneiden dieselbe Operation mit demselben Ergebnis ist.

Ein auf dem balancierten Ternärsystem und der balancierten ternären Logik aufbauender Computer war der [[Setun]] ({{ruS|Сетунь}}) (s. Einleitung).

== Vergleich mit dem Dezimalsystem und dem Binärsystem ==
{{Siehe auch|Dezimalsystem|Dualsystem}}
{| class="wikitable" style="border: none; text-align: right;"
! {{vertikal|Dezimal}} !! {{vertikal|Binär
}} || {{vertikal|Ternär}} || {{vertikal|Ternär (balanciert)}} !! !! {{vertikal|Dezimal}} !! {{vertikal|Binär
}} || {{vertikal|Ternär}} || {{vertikal|Ternär (balanciert)}}
|-
! dez !! bin || 3 || bal3 !! !! dez !! bin || 3 || bal3
|-
| 0 || 0 || 0 || 0 ||style="width:4em"| || || || ||
|-
| 1 || 1 || 1 || 1 |||| −1 || −1 || −1 || 1
|-
| 2 || 10 || 2 || 11 |||| −2 || –10 || –2 || 11
|-
| 3 || 11 || 10 || 10 |||| −3 || –11 || –10 || 10
|-
| 4 || 100 || 11 || 11 |||| −4 || –100 || –11 || 11
|-
| 5 || 101 || 12 || 111 |||| −5 || –101 || –12 || 111
|-
| 6 || 110 || 20 || 110 |||| −6 || –110 || –20 || 110
|-
| 7 || 111 || 21 || 111 |||| −7 || –111 || –21 || 111
|-
| 8 || 1000 || 22 || 101 |||| −8 || –1000 || –22 || 101
|-
| 9 || 1001 || 100 || 100 |||| −9 || –1001 || –100 || 100
|-
| 10 || 1010 || 101 || 101 |||| −10 || –1010 || –101 || 101
|-
| 11 || 1011 || 102 || 111 |||| −11 || –1011 || –102 || 111
|-
| 12 || 1100 || 110 || 110 |||| −12 || –1100 || –110 || 110
|-
| 13 || 1101 || 111 || 111 |||| −13 || –1101 || –111 || 111
|}

== Ternärcode mit Komma ==
Wird im Ternärsystem jede Ziffer als 2 Binärziffern, etwa {{nowrap|0 :=<code>00</code>}} {{nowrap|1 :=<code>10</code>}} und {{nowrap|2 :=<code>01</code>,}} codiert, dann kann die Kombination <code>11</code> als Trennzeichen, als „Komma“, zwischen zwei derart dargestellten nicht-negativen Zahlen verwendet werden.
Für die Zahlenfolge <math>1,3,7</math> ergibt sich bspw. die Zeichenkette {{nowrap|<code>1011001011100111</code>}}. Dabei sind die einzelnen Codewörter variabel lang und [[Byte-Reihenfolge#anfangNiedrig|little-endian]] notiert.

Bei einer angenommenen [[Geometrische Verteilung|geometrischen Verteilung]] <math>1/(1+n)^q</math> der natürlichen Zahlen <math>n\in\N_0</math> ist bei diesem ternären Komma-Code <math>q = \log_3(4) \approx 1{{,}}26</math>.

== Siehe auch ==
* [[Dreiwertige Logik]]
* [[Ternärsystem und ternäre Multiplikation]]

== Literatur ==
* {{Anker|Knuth1}}{{Literatur |Autor=[[Donald Knuth]] |Titel=[[The Art of Computer Programming]] |Band=2 |Auflage=3 |Verlag=Addison-Wesley |Ort=Boston |Datum=1998 |ISBN=0-201-89684-2 |Kapitel=Positional Number Systems |Seiten=194–213 |Sprache=en}}

== Weblinks ==
* [https://www.computer-museum.ru/english/setun.htm Über den Setun-Computer (auf Englisch)]
* {{Webarchiv |url=http://members.aol.com/leonheinz/plus-systeme.htm |text=Verschiedene Zahlensysteme |wayback=20071104151655}}

== Einzelnachweise ==
<references />
{{Navigationsleiste Stellenwertsysteme}}

{{SORTIERUNG:Ternarsystem}}
[[Kategorie:Zeichenkodierung]]
[[Kategorie:Zahlensystem]]

Ternärsystem - Versionsgeschichte

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